专题64 将军饮马模型与最值问题原卷版.docx
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专题64将军饮马模型与最值问题原卷版
专题64将军饮马模型与最值问题
【模型引入】
什么是将军饮马?
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。
【模型描述】
如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:
将军怎么走能使得路程最短?
【模型抽象】
如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小?
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.
【模型解析】
作点A关于直线的对称点A’,连接PA’,则PA’=PA,所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候,PA’+PB=A’B,此时为最小值(两点之间线段最短)
【模型展示】
【模型】一、两定一动之点点
在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.
此处M、N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN周长最小.
【精典例题】如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为___________.
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’,化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M.
当P’、N、M、P’’共线时,得△PMN周长的最小值,即线段P’P’’长,连接OP’、OP’’,可得△OP’P’’为等边三角形,所以P’P’’=OP’=OP=8.
【模型】二、两定两动之点点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似,分别作点P、Q关于OA、OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’,当P’、M、N、Q’共线时,四边形PMNQ的周长最小。
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