最新人教A版必修5高中数学 251等比数列前n项和公式的推导与应用教学设计精品.docx
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最新人教A版必修5高中数学251等比数列前n项和公式的推导与应用教学设计精品
2.5 等比数列的前n项和
2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用
从容说课
师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到化简的目的.
等比数列前n项和公式的推导还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据等比数列的定义可得
再由分式性质,得
整理得
.
教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应
给予学生充分的探索空间.
教学重点1.等比数列前n项和公式的推导;
2.等比数列前n项和公式的应用.
教学难点等比数列前n项和公式的推导.
教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题;
2.探索并掌握等比数列前n项和公式;
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一;
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;
2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动.
三、情感态度与价值观
1.通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;
2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;
3.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗?
生知道一些,踊跃发言.
师“请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放
的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
师假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求?
生各持己见.动笔,列式,计算.
生能列出式子:
麦粒的总数为
1+2+22+…+263=?
师这是一个什么样的问题?
你们计算出结果了吗?
让我们一起来分析一下.
课件展示:
1+2+22+…+263=?
师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前64项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法:
记S=1+2+22+23+…+263,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.
课件展示:
S=1+2+22+23+…+26
3,①
2S=2+22+23+…+263+264,②
②-①得
2S-S=264-1.
264-1这个数很大,超过了1.84×1019,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨,因此,国王不能实现他的诺言.
师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所要探究的知识.
推进新课
[合作探究]
师在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:
1+q+q2+…+qn=?
师这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.
生观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师若将上式左边的每一项乘以公比q,就出现了什么样的结果呢?
生q+q2+…+qn+qn+1.
生每一项就成了它后面相邻的一项.
师对上面的问题的解决有什么帮助吗?
师生共同探索:
如果记Sn=1+q+q2+…+qn,
那么qSn=q+q2+…+qn+qn+1.
要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-qn.
师提问学生如何处理,适时提醒学生注意q的取值.
生如果q≠1,则有
.
师当然,我们还要考虑一下如果q=1问题是什么样的结果.
生如果q=1,那么Sn=n.
师上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考?
课件展示:
a1+a2+a3+…+an=?
[教师精讲]
师在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
师在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”.
如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,
那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,
要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq.
师再次
提醒学生注意q的取值.
如果q≠1,则有
.
师上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:
如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,
要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.
如果q≠1,则有
.
师上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.
形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:
a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个;后者出现的是a1,q,Sn,n四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.
值得重视的是:
上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列的公比q≠1时,我们才能用上述公式.
师现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果q=1问题是
什么样的结果呢?
生独立思考、合作交流.
生如果q=1,Sn=na1.
师完全正确.
如果q=1,那么Sn=nan.正确吗?
怎么解释?
生正确.q=1时,等比数列的各项相等,它的前n项的和等于它的任一项的n倍.
师对了,这就是认清了问题的本质.
师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下:
[合作探究]
思路一:
根据等比数列的定义,我们有:
再由合比定理,则得
即
从而就有(1-q)Sn=a1-anq.
(以下从略)
思路二:
由Sn=a1+a2+a3+…+an得
Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an),
从而得(1-q)Sn=a1-anq.
(以下从
略)
师探究中我们们应该发现,Sn-Sn-1=an是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视.在这个关系式中,n的取值应该满足什么条件?
生n>1.
师对的,请同学们今后多多关注这个关系式:
Sn-Sn-1=an,n>1.
师综合上面的探究过程,我们得出:
或者
[例题剖析]
【例题1】求下列等比数列的前8项的和:
(1)
…;
(2)a1=27,a9=
q<0.
[合作探究]
师生共同分析:
由
(1)所给条件,可得
,
求n=8时的和,直接用公式即可.
由
(2)所给条件,需要从
中获取求和的条件,才能进一步求n=8时的和.而a9=a1q8,所以由条件可得q8=
=
,再由q<0,可得
,将所得的值代入公式就可以了.
生写出解答:
(1)因为
,所以当n=8时,
.
(2)由a1=27,
,可得
,
又由q<0,可得
于是当n=8时,
.
【例题2】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
师根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题.
生理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算.
解:
根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组成一个等比数列{an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.
于是得到
整理得1.1n=1.6,
两边取对数,得nlg1.1=lg1.6,
用计算器算得
≈
≈5(年).
答:
大约5年可以使总销售量达到30000台.
练习:
教材第66页,练习第1、2、3题.
课堂小结
本节学习了如下内容:
1.等比数列前n项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”.
2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量,一般需要知道其中的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时,注意q的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考.布置作业
课本第69页习题2.5A组第1、2、3题.
板书设计
等比数列前n项和公式的推导与应用
等比数列的前n项和公式
情境问题的推导一般情形的推导例1
练习:
(
学生板演)例2
练习:
(学生板演)
习题详解
(课本第66页练习)
1.
(1)
.
(2)
.
2.设这个等比数列的公比为q,
S10=(a1+a2+…+a5)+(a6+a7+…+a10)=S5+q5S5=S5(1+q5)=50,①
同理,S15=S10+q10S5.②
因为S5=10,所以由①得q5=
-1=4
q10=16,
代入②,得S15=S10+q10S5=50+16×10=210.
另解:
因为等比数列中,S5,S10-S5,S15-S10也成等比数列,
已知S5=10,S10-S5=50-10=40,
所以S15-S10=
S15=160+50=210.
3.该市近10年内每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项a1=2000,公比q=1.1,
设近10年内每年的国内生产总值是S10,则
S10=
≈3.187×104(亿元).
备课资料
数学神童维纳的年龄
20世纪著名数学家诺伯特·维纳,从小就智力超常,三岁时就能读写,十四岁时就大学毕业了.几年后,他又通过了博士论文答辩,成为美国哈佛大学的科学博士.
在博士学位的授予仪式上,执行主席看到一脸稚气的维纳,颇为惊讶,于是就当面询问他的年龄.维纳不愧为数学神童,他的回答十分巧妙:
“我今年岁数的立方是个四位数,岁数的四次方是个六位数,这两个数,刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了,不重不漏.这意味着全体数字都向我俯首称臣,预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业.”
维纳此言一出,四座皆惊,大家都被他的这道妙题深深地吸引住了.整个会场上的人,都在议论他的年龄问题.
其实这个问题不难解答,但是需要一点数字“灵感”.不难发现,21的立方是四位数,而22的立方已经是五位数了,所以维纳的年龄最多是21岁;同样道理,18的四次方是六位数,而17的四次方则是五位数了,所以维纳的年龄至少是18岁.这样,维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个.
剩下的工作就是“一一筛选”了.20的立方是8000,有3个重复数字0,不合题意.同理,19的四次方
等于130321,21的四次方等于194481,都不合题意.最后只剩下一个18,是不是正确答案呢?
验算一下,18的立方等于
5832,四次方等于104976,恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字,多么完美的组合!
这个年仅18岁的少年博士,后来果然成就了一番大事业:
他成为信息论的前驱和控制论的奠基人.
数学王子——高斯
高斯(1777~1855),高斯是德国数学家,也是科学家,他和牛顿、阿基米德,被誉为有史以来的三大数学家.高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大,可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称.
他幼年时就表现出超人的数学天才.1795年进入格丁根大学学习.第二年他就发现正十七边形的尺规作图法.并给出可用尺规作出的正多边形的条件,解决了欧几里得以来悬而未决的问题.
高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究,发明了最小二乘法原理.高斯的数论研究,总结在《算术研究》(1801)中,这本书奠定了近代数论的基础,它不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典著作之一.高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径.高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理.他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念,发现了著名的柯西积分定理.他还发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来.1828年高斯出版了《关
于曲面的一般研究》,全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学,并提出内蕴曲面理论.高斯的曲面理论后来由黎曼发展.高斯一生共发表155篇论文,他对待学问十分严谨,只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来.其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等.
高斯最出名的故事就是他十岁时,小学老
师出了一道算术难题:
“计算1+2+3+…+100=?
”.这可难为初学算术的学生,但是高斯却在几秒后将答案解了出来,他利用算术级数(等差级数)的对称性,然后就像求得一般算术级数和的过程一样,把数目一对对的凑在一起:
1+100,2+99,3+98,…,49+52,50+51,而这样的组合有50组,所以答案很快的就可以求出是:
101×50=5050.
1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧.那年的元旦,有一个后来被证为小行星并被命名为谷神星的天体被发现,当时它好像在向太阳靠近,天文学家虽然有40天的时间可以观察它,但还不能计算出它的轨道.高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法,而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置.高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最
小二乘法(一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法),在天文学中这一成就立即得到公认.他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用,只要稍作修改就能适应现代计算机的要求.高斯在小行星“智神星”的测算方面也获得类似的成功.
由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果,他被选为许多科学院和学术团体的成员.“数
学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂.
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