全等三角形的有关证明提高篇0728.docx
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全等三角形的有关证明提高篇0728
全等三角形的有关证明(提高篇)
关键:
三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边(角)放入正确的三角形中”,去说明“相等的边(角)所在的三角形全等”,利用三角形全等来说明两个角相等(两条边相等)是初中里面一个非常常见而又重要的方法。
要说明两边相等,两角相等,最常用的方法就是说明三角形全等
直角三角形的全等问题:
直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点!
直角三角形有关的全等问题中,除了特用的HL定理之外,在条件的寻找上首先就有了一组直角相等;而多个直角,多个垂直的图形组合在一块时,就很容易利用“同(等)角的余角相等”来得到其他的角相等。
例一:
图1,已知DO⊥BC,OC=OA,OB=OD,问CD=AB吗?
[分析]:
此图形可看作绕O点旋转得到,由垂直得到一组直角,
把结合其他两组边,很容易找到他们所在的三角形。
[变形1]:
请说明△BCE是直角三角形。
(利用全等三角形的对应角相等,以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换)
解:
易得△AOB≌△COD(此过程较简单,略过不描述)
∴∠B=∠D(全等三角形的对应角相等)
又∠OAB=∠DAE(对顶角相等)
而在Rt△AOB中,∠OAB+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠DAE+∠D=90°(等量代换)
∴在△ADE中,∠DEA=180°
(∠DAE+∠D)=90°(三角形内角和定理)
∴∠BEC=90°(补角性质)
故△BCE是直角三角形
[变形2]:
把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,
连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:
AF⊥BE.
[分析]:
此图中要说明AF⊥BE,与上题中△BCE是直角三角形是一样的意思,
只需要说明∠BFD=90°即可
[变形3]:
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,
在同一条直线上,连结CD.(彩图为提示)
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
CD⊥BE
[变形4]、如图2,在△ABC中,高AD与BE相交于点H,且AD=BD,
问△BHD≌△ACD,为什么?
[分析]:
此题实际上就是[变形1]的反问,已经存在一组直角(由垂直得到),
一组相等的边(已知),再利用“同(等)角的余角相等”来得到第二组角相等!
[变形5]:
如图3,已知ED⊥AB,EF⊥BC,BD=EF,问BM=ME吗?
说明理由。
[变形6]:
如图4,AD是一段斜坡,AB是水平线,现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度,欢欢在D处立上一竹竿CD,并保证CD⊥AD,然后在竿顶C处垂下一根绳CE,与斜坡的交点为点E,他调整好绳子CE的长度,使得CE=AD,此时他测得DE=2米,于是他认定DB的高度也为2米,你觉得对吗?
请说明理由。
例二:
如图1,已知,AC⊥CE,AC=CE,∠ABC=∠CDE=90°,
问BD=AB+ED吗?
[分析]:
(1)凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角,得到一组等量关系;
(2)出现3个垂直,往往意味着要运用同(等)角的余角相等,得到另一组等量关系;
(3)由全等得到边相等之后,还要继续往下面想,这几组相等的边能否组合在一起:
如如图6,除了得到三组对应边相等之外,还可以得到AC=BD。
解答过程:
得到△ABC≌CDE之后,可得到BC=DE,AB=CD
∴BC+CD=DE+AB(等式性质)
即:
BD=AB+DE
[变形1]:
如图7,如果△ABC≌△CDE,请说明AC与CE的关系。
[注意]:
两条线段的关系包括:
大小关系(相等,一半,两倍之类)
位置关系(垂直,平行之类)
[变形2]:
(2008泸州)如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F,
求证:
DE=BF
[分析]:
注意图形中有多个直角,利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。
[变形3]:
如图8,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的直线,BD⊥AE,CE⊥AE,如果CE=3,BD=7,请你求出DE的长度。
[分析]说明相等的边所在的三角形全等,
题中“AB=AC”,发现:
AB在Rt△ABD中,AC在Rt△CAE中,
所以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt△全等(如图9)
于是:
已经存在了两组等量关系:
AB=AC,直角=直角,
再由多个垂直利用同角的余角相等,得到第三组等量关系。
解:
由题意可得:
在Rt△ABD中,∠1+∠ABD=90°(直角三角形的两个锐角互余)
又∵∠BAC=90°(已知),即∠1+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE(等角的余角相等)
故在△ABD与△CAE中,
∠BDA=∠AEC=90°(垂直定义)
∠ABD=∠CAE(已求)
AB=AC(已知)
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴AE=BD=7,AD=EC=3(全等三角形的对应边相等)
∴DE=AE
AD=7
3=4
[变形4]:
在△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图9的位置时,△ADC≌△CEB,且DE=AD+BE。
你能说出其中的道理吗?
(2)当直线MN绕点C旋转到图10的位置时,DE=AD-BE。
说说你的理由。
(3)当直线MN绕点C旋转到图11的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系。
等腰三角形、等边三角形的全等问题:
[必备知识]:
如右图,由∠1=∠2,可得∠CBE=∠DBA;反之,也成立。
例三:
已知在△ABC中,AB=AC,在△ADE中,AD=AE,且∠1=∠2,请问BD=CE吗?
[分析]这类题目的难点在于,需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边,
分别放入两个三角形中,看成是一组三角形的对应边,
∴题目中所给的△ABC与△ADE是用来干扰你的思路的,应该去想如何把两组相等的边联系到一起,加上所求的“BD=CE”,你会发现BD在△ABD中,CE在△ACE中,
这样一来,“AB=AC”可以理解为:
AB在△ABD中,AC在△ACE中,它们是一组对应边;
“AD=AE”可以理解为:
AD在△ABD中,AE在△ACE中,它们是一组对应边;
所以只需要说明它们的夹角相等即可。
关键还是在于:
说明“相等的边(角)所在的三角形全等”
解:
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD(等式性质)
即:
∠BAD=∠CAE
∴在△ABD与△ACE中,
AB=AC(已知)
∠BAD=∠CAE(已求)
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
[变形1]:
如图13,已知∠BAC=∠DAE,∠1=∠2,BD=CE,
请说明△ABD≌△ACE.吗?
为什么?
[分析]:
例三是两组边相等,放入一组三角形中,利用SAS说明全等,
此题是两组角相等,那么该如何做呢?
[变形2]:
过点A分别作两个大小不一样的等边三角形,连接BD,CE,请说明它们相等。
[分析]:
此题实际上是例三的变形,只不过将等腰三角形换成了等边三角形,只要你根据所求问题,把BD看成在△ABD的一边,CE看成△ACE的一边,自然就得到了证明的方向。
解:
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD(等式性质)
即:
∠BAD=∠CAE
[变形3]:
如图16—18,还是刚才的条件,把右侧小等边三角形的位置稍加变化,,连接BD,CE,请说明它们相这里仅以图17进行说明
解:
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC
∠CAD=∠DAE
∠CAD【仅这步有差别】
即:
∠BAD=∠BAD=∠CAE
∴在△ABD与△ACE中,
AB=AC(已知)
∠BAD=∠CAE(已求)
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
图16,图18的类型,请同学们自己去完成
[变形4]:
(2008怀化)如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:
;
[分析]:
和上面相比,只不过等边三角形换成正方形,60°换成直角了,思路一样
例四:
如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB.
求证:
AN平分∠BAC.
[分析]:
要说明AN平分∠BAC,必须说明两角相等,∴可以说明△AMN≌△CAN,
而题中已有了一组直角相等,一组公共边(斜边)
结合题目中条件,比较容易找到一边直角边相等,从而利用HL定理得到全等。
[变形1]:
在Rt△ABC中,已知∠A=90°,DE⊥BC于E点,如果AD=DE,BD=CD,求∠C的度数
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