等比数列的前n项和教学设计第一课时_精品文档.doc
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《等比数列的前n项和》教学设计(第一课时)
李思齐
一、教材分析
1.在教材中的地位与作用
在《数列》一章中,《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容,从知识体系来看,它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延,也是前面所学《函数》的延续,实质上是一种特殊的函数,而且还为后继深入学习提供了知识基础,错位相减法是一种重要的数学思想方法,是求解一类混合数列前n项和的重要方法,因此,本节具有承上启下的作用;从知识结构和人文价值来看,等比数列与等差数列是平行结构关系,两者之间存在着一定联系,可以进行类比,拓展学生发现、创新的能力,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体;从知识的应用价值来看,它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型,前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法,如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。
等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
2.教材编排与课时安排
提出问题→问题解决→等比数列前n项和公式推导→强化公式运用(例题与练习)。
教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用,教学中注重公式的形成推导过程,并充分揭示公式的结构特征和内在联系。
二、教学目标分析
依据课程标准,结合学生的认知发展水平和心理特点,确定本节课的教学目标如下:
【知识与技能】理解等比数列的前n项和公式的推导方法;掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题,一是已知等比数列基本量而求其前n项和;二是已知前n项和而逆向求解数列基本量;三是基本思想方法(错位相减法)的运用。
【过程与方法】感悟并理解公式的推导过程,感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想,优化思维品质,初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。
【情感、态度与价值观】通过经历对公式的探索过程,对学生进行思维严谨性的训练,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。
三、重、难点分析
【教学重点】等比数列前项和公式的推导及其简单应用。
从知识体系看,为后继学习提供了知识基础,具有承上启下的作用;就知识特点而言,蕴涵丰富的思想方法;就能力培养来说,通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。
【教学难点】等比数列前项和公式推导方法的理解。
从学生认知发展水平看,探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。
从知识特点看,等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低,无法进行类比推导,需要充分理解等比数列的概念和性质,并能整合知识,做到融会贯通,而这对学生却是比较困难的,何况错位相减法是初次接触,对学生来说是很新鲜的,因此,教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。
四、学情与教法分析
1.学情分析
从学生思维特点和认知结构看,前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识,一方面容易把本节内容与等差数列前n项和进行类比,另一方面,本节的公式推导所要求的计算量更大,思维的深刻性更高。
而且对q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后继学习使用过程中往往会出错。
对高一下学期的学生而言,虽然具有一定的分析和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但缺乏冷静、深刻,思维上具有片面性、不严谨的特点,对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
2.教法分析
根据学生认知发展水平和心理结构特点,结合教学内容的难易程度,在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学,以建构主义理论为指导,采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式,着重于学生的发现、探索和运用,并辅以变式教学,注意适时适当讲解和演练相结合。
3.教学构想
等比数列前n项和公式的推导是本节课的重点内容,要积极引导学生观察实例,发现规律,类比推理,推导归纳,总结反思,增强认知,强化运用。
教学中可以给出等比数列前n项和公式推导的其他方法,以提高学生学习的兴趣,开拓学生的思维视野。
例题和巩固练习的选择要全面,不能忽略q=1的情况,注意分类讨论思想的渗透。
通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个基本量,要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练,但要注意避免难度较大的指数方程的求解。
还要适当补充可以转化为等差数列、等比数列求和的混合数列求和问题。
五、教具准备
教科书(苏教版·必修5)多媒体课件和操作系统
六、教学过程
教学
环节
教学过程
设计
意图
教学内容
教师活动
学生活动
问
题
情
境
传说在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,国王大为赞赏,要奖励西萨,问他有什么要求,西萨说:
“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!
”国王说:
“简单!
来人,快办。
”然而,过几天,手下急匆匆跑来,不好啦,不好啦!
你猜怎么了?
你知道西萨要多少粒小麦吗?
打开多媒体课件,动画语音展示故事情境,展示结束后引导、启发学生分析、思考问题
聆听故事,感受数学问题的情景化,趣味吸引的同时有自己的猜测,并在教师的引导、启发后展开自己的思维分析
以故事引题,激发学生学习兴趣和热情,调动学习积极性,领悟数学应用价值。
探
究
问
题
求S64=1+2+22+23+…+263=?
法1:
观察类比
S1=1
S2=1+2=3
S3=1+2+22=7
S4=1+2+22+23=15
依此类推,S64=264-1
法2:
提取公比2,解方程求S64
法3:
错位相减法S64=1+2+22+23+…+263
2S64=2+22+23+24+…+264
相减得-S64=1-264∴S64=264-1
经测算,需要麦粒1.84×1019粒,约7000亿吨,这么多小麦沿地球表面可铺3厘米厚,能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,大约是全世界一年粮食产量的459倍,古印度国王显然无法满足西萨的要求。
肯定学生的想法和不完全归纳所得出的结果。
引导、启发学生观察,寻求等式规律,启发学生发现方法,若提取公比2后便构造出一个方程,就可求出。
若是乘以公比2,则所得新等式与原式有63项相同,两式相减可消去63项,达到计算化烦为简的目的,突破难点。
通过提问,使学生体会“乘以2”的作用,注意小结操作方法,为下面的公式推导做好准备。
板书必要步骤,供学生理解和模仿。
观察、尝试、讨论、探究,欲解决引言问题,但苦于没思路。
部分学生试图找规律,归纳结果(法1)。
在师生相互交流中思维逐步展开,动笔演算,感受方程思想和错位相减法的奥妙,体会数学的应用价值,同时感受了错位相减法的优势。
感受和惊叹结果的“大”!
进一步激励学习的主动性。
通过引言实例的探究解决,使学生感受数学的应用价值,同时也为下面的学习作好铺垫,在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法,激励学生模仿创新,作好认知准备。
建
构
数
学
一般化,等比数列前n项和怎么求呢?
法1:
于是(1-q)Sn=
当q≠1时,Sn==
当q=1时,Sn=na1。
法2:
提取公比q
当q≠1时,Sn==
当q=1时,Sn=na1。
法3:
类比归纳(不必证明,但须说明)。
S1=a1
S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)
……
Sn=a1+a2+…+an=a1(1+q+q2+…+qn-1)
当q≠1时,Sn==
当q=1时,Sn=na1
法4:
∵==…=q
由等比定理
∴
当q≠1时,Sn==
当q=1时,Sn=na1。
引导启发学生联想、类比、抽象,鼓励学生由特殊到一般,自主探究等比数列前n项和公式,通过反问,引导学生分类讨论,突破难点。
学生在引例启发和老师指导下,基本上能用错位相减法完成公式的推导,但对字母运算存在着一定的困难,教师需适时适当提示并板书,演示字母运算。
在用错位相减法推导后,为开阔学生思维视野,教师要及时总结方法,并引导学生分析,师生合作交流,尝试多种方法来探究公式的推导。
适当板书关键步骤,注意语音语调,激励学生展开联想、分析、训练学生的思维。
在教师指导下,从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,自己探究公式,体验到学习的愉快和成就感。
受引例的启发,基本能用错位相减法推导出结果,但不完善,在老师的提示下,经历分类讨论的思维过程。
感受变式教学对数学思维的训练,通过积极主动的课堂数学思维活动的参与,进一步提升自己认知结构的深刻性和广泛性,增强自己的数学运算能力。
经历数学发现的过程,体会数学建构所带来的成就感,并学会交流,学会合作。
发挥学生学习主体性和参与积极性,从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,另一方面使学生由简单模仿接受变为对知识的主动认识,从而进一步提高分析、类比和综合的能力。
多种方法推导,扩展学生思维视野,变式教学有利于培养学生发散思维和创新精神。
1)推理成果
当q≠1时,Sn==
当q=1时,Sn=na1
2)公式的理解
①知三求二:
nqa1anSn
②n的含义:
项数(通项公式是qn-1)
③q的含义:
公比(注意q=1,分类讨论)
④错位相减法:
乘公比(作用是构造许多相同项)后错开一项后再减。
提问,师生对话交流,引导学生分析、剖析公式的内在结构,注意强调注意点。
归纳小结、理解提升、反思整理、强化记忆,加强认知。
剖析公式中的基本量及结构特征,识记公式,及时总结、巩固、强化探究成果,提高认知的深度。
巩
固
提
高
自主巩固练习:
1.等比数列中a1=-4,q=,则Sn=
2.等比数列中a1=,q=-,则Sn=
3.=
4.
5.
打开课件,师生合作交流,通过提问,引导学生思维逐步深入。
模仿套用公式作答,强化对公式的理解,思维训练深刻性加强,体会分类讨论思想。
直接和变式套用公式,强化对公式的理解和识记,通过分类讨论思想的渗透,提升思维层次。
例1:
已知{an}为等比数列,
⑴a1=1,ak=243,q=3,求Sk。
⑵a3=,S9=,求a1和q。
⑶a1=4,q=-,an=,求Sn。
例2:
数列1,2,22,23,…,2n,…中,求第5项到第10项的和。
法1:
所求和等于S10-S4,再用公式计算。
法2:
第5项到第10项构成首项为16,公比为2的数列,共有6项,再用公式计算。
例3:
求数列{n+}的前n项和。
变式1:
求数列{n+an}的前n项和。
变式2:
求1+++…+。
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