完整word版常微分方程试题库2word文档良心出品doc.docx
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常微分方程
一、填空题
.微分方程
dy
)
n
dy
y
2
x
2
0
的阶数是____________
1
(
dx
dx
答:
1
2.若M(x,y)和
N(x,y)在矩形区域R内是(x,y)的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则
方程M(x,y)dx
N(x,y)dy0有只与y有关的积分因子的充要条件是
_________________________
答:
(M
N)(
1)(y)
y
x
M
3._________________________________________称为齐次方程.
答:
形如dy
g(y)的方程
dx
x
4.如果f(x,y)___________________________________________则,dy
f(x,y)存在
dx
唯一的解y
(x),定义于区间xx0
h上,连续且满足初始条件y0
(x0),其中
h_______________________.
答:
在R上连续且关于y满足利普希兹条件
h
mina(,b)
m
5.对于任意的
(x,y1),(x,y2)R(R为某一矩形区域
),若存在常数
N(N0)使
______________________则,称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件.
答:
f(x,y1)
f(x,y2)Ny1
y2
6.方程dy
x2
y2定义在矩形区域R:
2x2,2
y
2上,则经过点
(0,0)的解的
dx
存在区间是___________________
1
1
答:
x
4
4
7.若xi(t)(i
1,2,.....n)是齐次线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,则w(t)满足
一阶线性方程___________________________________
1
答:
w'
a1(t)w
0
8.若xi(t)(i
1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,
x(t)为非齐次线性方程的一个
特解,则非齐次线性方程的所有解可表为
_____________________
n
答:
x
ci
xi
x
i
1
9.若(x)为毕卡逼近序列
n(x)的极限,则有
(x)
n(x)
__________________
答:
MLn
hn1
(n
1)!
10.______________________称为黎卡提方程,若它有一个特解
y(x),则经过变换
___________________,可化为伯努利方程.
答:
形如dy
(
)
y
2
()
y
(
x
)的方程
y
zy
dx
px
qx
r
11.一个不可延展解的存在区间一定是
区间.
答:
开
12.方程dy
y
1
满足解的存在唯一性定理条件的区域是
.
dx
答:
D
{(x,y)
R2y
0},(或不含x轴的上半平面)
13.方程dy
x2siny的所有常数解是
.
dx
答:
y
k
k
0,
1,
2,
14.函数组1(x),
2(x),,
n(x)在区间I上线性无关的
条件是它们的朗
斯基行列式在区间I上不恒等于零.
答:
充分
15.二阶线性齐次微分方程的两个解
y1(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件
是
.
答:
线性无关(或:
它们的朗斯基行列式不等于零)
16.方程y
2y
y
0的基本解组是
.
答:
ex,xex
2
17.若y(x)在(,)上连续,则方程dy(x)y的任一非零解与
dx
x轴相交.
答:
不能
18.在方程yp(x)yq(x)y0中,如果p(x),q(x)在(,)上连续,那么它的
任一非零解在xoy平面上与x轴相切.
答:
不能
19.若y1(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们共同
零点.
答:
没有
20.方程dy1y2的常数解是.
dx
答:
y1
21.向量函数组Y1(x),Y2(x),,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的条件是
它们的朗斯基行列式W(x)0,xI.
答:
必要
22.方程dyx2y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是.
dx
答:
xoy平面
23.方程x(y21)dxy(x21)dy0所有常数解是.
答:
y1,x1
24.方程y4y0的基本解组是.
答:
sin2x,cos2x
25.一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.
答:
2
二、单项选择题
1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是(A)个.
3
(A)n
(B)n-1
(C)n+1
(D)n+2
2.如果f(x,y),f(x,y)都在xoy平面上连续,那么方程
dy
f(x,y)的任一解的存在
y
dx
区间(D).(A)必为(
(C)必为(
)(B)必为(0,)
0)(D)将因解而定
1
3.方程dyx3y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是(D).
dx
(A)上半平面(B)xoy平面
(C)下半平面(D)除y轴外的全平面
4.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(C).
(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解
(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解
5.
方程dy
1
y2过点(,1)共有(
B
)个解.
dx
2
(A)一
(B)无数
(C)两
(D)三
6.
方程dy
x
y
2(B)奇解.
dx
(A)有三个
(B)无
(C)有一个
(D)有两个
7.n阶线性齐次方程的所有解构成一个(
A
)线性空间.
(A)n维
(B)n1维
(C)n1维
(D)n2维
8.方程dy
2
3y3过点(A).
dx
(A)有无数个解
(B)只有三个解
(C)只有解y
0(D)只有两个解
9.
fy(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足李普希兹条件的(
B
)条件.
(A)充分
(B)充分必要
(C)必要
(D)必要非充分
10.二阶线性非齐次微分方程的所有解(
C
).
(A)构成一个2维线性空间
(B)构成一个3维线性空间
(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间
4
11.方程dyy的奇解是(D).
dx
(A)yx(B)y1(C)y1(D)y0
12.若y1(x),y2(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程的
通解可用这两个解表示为(C).
(A)
1
(
x
)
2
(
x
)
()
1(x)
2(x)
B
(C)
(
(
)
(
))
(
)
()
C
1
2
1
DC1(x)
2(x)
x
x
x
13.fy(x,y)连续是方程dy
f(x,y)初值解唯一的(D
)条件.
dx
(A)必要
(B)必要非充分
(C)充分必要
(D)充分
14.方程dy
y
1(C
)奇解.
dx
(A)有一个
(B)有两个
(C)无
(D)有无数个
15.方程dy
2
3y3过点(0,0)
有(A
).
dx
(A)无数个解
(B)
只有一个解
(C)
只有两个解(D)
只有三个解
三、求下列方程的通解或通积分
1.dy
y
y3
dx
x
解:
dx
xy
3
x
y2
1dy
1dy
y
3
,则xey(y2e
ydyc)所以
x
cy
dy
y
y
2
另外y
0
也是方程的解
2.求方程dy
xy2经过(0,0)的第三次近似解
dx
解:
0(x)
0
1(x)
x
x
02(x)dx
1x2
0
2
2(x)
x
x
12(x)dx
1x2
1
x5
0
2
20
5
3(x)
x
22(x)dx
1x2
1
x5
1
x11
1
x8
x
0
2
20
4400
160
3.讨论方程dy
y2
,y
(1)
1的解的存在区间
dx
解:
dy
dx
y2
两边积分
1
x
c
y
所以
方程的通解为
y
1
x
c
故
过y
(1)
1的解为
y
1
x
2
通过点
(1,1)
的解向左可以延拓到
,但向右只能延拓到
2,
所以解的存在区间为
(
2)
4.求方程(dy)2
y2
1
0的奇解
dx
解:
利用p判别曲线得
p2
y2
10
消去p得y2
1即y
1
2p
0
所以方程的通解为
ysin(x
c),所以y
1
是方程的奇解
1
1
x
5.(cosx
y)dx
(y
y2)dy0
解:
M=
y2,
N=
y2
M=
N
所以方程是恰当方程.
y
x
y
x
u
cosx
1
x
y
x
得u
(y)
v
1
x
sinx
y
y
y
y2
u
xy2'(y)
所以(y)
lny
y
故原方程的解为
sinx
x
lny
c
y
6
6.y'
y2
2ysinx
cosx
sin2
x
解:
y'
y2
2ysinx
cosx
sin2x
故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
ysinx
令y
z
sinx,
则方程可化为dz
z2,z
1
dx
x
c
即y
sinx
1
故
ysinx
1
c
c
x
x
7.(2xy2
3y3)dx
(7
3xy2)dy
0
解:
两边同除以y2得
2xdx
3ydx
7
dy
3xdy
0
y
2
dx2
d3xy
d
7
0
y
所以
x2
3xy
7
c,
另外
y0也是方程的解
y
8.dy
xy
dx
1x2
解当y0时,分离变量得
dy
x
2dx
y
1x
等式两端积分得
12
lnyln(1x)lnC
即通解为
yC1x2
9.dy3ye2xdx
解齐次方程的通解为
yCe3x
令非齐次方程的特解为
yC(x)e
3x
7
代入原方程,确定出C(x)1e5xC
5
原方程的通解为
yCe3x+1e2x5
10.dyyxy5dx
解方程两端同乘以y5,得
y5dy
y
4
x
dx
dy
dz,代入上式,得
令y4
z,则
4y5
dx
dx
1dz
x
z
4dx
通解为
z
Ce4x
x
1
4
原方程通解为
y4
Ce4x
x
1
4
11.2xydx
(x2
y2)dy
0
解
因为M
2x
N,所以原方程是全微分方程.
y
x
取(x0,y0)
(0,0)
,原方程的通积分为
x
y
2dyC
2xydx
y
0
0
即
x2y
1
y3
C
12.dy
3
ylny
dx
解:
当y0,y1时,分离变量取不定积分,得
dy
dxC通积分为
ylny
lnyCex
13.yy(y)23x20
8
解
原方程可化为
(yy
x2)
0
于是
ydy
x2
C1
dx
积分得通积分为
1y2
C1x
1x3
C2
2
3
14.dy
1
(y)2
y
dx
x
x
解:
令y
xu,则dy
u
xdu,代入原方程,得
dx
dx
xdu
1
u2
dx
分离变量,取不定积分,得
du
dx
lnC
(C0)
1
u2
x
通积分为:
arcsiny
lnCx
x
15.dy
y
tan
y
dx
x
x
解
令y
u,则dy
u
xdu,代入原方程,得
x
dx
dx
u
xdu
u
tanu,xdu
tanu
dx
dx
当tanu
0时,分离变量,再积分,得
du
dx
lnC
tanu
x
lnsinu
lnx
lnC
即通积分为:
y
Cx
sin
16.dy
y
x
1
dx
x
解:
齐次方程的通解为
yCx
令非齐次方程的特解为
9
yC(x)x
代入原方程,确定出C(x)lnxC
原方程的通解为
yCx+xlnx
17.(x2eyy)dxxdy0
解积分因子为
(x)
1
x2
原方程的通积分为
x
(e
x
y
y
dyC1
1
x
2)dx
0
y
即
ex
C,
Ce
C1
x
18.yy
(y)2
0
解:
原方程为恰当导数方程,可改写为
(yy)0
即
yyC1
分离变量得
ydyC1dx
积分得通积分
1
y2
C1xC2
2
19.y(x
lny)1
解
令y
p,则原方程的参数形式为
x
1
lnp
p
y
p
dy
y,有
由基本关系式
dx
10
1
1
dy
ydx
p
(
p2
p)dp
(1
1)dp
p
积分得
yplnp
C
得原方程参数形式通解为
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