山西省高考理科数学试题.docx
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山西省高考理科数学试题
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一•选择题:
共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合
2
A={x|x2x3
0},B={x|—2 A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1]D.[1,2) 2.(1i)3= (1i)2 A.1i B.1iC.1 iD.1i 3.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)时奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数 A.3B.3C.3mD.3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的 概率 6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M= xy1 9.不等式组y的解集记为D.有下面四个命题: x2y4 Pl: (x,y)D,x2y2,P2: (x,y)D,x2y2, P3: (x,y)D,x2y3,P4: (x,y) D,x2y1. 其中真命题是 A.P2,P3B.P1,P4 C.P1, P2D.P1,F3 10.已知抛物线C: y28x的焦点为F,准线为I,P是I上一点,Q是直线PF与C的一个焦点, uuuuur 若FP4FQ,则|QF|= 75 A7B.-C.3D.2 22 11.已知函数f(x)=ax33x21, 若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围为 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 A.62B.42C.6D.4 本卷包括必考题和选考题两个部分。 第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。 第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 •填空题: 本大题共四小题,每小题5分。 13・(xy)(xy)8的展开式中x2y2的系数为•(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说: 我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说: 我没去过C城市; 丙说: 我们三人去过同一个城市• 由此可判断乙去过的城市为 ULUT1uuuuuuruuuUULT 15.已知A,B,C是圆O上的三点,若AO—(ABAC),则AB与AC的夹角为• 2 16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且 (2b)(sinAsinB)(cb)sinC,贝UABC面积的最大值为 三.解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,务0,务务1Sn1,其中为 常数. (I)证明: an2an; (n)是否存在,使得{an}为等差数列? 并说明理由. 18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 结果得如下频率分布直方图: (I)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代 表); 附: 150-12.2. )=0.6826,P(2Z2)=0.9544. 若Z〜N(,2),则P(Z 19.(本小题满分12分)如图三棱锥ABC (I)证明: ACAB1; (n)若ACAB1,CBB160o,AB=Bc 求二面角AA1B1C1的余弦值. 20. B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C. (本小题满分12分)已知点A(0,-2), 椭圆E: x2t2i(ab0)的离心率为一3,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为二,O为ab23 坐标原点. (I)求E的方程; (n)设过点A的直线I与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求I的方程. 21.(本小题满分12分)设函数 bx1 f(x0aelnx,曲线yf(x)在点(1,f (1)处的切线为 x ye(x1)2.(I)求a,b; (n)证明: f(x)1. 请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。 注意: 只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分10分)选修4—1: 几何证明选讲 如图,四边形ABCD是OO的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE .(I)证明: /D=ZE; (n)设AD不是OO的直径,AD的中点为M且MB=MC证明: △ADE为等边三角形 23. (本小题满分10分)选修4—4: 坐标系与参数方程 (I)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (n)过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值 24.(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 11 若a0,b0,且Ob. ab (i)求a3b3的最小值; (n)是否存在a,b,使得2a3b6? 并说明理由 2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案(B卷) 一选择题 5.D6.C 11.C12.B 1.A2.D3.C4.A 7.D8.C9.B10.B 二填空题 三解答题 17.解: (I)由题设,—__=bSn-1,二一、_: =bSn-1 两式相减的-=b.__ 由于■,所以吟一a: 门 (二)由题设,由(I)知 解得b=4 故仏j-戾、八,由此可得 {}是首项为1,公差为4的等差数列,二: .一「-.: 门一' P.}是首项为3,公差为4的等差数列,二..=4n-1 所以匕- 因此存在b=4,使得数列为等差数列 (18)解 (I)收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是 a=200 b=150 (二)由上诉可此,Z~N(200,165),从而 P(187.8 一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826 依题意可知X~B(100,0.6826),所以EX=100;「 (19)解: (I)连结BC1,交B1C于点O,连结AO因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,且O为BQ 及BC1的中点。 又ABBQ,所以BQ平面ABO由于AO平面ABQ故BQAO 又BQCO,故AC=AB1,……6分 (II)因为ACAB1,且O为BQ的中点,所以AO=CO 又因为AB=BC所以BOABOC。 同理可取m=(1,-,3,、3)则cos 1 所以,所求角A-A2B2-C1的余弦值为- 7 (20)解: (1)设F(C,0),由条件知,——_3,得c\3c3 又C3,所以a2,b2a2c21a2 2 故E的方程为—y1 4 故设l: y=kx-2,P(x1,x2) 因为t+4>4.当且仅当t=2,即 t k=—时等号成立,且满足>0. 2 所以,△OPQ勺面积最大时,I的方程为 .12 (22)解: (I)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE由已知得CBE=E,故D=E••…5 分 (II)设BC的中点为N,连结MN则由MB=M知MNLBC,故0在直线MN上。 又AD不是e0的直径,M为AD的中点,故OMLAD,即MNLAD 所以AD//BC,故A=CBE 又CBE=E,故A=巳由(I)知,D=E,所以ADE为等边三角形。 (23)解: (I)曲线C的参数方程为x2cos,(为参数) y3sin, 直线I的普通方程为2x+y-6=0 (II)曲线C上任意一点P(2cos,3sin)到l的距离为 V5, d——4cos3sin6 5 则PAd°^^ksin6,其中为锐角,且tan sin305 当sin=-1时,PA取得最大值,最大值为务5当sin=1时,PA取得最小值,最小值为令5 (24)解: AAQ (I)由■ab--一一,得ab2,且当a=b=2时等号成立abJab 故a3+b32a3b34-、2,且当a=b=: 2时等号成立 所以a3+b3的最小值为4.2 (II)由(I)知,2a+3b^.6ab4.3 由于4.3>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6
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