数值计算方法试题集及答案.docx
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数值计算方法试题集及答案
《数值计算方法》复习试题
一、填空题:
1、,则A的LU分解为。
答案:
3、,则过这三点的二次插值多项式中的系数为,拉格朗日插值多项式为。
答案:
-1,
4、近似值关于真值有
(2)位有效数字;
5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是();
答案
6、对,差商
(1),(0);
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为();
10、已知f
(1)=2,f
(2)=3,f(4)=,则二次Newton插值多项式中x2系数为();
11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。
12、为了使计算的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为,为了减少舍入误差,应将表达式改写为。
13、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为,1,进行两步后根的所在区间为,。
14、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。
15、设,则,的二次牛顿插值多项式为。
16、求积公式的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,具有()次代数精度。
21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分(10)次。
22、已知是三次样条函数,则
=(3 ),=(3 ),=( 1)。
23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则
(1),(),当时()。
24、
25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_____2_____阶的连续导数。
26、改变函数()的形式,使计算结果较精确。
27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分10次。
28、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式,迭代矩阵为,此迭代法是否收敛收敛。
31、设,则9。
32、设矩阵的,则。
33、若,则差商3。
34、线性方程组的最小二乘解为。
36、设矩阵分解为,则。
二、单项选择题:
1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是(C)。
A.A的各阶顺序主子式不为零B.
C.D.
2、设,则为(C).
A.2B.5C.7D.3
4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件是(B)。
A.对称阵B.正定矩阵
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
5、舍入误差是(A)产生的误差。
A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
6、是π的有(B)位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
7、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。
A.模型B.观测C.截断D.舍入
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。
A.控制舍入误差B.减小方法误差
C.防止计算时溢出D.简化计算
9、用1+近似表示所产生的误差是(D)误差。
A.舍入B.观测C.模型D.截断
10、-324.7500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效数字。
A.5B.6C.7D.8
11、设f(-1)=1,f(0)=3,f
(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。
A.–0.5B.0.5C.2D.-2
12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。
A.3B.4C.5D.2
13、(D)的3位有效数字是×102。
(A)×103(B)×10-2(C)(D)×10-1
14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B)。
(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标
(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点
15、用列主元消去法解线性方程组
,第1次消元,选择主元为(A)。
(A)-4(B)3(C)4(D)-9
16、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。
(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn),
(B)
(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn),
(D)
18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。
19、为求方程x3―x2―1=0在区间[,]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A)。
(A)
(B)
(C)
(D)
21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是( )。
(1),
(2),(3),(4)
23、有下列数表
x
0
1
2
f(x)
-2
-1
2
所确定的插值多项式的次数是( )。
(1)二次;
(2)三次;(3)四次;(4)五次
25、取计算,下列方法中哪种最好( )
(A);(B);(C);(D)。
27、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是( )
1
2
3
-1
(A);(B);(C);(D)。
29、计算的Newton迭代格式为()
(A);(B);(C);(D)。
30、用二分法求方程在区间内的实根,要求误差限为,则对分次数至少为()
(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。
32、设是以为节点的Lagrange插值基函数,则()
(A);(B);(C);(D)。
35、已知方程在附近有根,下列迭代格式中在不收敛的是()
(A);(B);(C);(D)。
36、由下列数据
0
1
2
3
4
1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为()
(A)4;(B)2;(C)1;(D)3。
三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打,否则打)
1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,的次数n可以任意取。
()
2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。
()
3、表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。
()
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
()
5、矩阵A=具有严格对角占优。
()
四、计算题:
1、用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
答案:
迭代格式
k
0
0
0
0
1
2
3
4
2、已知
1
3
4
5
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式,并求的近似值(保留四位小数)。
答案:
差商表为
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
5、已知
-2
-1
0
1
2
4
2
1
3
5
求的二次拟合曲线,并求的近似值。
答案:
解:
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为
6、已知区间[,]的函数表
如用二次插值求的近似值,如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。
答案:
解:
应选三个节点,使误差
尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点最好,实际计算结果
,
且
7、构造求解方程的根的迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。
答案:
解:
令.
且,故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为
则当时
,
故迭代格式
收敛。
取,计算结果列表如下:
n
0
1
2
3
127872
424785
877325
n
4
5
6
7
595993
517340
525950
525008
且满足.所以.
8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组。
答案:
解:
令得,得.
9﹑对方程组
(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由;
(2)取初值,利用
(1)中建立的迭代公式求解,要求。
解:
调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取,经7步迭代可得:
.
10、已知下列实验数据
xi
f(xi)
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解:
当0 要求近似值有5位有效数字,只须误差. 由,只要 即可,解得 所以,因此至少需将[0,1]68等份。 11、用列主元素消元法求解方程组。 解: 回代得。 12、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。 解: 又 故截断误差。 15、用牛顿(切线)法求的近似值。 取x0=,计算三次,保留五位小数。 解: 是的正根,,牛顿迭代公式为 ,即 取x0=,列表如下: 1 2 3 16、已知f(-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式及f(1,5)的近似值,取五位小数。 解: 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组=, 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次,保留三位小数。 解: Gauss-Seidel迭代格式为: 系数矩阵严格对角占优,故Gauss-Seidel迭代收敛. 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下: 1 2 3 20、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据: 19 25 30 38 解: 解方程组 其中 解得: 所以, 22、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式 (1)对应迭代格式; (2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。 判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。 解: (1),,故收敛; (2),,故收敛; (3),,故发散。 选择 (1): ,,,,, , 23、(8分)已知方程组,其中 , (1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 (2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。 解: Jacobi迭代法: Gauss-Seidel迭代法: , 31、(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算的近似值,并利用余项估计误差。 用Newton插值方法: 差分表: 100 121 144 10 11 12 10+(115-100)(115-100)(115-121) = 33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组: 1.00000 34、(8分)求方程组的最小二乘解。 ,, 若用Householder变换,则: 最小二乘解: ,T. 37、(15分)已知方程组,其中,, (1)写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式; (2)判断 (1)中两种方法的收敛性,如果均收敛,说明哪一种方法收敛更快; 解: (1)Jacobi迭代法的分量形式 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 (2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为 , ,,Jacobi迭代法收敛 Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为 , ,,Gauss-Seidel迭代法发散 40、(10分)已知下列函数表: 0 1 2 3 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式; (2)作均差表,写出相应的三次Newton插值多项式,并计算的近似值。 解: (1) (2)均差表:
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- 数值 计算方法 试题 答案