函数求定义域方法总结和配套习题doc.docx
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函数定义域求法的总结和配套习题
(1)分式中的分母不为零;
(2)偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
(3)指数式的底数大于零且不等于一:
(4)对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零;
/
兀
(5)正切函数y=tanxxgk/r-^—.kgZ
(6)余切函数y=cotx(%gkn.kgZ):
(7)反三角函数的定义域
函数y=arcsinx的定义域是[—1,1],值域是22;
函数y=arccosx的定义域是[—1,1],值域是[0,门];
函数y=arctgx的定义域是R,值域是22;
函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,□)□
1、抽象的
一、已知/(兀)的定义域,求f[g(x)]的定义域
例1已知函数/(X)的定义域为[-h5],求/(3尢-5)的定义域.
分析:
该函数是由u=3x-5和/(况)构成的复合函数,其中兀是自变量,u是中间变量,由于于(兀)与/(%)是同一个函数/因此这里是已知TWuW5,即—lW3x—5W5,求x的取值范围・
41()
解:
/(兀)的定义域为[—1,5],—lW3x—5W5Ix—・
故函数f(3x-5)的定义域为
二、已知f[gM]的定义域,求/(兀)的定义域
例2已知函数f(x2-2x4-2)的定义域为[0,3],求函数/(X)的定义域.
分析:
令弘=兀2-2兀+2,则/(x2-2x+2)=f(ii),
由于/(⑴与/(x)是同一函数,因此“的取值范围即为/(切的定义域.
解:
由0W兀W3,得1W对—2兀+2W5•
v*w=%2-2x+2,贝lj/(x2—2x+2)=f(u),1WuW5.
故/(x)的定义域为[1,5]・
三、运算型的抽象函数
例3若/(X)的定义域为[-35],求仅兀)=/(-劝+/(2兀+5)的定义域•
「一3W—兀W5,
解:
由/(尢)的定义域为[-35],则©Or)必有_3V2x+5;5解得-4GW0.
所以函数©(X)的定义域为[二0]・
3、逆向型
例5已知函数y=7mA2-6mx+m-^8的定义域为R求实数m的取值范围。
分析:
函数的定义域为R,表明m<-6mx+/H4-8>0,使一切兀wR都成立,由x2项的系数是加,所以应分m=0或加H0进行讨论。
解:
当m=0时,函数的定义域为R;
当时'mx-6mm+8>0是二次不等式,其对一切实数x者0成立的充要条件是
[m>0
<=>0 [A二(-6m)2-4m(m+8)<0 综上可知0? 2<1o 评注: 不少学生容易忽略m=0的情况z希望通过此例解决问题。 亠7 例6已知函数/(x)=nr的定义域是R,求实数k的取值范围。 kx^+4fct+3 解: 要使函数有意义,则必须总2+4也+3工0恒成立z因为/(%)的定义域为R,即匕2+4匕+3=0无实数解 1当"0日寸,△=16/—4x3k 4 2当k=0时,方程左边=3丰0恒成立。 3 综上k的取值范围是05£v丁。 4 抽象函数的定义域 总结解题模板 1•已知./Xx)的定义域,求复合函数/[g(Q]的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为: 若/(X)的定义域为兀丘仏方),求出 中Q 2•已知复合函数/[g(x)]的定义域,求/(x)的定义域 方法是: 若/[§(%)]的定义域为xe(a,b),则由a 3•已知复合函数/[g(Q]的定义域,求f[h(x)]的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为: 可先由.f[g(Q定义域求得/⑴的定义域,再由/⑴的定义域求得f[h{x)\的定义域。 4.已知/(%)的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求岀各个函数的定义域,再求交集。 例1已知函数/(切的定义域为[-1,5],求/(3x-5)的定义域• 分析: 若/(x)的定义域为aWxWb,则在f[g(x)]中,dWg(x)Wb,从中解得尤的取值范围即为/[g(x)]的定义域.本题该函数是由w=3x-5和/(«)构成的复合函数,其中兀是自变量z伉是中间变量,由于/⑴与/(况)是同一个函数,因此这里是已知一1W%W5,即-1W3兀一5W5,求x的取值范围. 解: /(x)的定义域为[—1,5],二—1W3jv—5W5,x. 故函数心-5)的定义域为[老¥]・ 变式训练: 若函数y=/(Q的定义域为|,2,则/(log2X)的定义域为o 分析: 由函数y=/(兀)的定义域为韦,2可知: *K2;所以尸/(log2x)中有^ 解: 依题意知: + V2 /(log2x)的定义域为|x|V2 例2已知函数/(x2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数/(兀)的定义域. 分析: 若f[g(x)]的定义域为mWxWn,则由mWxWn确定的g(x)的范围即为/(Q的定义域•这种情况下,/(Q的定义域即为复合函数f[g(x)]的内函数的值域。 本题中令u=x2-2x-b2,则/(x2-2x+2)=f(u), 由于/(w)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为/(x)的定义域• 解: 由0W兀W3t得1W/—2兀+2W5. ^u=x2-2x+2,贝! ]/(+—2兀+2)=/(况),1WuW5. 故兀切的定义域为[1,5]・ 变式训练: 已知函数尹=*ig(x+DI的定义域为o 解: 由0 所以° 例3.函数尹=念+1)定义域是【-2,习,则y=f(2x-T)的定义域是() A.[0>2]b.[-L%[-5,%.[-3,7] 分析: 已知/[呂(X)]的定义域,求m⑴]的定义域,可先由/[呂(X)】定义域求 得/(R的定义域,再由/(R的定义域求得/[紅巾的定义域 解: 先求/(R的定义域 •••/0+1)的定义域是[一2,3].-2 即HE的定义域是[T,出,再求/WO)]的定义域v-l<2x-l<4 0兰x兰一£…[0»—] 2••了(2兀一1)的定义域是2,故应选A 变式训练: 已知函数f⑵)的定义域是[-1z1],求f(log2x)的定义域. 分析: 先求公的值域为M则log,x的值域也是M,再根据log,x的值域求定义域。 解Vy=f(2x)的定义域是[-1,1],即-1 •••函数y=f(log2x)中2 故函数f(log2x)的定义域为[忑,4] 例4若/(%)的定义域为[-35],求(p(x)=/(-x)+/(2x+5)的定义域. 分析: 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是: 先求出各个函数的定义域,然后再求交集• J-3W-兀W5,[-3W2兀+5W5, 解: 由f(x)的定义域为[-3,5],则0(兀)必有所以函数。 ⑴的定义域为[-40]・ 变式训练: 已知函数/㈤的定义域是©1],求g(x)=/(x+a)/(x-a)(-^ 2的定义域。 分析: 分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域,再取交集。
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