高三数学复习第6章 数列62 等差数列等比数列一.docx
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高三数学复习第6章数列62等差数列等比数列一
2011年高三数学复习(第6章数列):
6.2等差数列、等比数列
(一)
2011年高三数学复习(第6章数列):
6.2等差数列、等比数列
(一)
一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)
1.(4分)如果五个角依次成等差数列,最小的角为25°,最大的角为105°,则该等差数列的公差为( )
A.
16°
B.
15°
C.
20°
D.
13°20′
2.(4分)已知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n,则这个数列共有正数项( )
A.
44项
B.
45项
C.
90项
D.
无穷多项
3.(4分)若在a、b两数(a≠b)之间插入三个数,使它们成等差数列,其公差为d1;若在a、b两数之间插入四个数,使它们也成等差数列,其公差为d2,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
4.(4分)已知数列cosθ、cosθ•sinθ,cosθ•sin2θ,…是等比数列,则θ的取值范围是( )
A.
θ∈R且θ≠kπ(k∈Z)
B.
θ∈R且θ≠kπ+
(k∈Z)
C.
θ∈R且θ≠
(k∈Z)
D.
θ∈
5.(4分)在等比数列{an}中,已知a2=5,a4=10,则公比q的值为( )
A.
B.
C.
﹣
D.
6.(4分)下列说法中不正确的是( )
A.
在等比数列中,所有奇数项或者所有偶数项一定同号
B.
常数列一定是等比数列
C.
首项为正,公比大于1的等比数列一定是递增数列
D.
首项为负,公比大于1的等比数列一定是递减数列
7.(4分)在等差数列{an}中,已知a3=5,a7=﹣7,则a10的值为( )
A.
2
B.
5
C.
﹣19
D.
﹣16
8.(4分)如果数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{a3k﹣1}(k∈N*)( )
A.
仍是公差为d的等差数列
B.
是公差为3d的等差数列
C.
是等差数列,但公差无法确定
D.
不一定是等差数列
9.(4分)如果一个数列的通项公式是an=kn+b,其中k,b为实常数,则下列说法中正确的是( )
A.
数列{an}一定不是等差数列
B.
数列{an}是公差为k的等差数列
C.
数列{an}是公差为b的等差数列
D.
数列{an}不一定是等差数列
10.(4分)如果一个数列的通项公式是an=k•qn(k,q为不等于零的常数)则下列说法中正确的是( )
A.
数列{an}是首项为k,公比为q的等比数列
B.
数列{an}是首项为kq,公比为q的等比数列
C.
数列{an}是首项为kq,公比为q﹣1的等比数列
D.
数列{an}不一定是等比数列
11.(4分)若在两个正数a,b中间插入两个数,使它们成等比数列,则公比为q1;若在a,b中间插入三个数,使它们成等比数列,则公比为q2,那么q1与q2的关系是( )
A.
q13=q24
B.
q12=q23
C.
q1=
D.
q2=
12.(4分)(2003•天津)等差数列{an}中,已知
,a2+a5=4,an=33,则n为( )
A.
48
B.
49
C.
50
D.
51
二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)
13.(5分)在等差列{an}中,已知a1+a3+a5=9,a3•a42=27,则a10= _________ .
14.(5分)在Rt△ABC中,∠C=90°,它的三边成等差数列,则sinA+sinB= _________ .
15.(5分)在等比数列{an}中,已知a1、a2,a4成等差数列,则公比q= _________ .
三、解答题(共9小题,满分0分)
16.在等差数列{an}中,已知a4=70,a21=﹣100.
(1)求首项a1和公差d,并写出通项公式.
(2){an}中有多少项属于区间[﹣18,18]?
17.已知{an}是等比数列
(1)若m+n=l+k,则am•an与alak有何关系?
(2)若
、an有何关系?
(3)若an>0,a6a8+2a6a10+a8a10=36,求a7+a9的值.
18.有四个数a1、a2、a3、a4,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且a1+a4,a2+a3是方程x2﹣21x+108=0的两根,a1+a4>a2+a3,求这四个数.
19.(2003•天津)已知数列{an}满足a1=1,an=3n﹣1+an﹣1(n≥2).
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)证明
.
20.例1.已知等差数列{an}的第p项为r,第q项为S,(P≠q,r≠s);等差数列{bn}的第r项为p,第s项为q,试问这两个数列的公差有何关系?
证明你的结论.
21.若数列{an}的前n项之和为Sn,且满足lg(Sn+1)=n,求证:
数列{an}是等比数列.
22.例3:
已知数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的自然数n,均有
an成立,试证明数列{an}为等差数列.
23.例4.已知数列{an}中,a1=3,对于nN,以an,an+1为系数的一元二次方程anx2﹣2an+1x+1=0
都有根α、β且满足(α﹣1)(β﹣1)=2.
(1)求证数列
是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
24.已知a、b、c是成等比数列的三个正数,且公比不等于1,试比较a+c与2b,a2+c2与2b2、a3+c3与2b3,…的大小,由此得出什么一般性结论?
并证明之.
2011年高三数学复习(第6章数列):
6.2等差数列、等比数列
(一)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)
1.(4分)如果五个角依次成等差数列,最小的角为25°,最大的角为105°,则该等差数列的公差为( )
A.
16°
B.
15°
C.
20°
D.
13°20′
考点:
等差数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
根据等差数列的性质可知,最大角与最小角的差为公差的
,所以根据已知的最大和最小的角即可求出公差的值.
解答:
解:
由题意可知:
等差数列的等差d=
=20°.
故选C
点评:
此题考查学生掌握等差数列的性质,是一道基础题.
2.(4分)已知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n,则这个数列共有正数项( )
A.
44项
B.
45项
C.
90项
D.
无穷多项
考点:
等差数列;等差数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
本题给出数列的通项公式,要求数列的正数项,问题转化为解关于n的不等式,得到解集后注意数列的n的取值,求两部分的交集,得到结果.
解答:
解:
由题意知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n大于零,可以得到数列的正项个数,
∵90﹣2n>0,
∴n<45,
∵n∈N+,
∴这个数列共有正数项44项,
故选A.
点评:
本题考查等差数列,通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.
3.(4分)若在a、b两数(a≠b)之间插入三个数,使它们成等差数列,其公差为d1;若在a、b两数之间插入四个数,使它们也成等差数列,其公差为d2,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
等差数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
由题意知a+4d1=b,a+5d2=b,由此化简计算可知
的值.
解答:
解:
由题意知a+4d1=b,a+5d2=b,
∴4d1=b﹣a,5d2=b﹣a,
∴
.即
.
故选B.
点评:
本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.
4.(4分)已知数列cosθ、cosθ•sinθ,cosθ•sin2θ,…是等比数列,则θ的取值范围是( )
A.
θ∈R且θ≠kπ(k∈Z)
B.
θ∈R且θ≠kπ+
(k∈Z)
C.
θ∈R且θ≠
(k∈Z)
D.
θ∈
考点:
等比数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
根据等比数列各项不为0且公比不为0,可知sinθ≠0,cosθ≠0,进而可求得θ的取值范围
解答:
解:
由题意知:
sinθ≠0,cosθ≠0,
故θ≠2kπ且θ≠2kπ+
(k∈Z)
∴θ的取值范围是θ∈R且θ≠
(k∈Z)
故选C
点评:
本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.
5.(4分)在等比数列{an}中,已知a2=5,a4=10,则公比q的值为( )
A.
B.
C.
﹣
D.
考点:
等比数列.5157146
分析:
由等比数列的通项公式求解.
解答:
解:
∵数列{an}是等比数列
∴a4=a2•q2
∴q=
故选A
点评:
本题主要考查等比数列的通项公式.
6.(4分)下列说法中不正确的是( )
A.
在等比数列中,所有奇数项或者所有偶数项一定同号
B.
常数列一定是等比数列
C.
首项为正,公比大于1的等比数列一定是递增数列
D.
首项为负,公比大于1的等比数列一定是递减数列
考点:
等比数列的性质.5157146
分析:
常数列的项可以是0,等比数列中不能有0,故B不正确.利用数列的性质判断A,利用数学常识能够判断C、D.
解答:
解:
在等比数列中,当公比q>0时,所有各项同号.当公比q<0时,所有各项异号.由此知A正确;
因为等比数列中不能有0,而常数列的项可以是0,故B不正确;
由数学常识可知首项为正,公比大于1的等比数列会越来越大;首项为负,公比大于1的等比数列会越来越小,故选项C和D都正确.
故选B.
点评:
本题考查等比数列的性质和应用,难度并不大,解题时要注意考虑全面,避免不必要的错误.
7.(4分)在等差数列{an}中,已知a3=5,a7=﹣7,则a10的值为( )
A.
2
B.
5
C.
﹣19
D.
﹣16
考点:
等差数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
先根据a3=5,a7=﹣7求得公差d,进而根据a10=a7+3d求得答案.
解答:
解:
a7﹣a3=4d=﹣12
∴d=﹣3
∴a10=a7+3d=﹣16
故选D
点评:
本题主要考查了等差数列的性质.考查了学生对数列的基本知识的掌握.
8.(4分)如果数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{a3k﹣1}(k∈N*)( )
A.
仍是公差为d的等差数列
B.
是公差为3d的等差数列
C.
是等差数列,但公差无法确定
D.
不一定是等差数列
考点:
等差数列的性质.5157146
分析:
根据等差数列的定义,只要求出a3k﹣1﹣a3(k﹣1)﹣1,即可作出判断.
解答:
解:
∵数列{an}是公差为d的等差数列,
∴a3k﹣1﹣a3(k﹣1)﹣1=a1+(3k﹣2)d﹣a1﹣[3(k﹣1)﹣2]d=3d,
故数列{a3k﹣1}是公差为3d的等差数列.
故选B.
点评:
本题考查了等差数列的定义,是高考的必考内容.
9.(4分)如果一个数列的通项公式是an=kn+b,其中k,b为实常数,则下列说法中正确的是( )
A.
数列{an}一定不是等差数列
B.
数列{an}是公差为k的等差数列
C.
数列{an}是公差为b的等差数列
D.
数列{an}不一定是等差数列
考点:
等差关系的确定.5157146
分析:
由等差数列的通项公式知数列的通项公式是an=kn+b的数列是等差数列,本题考查的是等差数列的意义.若题目再问首项是什么,则要变形得到.
解答:
解:
∵一个数列的通项公式是an=kn+b,
∴数列是公差为k的等差数列.
故选B
点评:
理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解答简单的问题.
10.(4分)如果一个数列的通项公式是an=k•qn(k,q为不等于零的常数)则下列说法中正确的是( )
A.
数列{an}是首项为k,公比为q的等比数列
B.
数列{an}是首项为kq,公比为q的等比数列
C.
数列{an}是首项为kq,公比为q﹣1的等比数列
D.
数列{an}不一定是等比数列
考点:
等比数列的通项公式;等比数列的性质.5157146
分析:
用定义法来判断一数列是否为等比数列.
解答:
解:
∵an=k•qn∴a1=kq
又∵
由等比数列定义知:
数列{an}是首项为kq,公比为q的等比数列
故选B
点评:
本题主要考查判断一个数列的方法.
11.(4分)若在两个正数a,b中间插入两个数,使它们成等比数列,则公比为q1;若在a,b中间插入三个数,使它们成等比数列,则公比为q2,那么q1与q2的关系是( )
A.
q13=q24
B.
q12=q23
C.
q1=
D.
q2=
考点:
等比关系的确定;数列的应用.5157146
专题:
计算题.
分析:
根据a,b中分别求得(q1)3和(q2)4,进而可得答案.
解答:
解:
(q1)3=
,(q2)4=
∴q13=q24故选A
点评:
本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式,属基础题.
12.(4分)(2003•天津)等差数列{an}中,已知
,a2+a5=4,an=33,则n为( )
A.
48
B.
49
C.
50
D.
51
考点:
等差数列.5157146
专题:
计算题;方程思想.
分析:
先由等差数列的通项公式和已知条件解出d,进而写出an的表达式,然后令an=33,解方程即可.
解答:
解:
设{an}的公差为d,
∵
,a2+a5=4,
∴
+d+
+4d=4,即
+5d=4,
解得d=
.
∴an=
+
(n﹣1)=
,
令an=33,
即
=33,
解得n=50.
故选C.
点评:
本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+(n﹣1)d,注意方程思想的应用.
二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)
13.(5分)在等差列{an}中,已知a1+a3+a5=9,a3•a42=27,则a10= ﹣39或30 .
考点:
等差数列的通项公式.5157146
专题:
计算题.
分析:
根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3,又a1+a3+a5=9,即可求出a3的值,把a3的值代入a3•a42=27中即可求出a4的值,根据a4的值,即可求出首项和公差,根据首项和公差,利用等差数列的通项公式即可求出a10的值.
解答:
解:
由a1+a3+a5=3a3=9,解得a3=3,
则a3•a42=3a42=27,解得a4=﹣3,或a4=3,
所以公差d=﹣3﹣3=﹣6,首项a1=15;公差d=0,首项a1=3,
则a10=15﹣6(10﹣2)=﹣39;a10=30.
故答案为:
﹣39或30
点评:
此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道综合题.
14.(5分)在Rt△ABC中,∠C=90°,它的三边成等差数列,则sinA+sinB=
.
考点:
等差数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
根据等差中项的性质可知2b=a+c,利用正弦定理把边转化成角的正弦,根据A+B=90°化简整理得cosB=2sinB﹣1,进而根据sin2B+cos2B=1求得sinB,进而根据sinA=cosB求得sinA,答案可得.
解答:
解:
依题意可知2b=a+c,由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC=sinA+1=cosB+1
cosB=2sinB﹣1
∵sin2B+cos2B=1
∴(2sinB﹣1)2+sin2B=1,解得sinB=
或0(舍去)
∴sinA=cosB=
=
∴sinA+sinB=
+
=
故答案为
点评:
本题主要考查了等差数列的性质和正弦定理的应用.涉及了同角三角函数的基本关系,综合考查了学生对所学知识的应用.
15.(5分)在等比数列{an}中,已知a1、a2,a4成等差数列,则公比q= 1或=±
.
考点:
等差数列的性质;等比数列的性质.5157146
分析:
由a1、a2,a4成等差数列直接求解.
解答:
解:
∵a1、a2,a4成等差数列
∴2a1×q=a1+a1•q3
∴q=1,q=±
,
故答案是1或=±
.
点评:
本题主要考查等比数列的通项公式.
三、解答题(共9小题,满分0分)
16.在等差数列{an}中,已知a4=70,a21=﹣100.
(1)求首项a1和公差d,并写出通项公式.
(2){an}中有多少项属于区间[﹣18,18]?
考点:
等差数列的通项公式.5157146
专题:
计算题.
分析:
(1)设出首项a1和公差d,因为a4=70,a21=﹣100.代入即可求出首项a1和公差d,利用等差数列的通项公式得到即可;
(2)利用数列的通项属于[﹣18,18],得到关于n的不等式,求出解集中的正整数解即可.
解答:
解:
(1)设此等差数列的首项a1和公差d,由a4=70,a21=﹣100得:
a1+3d=70,a1+20d=﹣100
所以a1=100,d=﹣10,所以an=a1+(n﹣1)d=﹣10n+110;
(2)由题意知:
an∈[﹣18,18]即﹣18≤﹣10n+110≤18,解得9.2≤n≤12.8
因为n取正整数,所以n=10,11,12,所以{an}中有3项属于区间[﹣18,18].
点评:
考查学生会求等差数列的通项公式的能力,高考对本章的考查比较全面,等差数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力.
17.已知{an}是等比数列
(1)若m+n=l+k,则am•an与alak有何关系?
(2)若
、an有何关系?
(3)若an>0,a6a8+2a6a10+a8a10=36,求a7+a9的值.
考点:
等比数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
(1)利用等比数列的性质可知,等比数列的项数若m+n=l+k,am•an=alak,
(2)根据等比数列中项数成等差数列,则数列依然成等比数列的性质求得答案.
(3)利用等比中项的性质化简整理求得结果.
解答:
解:
(1)根据等比数列的等比中项性质可知若m+n=l+k,am•an=alak,
(2)若
,即m,l和n成等差数列,则am,al和an成等比数列.
(3)a6a8+2a6a10+a8a10=a27+2a9a7+a29=(a7+a9)2=36
且an>0,
∴a7+a9=6
点评:
本题主要考查了等比数列的性质.等比数列公式多且与不等式、幂函数、对数函数等知识综合考查,故应注意多积累.
18.有四个数a1、a2、a3、a4,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且a1+a4,a2+a3是方程x2﹣21x+108=0的两根,a1+a4>a2+a3,求这四个数.
考点:
等差数列的性质;等比数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
首先通过解方程求出a1+a4,a2+a3的值,再结合等差数列和等比数列的性质得到2a2=a1+a3,a32=a2a4,消元解方程即可.
解答:
解:
∵a1+a4,a2+a3是方程x2﹣21x+108=0的两根,a1+a4>a2+a3,
∴解得a1+a4=12,a2+a3=9,
又∵2a2=a1+a3,a32=a2a4,
∴a3=9﹣a2,a1=3a2﹣9,a4=21﹣3a2;
∴(9﹣a2)=a2(21﹣3a2),
解得a2=3或a2=
,
当a2=3时,a1=0,a3=6,a4=12;
a2=
时,a1=
,a3=
,a4=
.
满足a1+a4>a2+a3;
∴四数分别为0,3,6,12.或
.
点评:
本题主要考查等差数列和等比数列的性质与方程的综合应用问题,对学生的运算能力要求较高.
19.(2003•天津)已知数列{an}满足a1=1,an=3n﹣1+an﹣1(n≥2).
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)证明
.
考点:
数列递推式;数列的概念及简单表示法.5157146
专题:
计算题;证明题.
分析:
(Ⅰ)由a1=1,an=3n﹣1+an﹣1(n≥2),当n=2时可求a2,n=3时求得a3(Ⅱ)利用递推式构造an﹣an﹣1=3n﹣1,然后通过累加可求出an
解答:
解:
(I)∵a1=1,
∴a2=3+1=4,
∴a3=32+4=13;
(II)证明:
由已知an﹣an﹣1=3n﹣1,n≥2
故an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1
=
.n≥2
当n=1时,也满足上式.
所以
.
点评:
本题是个基础题,主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项.注意验证n=1..
20.例1.已知等差数列{an}的第p项为r,第q项为S,(P≠q,r≠s);等差数列{bn}的第r项为p,第s项为q,试问这两个数列的公差有何关系?
证明你的结论.
考点:
等差数列的性质.5157146
专题:
计算题.
分析:
结合已知条件,利用等差数列的通项公式,分别表示出这两个数列的公差,从而求解.
解答:
解:
设{an}的首项为a,公差为m,{bn}的首项为b,公差为n.
则依题意有a+(p﹣1)m=r,a+(q﹣1)m=s,
两式相减得:
(p﹣q)m=r﹣s,
∵P≠q,r≠s,
∴m=
;
同理有b
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- 高三数学复习第6章 数列62 等差数列等比数列一 数学 复习 数列 62 等差数列 等比数列