MATLAB的离散非周期信号频域分析报告.docx

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MATLAB的离散非周期信号频域分析报告

基于MATLAB的离散信号频域分析、快速傅里叶变换与采样定理

一、离散信号频域分析

（一）周期离散方波信号频域分析

与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式，并得到离散傅里叶级数（DFS）

上式可以看成周期离散信号x（n）的离散傅里叶级数展开。

上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称与构成一对离散傅里叶级数变换对。

（以上两式中）

在MTALAB中，DFS通过建立周期延拓函数语句实现：

functionXk=DFS（n,x,N）

ifN>length（x）

n=0:

N-1;

x=[xzeros（1,N-length（x））];

end

k=0:

N-1;

WN=exp（-j*2*pi/N）;

nk=n'*k;

WNnk=WN.^nk;

Xk=x*WNnk;

end

建立一个离散非周期方波信号

通过周期延拓后所得的周期序列利用DFS计算实现代码如下：

clearall;closeall;clc;

n=0:

3;

x=ones（1,4）;

X=fft（x,1024）;

Xk1=DFS（n,x,4）;

Xk2=DFS（n,x,8）;

figure

（1）;

plot（（-1023:

2048）/2048*8,[abs（X）abs（X）abs（X）],'--'）;holdon;

stem（-4:

7,[abs（Xk1）abs（Xk1）abs（Xk1）],'LineWidth',2）;grid;

figure

（2）;

plot（（-1023:

2048）/2048*16,[abs（X）abs（X）abs（X）],'--'）;holdon;

stem（-8:

15,[abs（Xk2）abs（Xk2）abs（Xk2）],'LineWidth',2）;grid;

set（gcf,'color','w'）;

运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的频谱：

即第一幅图表示的是周期序列的频谱，

第二幅图表示的是周期序列的频谱。

两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。

（二）非周期离散方波信号频域分析

对于非周期离散方波信号，可采用离散时间傅里叶变换DTFT进行分析。

上式为离散时间信号x（n）的离散时间傅里叶变换（DTFT）。

上式为的离散时间傅里叶反变换（IDTFT）。

由于：

所以序列x（n）绝对可和，意味着DTFT存在，而非稳定序列（比如周期序列）不满足绝对可和条件，所以其DTFT不存在。

在MTALAB中，DTFT可以用以下语句实现：

w=-3*pi:

0.01:

3*pi;

K=length（w）;

X=x*exp（-j*n'*w*K）;

建立一个离散非周期方波信号

的离散傅里叶变换利用DTFT计算实现代码如下：

clearall;closeall;clc;

n=0:

7;

x=ones（1,8）;

w=-3*pi:

0.01:

3*pi;

X=x*exp（-j*n'*w）;

figure

（1）;

plot（w/pi,abs（X））;grid;

figure

（2）;

plot（w/pi,angle（X））;grid;

set（gcf,'color','w'）;

运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：

幅频特性

相频特性

（三）两种变换DFS的DTFT的性质

DFS主要具有如下性质：

1.线性性质

2.周期卷积性质

3.复共轭

4.帕斯瓦尔定理

DTFT同连续时间信号傅里叶变换相似，具有如下性质：

1.线性性质

2.时域频域平移性质

3.时间翻转性质

4.共轭对称性质

5.时域频域卷积性质

6.调制性质

7.频域微分性质

8.帕斯瓦尔定理

从DTFT的推导过程，说明DTFT是DFS当的极限情况。

共同点：

在时域都是离散的，在频域都是以为周期，周而复始。

不同点：

离散时间周期信号频谱是离散的，具有谐波性，是谐波复振幅，适用于计算机计算。

而离散时间非周期信号的频谱则是连续的，不具有谐波性，表示的是谐波密度，是连续变量Ω的函数，所以不便于计算机进行分析计算。

（四）离散傅里叶变换（DFT）

由于DTFT不便于计算机进行计算，所以需要建立一种时域和频域都是离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（DFT）

上式为离散时间非周期信号的离散傅里叶变换（DFT）

上式为DFT的反变换，记作IDFT。

和称为离散傅里叶变换（DFT）对。

在MTALAB中，DFT通过建立函数实现：

functionXk=DFT（n,x,N）

ifN>length（x）

n=0:

N-1;

x=[xzeros（1,N-length（x））];

end

k=0:

N-1;

WN=exp（-j*2*pi/N）;

nk=n'*k;

WNnk=WN.^nk;

Xk=x*WNnk;

End

建立一个离散非周期方波信号

的离散傅里叶变换利用DFT计算实现代码如下：

clearall;closeall;clc;

n=0:

7;

x=ones（1,8）;

X=fft（x,1024）;

Xk2=DFT（n,x,16）;

figure

（1）;

plot（（-1023:

2048）/2048*32,[abs（X）abs（X）abs（X）],'--'）;holdon;

stem（-16:

31,[abs（Xk2）abs（Xk2）abs（Xk2）],'LineWidth',2）;grid;

figure

（2）;

plot（（-1023:

2048）/2048*32,[angle（X）angle（X）angle（X）],'--'）;holdon;

stem（-16:

31,[angle（Xk2）angle（Xk2）angle（Xk2）],'LineWidth',2）;grid;

set（gcf,'color','w'）;

运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：

幅频特性

相频特性

两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。

离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而与其他傅里叶变换有着相似的性质。

但是它又是从傅里叶级数派生而来的，所以又具有一些与其他傅里叶变换不同的特性，最主要的是圆周位移性质和圆周卷积性质。

二、快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换，简称FFT，是计算DFT的快速算法，习惯上是指以库利和图基算法为基础的一类高效算法。

根据快速傅里叶变换基本思路以及基2FFT算法，在MTALAB中，FFT通过建立函数实现：

functiony=fft（x）

m=nextpow2（x）;

N=2^m;

iflength（x）

x=[x,zeros（1,N-length（x））];

end

nxd=bin2dec（fliplr（dec2bin（[1:

N]-1,m）））+1;

y=x（nxd）;

formm=1:

m

Nmr=2^mm;

u=1;

WN=exp（-i*2*pi/Nmr）;

forj=1:

Nmr/2

fork=j:

Nmr:

N

kp=k+Nmr/2;

t=y（kp）*u;

y（kp）=y（k）-t;

y（k）=y（k）+t;

end

u=u*WN;

end

end

建立一个离散非周期方波信号

的快速傅里叶变换利用FFT计算实现代码如下：

clearall;closeall;clc;

x=ones（1,8）;

fx=fft（x,512）;

z=abs（fx）;

k=0:

length（z）-1;

plot（k,z）;

运行后得到该离散非周期方波信号的幅频特性：

分别利用FFT和DFT进行相同运算：

clearall;closeall;clc;

K=input（'K='）;

N=2^K;

n=0:

N-1;x=randn（1,2^K）;

tic,X=fft（x,N）,toc

tic,X=DFT（n,x,N）,toc

运行结果如下：

Columns1through4069

Elapsedtimeis0.218536seconds.

Columns1through4069

Elapsedtimeis16.726921seconds.

由此可见，采用DFT计算时间为16.726921秒，而采用FFT计算只需要0.218536秒；说明，FFT在计算速度上，明显优于其他算法。

三、采样定理

（一）时域采样定理

为了验证时域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列。

在MATLAB中，通过以下程序实现：

clearall;closeall;clc;

x=ones（1,8）;

D=2;

xd=x（1:

D:

length（x））;

fx=fft（x,512）;

fxd=fft（xd,512）;

z=abs（fx）;

s=abs（fxd）;

k=0:

length（z）-1;

plot（k,s,k,z）;

D=2时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。

D=3时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。

D=4时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。

D=0.5时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。

由此可见，采样周期在D大于2的范围内，出现明显的混叠现象，有失真产生，而在小于1的范围内，采样过于密集，增加运算系统负担。

因此，可验证时域采样定理。

（二）频域采样定理

为了验证频域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列。

在MATLAB中，通过以下程序实现：

clearall;closeall;clc;

x=-10:

0.001:

10;

y=（sin（x））/x;

X=fft（y,20）;

D=7;

Xd=X（1:

D:

length（X））;

fxd=ifft（Xd,20）;

s=fxd;

k=0:

length（s）-1;

plot（k,s）;

D=7时根据频域样本集合恢复的原信号

D=3时根据频域样本集合恢复的原信号

D=10时根据频域样本集合恢复的原信号

由此可见，采样周期在D小于7的范围内，根据频域样本恢复的原信号与实际原信号有很大差别。

因此，可验证频域采样定理。