初中数学基本几何图形.docx
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初中数学基本几何图形
初中数学基本几何图形
这篇帖子是关于几何基本图形的。
每一个几何压轴题,几乎都是由几个基本图形构成的,所以如果能把这些图形用熟,做几何题应该不成问题。
1、正方形与等腰直角三角形
正方形ABCD,EF为过正方形点B的直线且AE⊥EF,CF⊥EF,则有△AEB≌△BFC。
将上图进行转换,则该基本图形存在于等腰三角形中,可利用此图证明勾股定理:
令AD=BE=a,DB=CE=b,AB=BC=c,S△ABC=
c2=
(a+b)2-ab;化简得到:
c2=a2+b2
2、梯形中位线
梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别为AB、DC中点,则有EF=
(AD+BC)
结合1、2有一道经典题目,在此奉上。
△ABC,分别以AB、AC为边向外做正方形ABFG、ACDE,连接FD,取FD中点H,作HI⊥BC,证明:
HI=
BC
提示:
先证明BC等于梯形上下底边之和
【变形题1】
如图1,以△ABC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE,M是DF的中点,N是BC的中点,连接MN.探究线段MN与BC之间的关系,并加以证明.
说明:
如果你经过反复探索没有解决问题,可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明,选取①比原题少得6分,选取②比原题少得8分.
①如图2,将正方形ACDE绕点A旋转,使点C、E分别落在AG、AB上;
②如图3,将正方形ACDE绕点A旋转,使点B、A、C在一条直线.
答案:
解:
BC⊥MN.
证明:
连接CM,然后延长CM至H,使CM=MH,连接FH、BH、CM、BM,HG、CG,延长CD,与BF相交于I,
∵MF=MD,CM=HM,∠CMD=∠HMF,
∴△CMD≌△HMF,
∴AC=HF=CD,
∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF,
∴∠HGF=∠DCM,∠GHF=∠IGC,
∠BIC=∠IGC+∠DCM,
∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB,
∴△ABC≌△FBH,
∵四边形ABIC中∠ABI=∠ACI=90°,
∴∠HBF=∠ABC,
∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°,
∴BC⊥BH,
∵N是BC中点,M是HC中点,
∴MN∥BH,
∴BC⊥MN.
分析:
延长CM至H,使CM=MH,连接FH、BH、CM、BM,延长CD,与BF相交于I,根据MF=MD,CM=HM,∠CMD=∠HMF,可以证明∠BAC=∠HFB,即可证明△ABC≌△FBH,于是证明得∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°,故知BC⊥BH,又因为N是BC中点,M是HC中点,可得MN‖BH,于是证明出BC⊥MN.
【变形题2】
如图
(1),在Rt△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED,连结AD、CF,AD与CF交于点M。
(1)求证:
△ABD≌△FBC;
(2)如图
(2),已知AD=6,求四边形AFDC的面积;
(3)在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,当∠ACB≠90°时,c2≠a2 +b2。
在任意△ABC中,c2=a2 +b2+k。
就a=3,b=2的情形,探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可)。
【变形题3】
已知:
如图所示,从Rt△ABC的两直角边AB,AC向外作正方形ABFG及ACDE,CF,BD分别交AB,AC于P,Q.求证:
AP=AQ
.
3、角平分线出等腰。
AD平分∠BAC,且BD∥AC,则BA=BD,此图形常出现于菱形中,若有AB=AC,则连接CD后有菱形BACD。
补充一句,上一图可用于证明角分线定理。
4、双垂图。
5、一线三等角相似
AB=AC,∠ADE=∠B,则△ABD∽△DCE
6、正方形中两垂直线段。
正方形ABCD中,AF⊥DE,则有AF=DE;平移AF、DE进行推广,在正方形ABCD中,MN⊥PQ,则有MN=PQ
7、直角三角形斜边中线。
AB⊥AC,D为BC中点,则AD=BD=CD,该图可从矩形中挖出,也可从圆中找到图形。
8、直角三角形共圆
9、等腰三角形线段关系
11、常见旋转型2。
12、常见旋转型3
13、四边形共圆
deal处理dealtdealt四边形共圆2
deal处理dealtdealt
hang挂hunghung一道经典例题
一线三角模型的特殊形式。
4.以ow/aw结尾的词,把ow/aw变成ew。
如:
blow—blew,draw—drew,know—knew,grow—grew
sew缝合sewedsewn/sewed补充:
一线三角相等模型中,∠B=∠C=∠ADE=n°,则∠ADB+∠EDC=180-n°,∠DEC+∠EDC=180-n°所以,∠ADB=∠DEC,又因为∠B=∠C,所以△ADB相似于△DEC,所以AD/DE=BD/CE。
当点D为中点时,BD=DC,则AD/DE=DC/CE,又因为∠C=∠ADE,所以△ADE相似于△DEC。
证毕
make制作mademade
dream做梦dreamed/dreamtdreamed/dreamt
双等边三角形(正方形)模型
上一楼图形的性质
性质1:
通过证全等可知左图中,BD=AE,右图中,BE=DF
性质2:
证全等后,做双高可知左图中,CF平分∠BFE,右图中,CH平分∠BHF
性质3:
左图中,BD和AE相交所构成的其中的一个角为60°,右图中,BE和DF垂直,当扩展到正n边形时,两线相交所构成的其中的一个角等于这个正n边形的各个内角。
spell拼写spelt/spelledspelt/spelled
throw投/扔threwthrown北京中考经典好题。
write书写wrotewritten
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