重庆市涪陵区第十九中学届九年级上学期第一次月考数学试题解析版.docx
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重庆市涪陵区第十九中学届九年级上学期第一次月考数学试题解析版
十九中学校2019-2020学年九年级(上)第一次月考
数学试题
(全卷共四个大题,满分150分,考试时间120分钟)
注意事项:
试题的答案书写在答题卡上,不得在试卷上直接作答;
作答前认真阅读答题卡上的注意事项;
作图(包括辅助线)请一律用黑色签字笔完成;
考试结束,由监考人员将试题和答题卡一并收回.
一、选择题:
(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个正确,请将答.题.卡.上对应题目正确答案的标号涂黑.
1.下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A.ax2+bx+c=0B.x2-x(x+7)=0C.2x2-y-1=0D.x2-2x-3=0
2.抛物线y=-(x-1)2-2的顶点坐标是( )
A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)
3.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k>-2且k≠1B.k<2C.k>2D.k<2且k≠1
4.抛物线y=-2x2经过平移得到y=-2x2-4x-5,平移方法是( )
A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
5.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则m+n的值是( )
A.-10B.10C.-6D.2
6.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为-4
D.抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0)
7.烟花厂为庆祝国庆节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-
t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A.3sB.4sC.5sD.6s
8.设x1、x2是一元二次方程x2+x-3=0的两根,则x13-4x22+15等于( )
A.8B.-4C.6D.0
9.某商品原价800元,连续两次降价a%后售价为578元,下列所列方程正确的是( )
A.800(1+a%)2=578B.800(1﹣a%)2=578
C.800(1﹣2a%)=578D.800(1﹣a2%)=578
10.函数
在同一直角坐标系内的图象大致是()
11.如图,四边形ABCD是矩形,AB=8,BC=4,动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动,同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B-C-D的方向运动,当点Q到达点D时P、Q同时停止运动,若记△PQA的面积为y,运动时间为x,则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是( )
12已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的结论有( ).
①abc<0;②2a+b=0;③b2-4ac<0;④9a+3b+c>0;⑤c+8a<0.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
13.若函数
是二次函数,则m=________.
14点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是____________.
15.已知关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个实数根,求k的取值范围。
16.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①a+c=0,方程ax2+bx+c=0,有两个不相等的实数;
②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立.
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有b2-4ac=(2am+b)2成立.
其中正确的结论是.(把你认为正确结论的序号都填上)
17.在一条笔直的公路上有A、B两地,甲、乙两辆货车都要从A地送货到B地,甲车先从A地出发匀速行驶,3小时后乙车从A地出发,并沿同一路线匀速行驶,当乙车到达B地后立刻按原速返回,在返回途中第二次与甲车相遇。
甲车出发的时间记为t(小时),两车之间的距离记为y(千米),y与t的函数关系如图所示,则乙车第二次与甲车相遇时甲车距离A地千米。
18.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品中,大笔记本购买的数量是本.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
19.
(1)解方程:
x2−6x+5=0
(2)解方程:
20如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90∘,∠E=35∘,求∠EFB的度数。
四、(本大题共4小题,每小题10分,满分40分)
21.已知关于x的方程ax2+ax+a−2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根。
22.在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:
DF=AB;
(2)若∠FDC=30∘,且AB=4,求AD.
23.已知抛物线
与x轴只有一个交点,且交点为A(-2,0).
(1)求b,c的值;
(2)若抛物线与y轴的交点为B,坐标原点为O,求△OAB的面积.
24.为推进生态文明建设,加快发展新能源汽车,国家对新能源汽车实行补贴政策。
一家4S店从事某品牌纯电动汽车和插电式混动汽车两种新能源汽车(以下简称电动车和混动车)的销售,电动车每辆进价16万元,去年国家对该车每辆补贴4.5万元,补贴后每辆售价14万元;混动车每辆进价18万元,去年国家对该车每辆补贴2.8万元,补贴后每辆售价18万元。
该4S店去年12月共销售这两种汽车120辆,获得利润324万元。
(1)求该4S店去年12月销售了多少辆混动车?
(2)今年国家对该品牌新能源汽车的补贴有所下降,电动车每辆比去年少补贴0.5万元,混动车每辆比去年少补贴0.8万元,该4S店为减少损失,今年1月把电动车的售价提高了m%,结果销量在去年12月的基础上减少了52m%,对混动车的售价没有作调整,而销量在去年12月的基础上增加了2.4m辆,结果该4S店今年1月的利润比去年12月少了14万元,求m的值。
五、(本大题共2小题,每小题12分,满分24分)
25.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”。
(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;
(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数。
若四位数m为“极数”,记D(m)=m33,求满足D(m)是完全平方数的所有m.
26.已知抛物线y=14x2+1(如图所示).
(1)填空:
抛物线的顶点坐标是(___,___),对称轴是___;
(2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,点M在直线AP上。
在平面内是否存在点N,使四边形OAMN为菱形?
若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由。
(备用图1)(备用图2)
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A.ax2+bx+c=0B.x2﹣x(x+7)=0
C.2x2﹣y﹣1=0D.x2﹣2x﹣3=0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0.
【解答】解:
A、当a=0时,该方程不是一元二次方程,故本选项不符合题意.
B、由该方程得到﹣7x=0,未知数的最高次数是1,故本选项不符合题意.
C、该方程中含有两个未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意.
D、该方程符合一元二次方程的定义,故本选项符合题意.
故选:
D.
2.抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣2的顶点坐标是( )
A.(1,2)B.(﹣1,﹣2)C.(﹣1,2)D.(1,﹣2)
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.
【解答】解:
抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣2的顶点坐标是(1,﹣2).
故选:
D.
3.已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<﹣2B.k<2C.k>2D.k<2且k≠1
【分析】根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的范围.
【解答】解:
根据题意得:
△=b2﹣4ac=4﹣4(k﹣1)=8﹣4k>0,且k﹣1≠0,
解得:
k<2,且k≠1.
故选:
D.
4.抛物线y=﹣2x2经过平移到y=﹣2x2﹣4x﹣5,平移方法是( )
A.向左平移1个单位,再向上平移3各单位
B.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移3个单位
【分析】把y=﹣2x2﹣4x﹣5转化为顶点式形式并写出顶点坐标,然后根据顶点的变化确定出平移方法是解题的关键.
【解答】解:
∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2(x+1)2﹣3,
∴y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标为(﹣1,﹣3),
∴抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位,再向下平移3个单位得到y=﹣2x2﹣4x﹣5.
故选:
B.
5.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n的值是( )
A.﹣10B.10C.﹣6D.2
【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,求出即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,
∴﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,
解得:
m=﹣2,n=﹣8,
∴m+n=﹣10,
故选:
A.
6.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
【分析】A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向.
B利用x=﹣
可以求出抛物线的对称轴.
C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值.
D当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标.
【解答】解:
∵抛物线过点(0,﹣3),
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣2x﹣3.
A、抛物线的二次项系数为1>0,抛物线的开口向上,正确.
B、根据抛物线的对称轴x=﹣
=﹣
=1,正确.
C、由A知抛物线的开口向上,二次函数有最小值,当x=1时,y的最小值为﹣4,而不是最大值.故本选项错误.
D、当y=0时,有x2﹣2x﹣3=0,解得:
x1=﹣1,x2=3,抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0),(3,0).正确.
故选:
C.
7.烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣
t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A.3sB.4sC.5sD.6s
【分析】将关系式h=﹣
t2+20t+1化为顶点式,由二次函数的性质就可以求出结论.
【解答】解:
∵h=﹣
t2+20t+1,
∴h=﹣
(t﹣4)2+41,
∴当t=4秒时,礼炮达到最高点爆炸.
故选:
B.
8.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根,则x13﹣4x22+15等于( )
A.﹣4B.8C.6D.0
【分析】首先求出两个之和与两根之积,然后把x13﹣4x22+15转化为3(x1+x2)﹣(x1+x2)2+2x1x2+6,然后整体代入即可.
【解答】解:
∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根,
∴x1+x2=﹣1,x1x2=﹣3,x12=3﹣x1,x22=3﹣x2
∵x13=x1x12=x1(3﹣x1)=3x1﹣x12,
∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣(3﹣x1)﹣4(3﹣x2)+15=4(x1+x2)=﹣4
∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4,
故选:
A.
9.某商品原价800元,连续两次降价a%后售价为578元,下列所列方程正确的是( )
A.800(1+a%)2=578B.800(1﹣a%)2=578
C.800(1﹣2a%)=578D.800(1﹣a2%)=578
【分析】直接根据题意分别表示出两次降价后的价格进而得出等式求出答案.
【解答】解:
由题意可得:
800(1﹣a%)2=578.
故选:
B.
10.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据a、b的符号,针对二次函数、一次函数的图象位置,开口方向,分类讨论,逐一排除.
【解答】解:
当a>0时,二次函数的图象开口向上,
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,
故A、D不正确;
由B、C中二次函数的图象可知,对称轴x=﹣
>0,且a>0,则b<0,
但B中,一次函数a>0,b>0,排除B.
故选:
C.
11.如图,四边形ABCD是矩形,AB=8,BC=4,动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动,同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B﹣C﹣D的方向运动,当点Q到达点D时P、Q同时停止运动,若记△PQA的面积为y,运动时间为x,则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据题意,分两种情况:
(1)当动点Q在BC边上运动时;
(2)当动点Q在CD边上运动时;然后根据三角形的面积的求法,分类讨论,求出y与x之间函数关系式,进而判断出y与x之间函数关系图象的是哪个即可.
【解答】解:
(1)如图1,当动点Q在BC边上运动时,
,
∵4÷3=
,
∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是
秒,
∵AP=2x,BQ=3x,
∴y=2x×3x÷2=3x2(0<x
),
∴抛物线开口向上;
(2)如图2,当动点Q在CD边上运动时,
,
∵(8+4)÷3=4(秒),4﹣
,
∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是
秒,
∵AP=2x,BC=4,
∴y=2x×4÷2=4x(
<x≤4),单调递增,
综上,可得
y=
,
∴能大致表示y与x之间函数关系图象的是:
.
故选:
B.
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的结论有( )
①abc<0;②2a+b=0;③b2﹣4ac<0;④9a+3b+c>0;⑤c+8a<0.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据函数的图象得出图象的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,对称轴是直线x=1,抛物线的图象和x轴有两个交点,函数与x轴的交点坐标是(﹣1,0)和(3,0),再逐个判断即可.
【解答】解:
∵图象的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,对称轴是直线x=1,
∴a<0,c>0,﹣
=1,
即2a+b=0,b>0,
∴abc<0,故①②正确;
∵抛物线的图象和x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,故③错误;
∵抛物线的图象的对称轴是直线x=1,和x轴的一个交点坐标是(﹣1,0),
∴另一个交点坐标是(3,0),
即当x=3时,y=a×32+b×3+c=0,故④错误;
∵2a+b=0,
即b=﹣2a,代入解析式得:
y=ax2﹣2ax+c,
当x=3时,y=9a﹣6a+c=3a+c=0,
∵a<0,
∴3a+c+5a=8a+c<0,故⑤正确;
即正确的有3个,
故选:
C.
二.填空题(共6小题)
13.若函数y=(m﹣
)
是二次函数,则m= ﹣
.
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案.
【解答】解:
∵函数y=(m﹣
)
是二次函数,
∴m2=2,且m﹣
≠0,
解得:
m=﹣
.
故答案为:
﹣
.
14.点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 y1=y2>y3 .
【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向下,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,可判断y1=y2>y3.
【解答】解:
∵y=﹣x2+2x+c,
∴对称轴为x=1,
P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,
故y1=y2>y3,
故答案为y1=y2>y3.
15.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根,则k的取值范围是 k≥﹣1且k≠0 .
【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组,求出k的取值范围即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根,
∴
,
解得k≥﹣1且k≠0.
故答案为:
k≥﹣1且k≠0.
16.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①a+c=0,方程ax2+bx+c=0,有两个不相等的实数;
②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立.
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有b2﹣4ac=(2am+b)2成立.
其中正确的结论是 ①④ .(把你认为正确结论的序号都填上)
【分析】①根据根的判别式即可作出判断;
②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,则△=b2﹣4ac>0,当c=0时,cx2+bx+a=0不成立;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则代入即可作出判断;
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根,即方程有实根,判别式△≥0,结合m是方程的根,代入一定成立,即可作出判断.
【解答】解:
①因为a+c=0,a≠0,所以①a、c异号,所以△=b2﹣4ac>0,所以方程有两个不等的实数根;
②当c=0时不成立;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,当c=0时,ac+b+1=0不一定成立;
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根,所以有am2+bm+c=0,即am2=﹣(bm+c),而(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2=4a[﹣(bm+c)]+4abm+b2=4abm﹣4abm﹣4ac+b2=b2﹣4ac.
所以①④成立.
故答案为:
①④.
17.在一条笔直的公路上有A、B两地,甲、乙两辆货车都要从A地送货到B地,甲车先从A地出发匀速行驶,3小时后,乙车从A地出发,并沿同一路线匀速行驶,当乙车到达B地后立刻按原速返回,在返回途中第二次与甲车相遇.甲车出发的时间记为t(小时),两车之间的距离记为y(千米),y与t的函数关系如图所示,则乙车第二次与甲车相遇时,甲车距离A地 495 千米.
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度,然后即可求得甲乙第二次相遇的时刻,进而求得乙车第二次与甲车相遇时,甲车距离A地多少千米.
【解答】解:
设甲车的速度为akm/h,乙车的速度为bkm/h,
,
解得,
,
设甲乙第二次相遇的时间为t小时,
300=(60+180)×(t﹣7),
解得,t=
,
则乙车第二次与甲车相遇时,甲车距离A地:
60×
=495(千米),
故答案为:
495.
18.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元.若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品中,大笔记本购买的数量是 8 本.
【分析】根据题意结合奖品的价格得出5x+7y+10z=346,y=2z,再利用共花费346元,分别得出x,y,z的取值范围,进而得出z的取值范围,分别分析得出所有的可能.
【解答】解:
设购买小笔记本x本,大笔记本y本,钢笔z支,
则有5x+7y+10z=346,y=2z,
易知0<x≤69,0<y≤49,0<z≤34,
∴5x+14z+10z=346,5x+24z=346,即x=
.
∵x,y,z均为正整数,346﹣24z≥0,即0<z≤14,
∴z只能取14,9和4,
①当z为14时,x=
=2,y=2z=28,x+y+z=44.
②当z为9时,x=
=26,y=2z=18.x+y+z=53.
③当z为4时,x=
=50,y=2z=8.x+y+z=62.
综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本50本,大笔记本8本,钢笔4支.
故答案为:
8
三.解答题(共8小题)
19.解方程:
(1)x2﹣6x+5=0
(2)2x2﹣3x﹣1=0.
【分析】
(1)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
【解答】解:
(1)x2﹣6x+5=0,
(x﹣5)(x﹣1)=0,
x﹣5=0,x﹣1=0,
x1=5,x2=1;
(2)2x2﹣3x﹣1=0,
b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×(﹣1)=17,
x=
,
x1=
,x2=
.
20.如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°,再根据GE平分∠FGD,AB∥CD,即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°,再根据∠FHG是△EFH的外角,即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°.
【解答】解:
∵∠EFG=90°,∠E=35°,
∴∠FGH=55°,
∵GE平分∠FGD,AB∥CD,
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°,
∵∠FHG是△EFH的外角,
∴∠EFB=55°﹣35°=20°.
21.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:
不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【分析】
(1)设方程的
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