数学教案充分条件与必要条件高一数学教案模板.docx
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数学教案充分条件与必要条件高一数学教案模板
数学教案-充分条件与必要条件_高一数学教案_模板
教学目标
(1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
(2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;
(3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
(4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
教学建议
(一)教材分析
1.知识结构
首先给出推断符号“”,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条件的初步知识.
2.重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判断.
(1)充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系.
(2)在判断条件和结论之间的因果关系中应该:
①首先分清条件是什么,结论是什么;
②然后尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法),也可以举反例说明其不成立;
③最后再指出条件是结论的什么条件.
(3)在讨论条件和条件的关系时,要注意:
①若,但,则是的充分但不必要条件;
②若,但,则是的必要但不充分条件;
③若,且,则是的充要条件;
④若,且,则是的充要条件;
⑤若,且,则是的既不充分也不必要条件.
(4)若条件以集合的形式出现,结论以集合的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.
①若,则是的充分条件;
显然,要使元素,只需就够了.类似地还有:
②若,则是的必要条件;
③若,则是的充要条件;
④若,且,则是的既不必要也不充分条件.
(5)要证明命题的条件是充要条件,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.由于原命题逆否命题,逆命题否命题,当我们证明某一命题有困难时,可以证明该命题的逆否命题成立,从而得出原命题成立.
(二)教法建议
1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系.充要条件中的,与四种命题中的,要求是一样的.它们可以是简单命题,也可以是不能判断真假的语句,也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题.
2.由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习兴趣是关键.教学中始终要注意以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”,去体会概念的本质属性.
3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关,为此,教学时可以从判断命题的真假入手,来分析命题的条件对于结论来说,是否充分,从而引入“充分条件”的概念,进而引入“必要条件”的概念.
4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的合理性,在教学过程()中,教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念,从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.
教学设计示例
充要条件
教学目标:
(1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
(2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;
(3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
(4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
教学重点难点:
关于充要条件的判断
教学用具:
幻灯机或实物投影仪
教学过程()设计
1.复习引入
练习:
判断下列命题是真命题还是假命题(用幻灯投影):
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)全等三角形的面积相等;
(4)对角线互相垂直的四边形是菱形;
(5)若,则;
(6)若方程有两个不等的实数解,则.
(学生口答,教师板书.)
(1)、(3)、(6)是真命题,
(2)、(4)、(5)是假命题.
置疑:
对于命题“若,则”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?
答:
看能不能推出,如果能推出,则原命题是真命题,否则就是假命题.
对于命题“若,则”,如果由经过推理能推出,也就是说,如果成立,那么一定成立.换句话说,只要有条件就能充分地保证结论的成立,这时我们称条件是成立的充分条件,记作.
2.讲授新课
(板书充分条件的定义.)
一般地,如果已知,那么我们就说是成立的充分条件.
提问:
请用充分条件来叙述上述
(1)、(3)、(6)的条件与结论之间的关系.
(学生口答)
(1)“,”是“”成立的充分条件;
(2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;
(3)“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件.
从另一个角度看,如果成立,那么其逆否命题也成立,即如果没有,也就没有,亦即是成立的必须要有的条件,也就是必要条件.
(板书必要条件的定义.)
提出问题:
用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
(学生口答).
(1)因为,所以是的充分条件,是的必要条件;
(2)因为,所以是的必要条件,是的充分条件;
(3)因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;
(4)因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;
(5)因为,所以是的必要条件,是的充分条件;
(6)因为“方程的有两个不等的实根”“”,而且“方程的有两个不等的实根”“”,所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件,而且是必要条件.
总结:
如果是的充分条件,又是的必要条件,则称是的充分必要条件,简称充要条件,记作.
(板书充要条件的定义.)
3.巩固新课
例1 (用投影仪投影.)
B
A是B的什么条件
B是的什么条件
是有理数
是实数
、是奇数
是偶数
是4的倍数
是6的倍数
(学生活动,教师引导学生作出下面回答.)
①因为有理数一定是实数,但实数不一定是有理数,所以是的充分非必要条件,是的必要非充分条件;
②一定能推出,而不一定推出,所以是的充分非必要条件,是的必要非充分条件;
③、是奇数,那么一定是偶数;是偶数,、不一定都是奇数(可能都为偶数),所以是的充分非必要条件,是的必要非充分条件;
④表示或,所以是成立的必要非充分条件;
⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件;
⑥由知且,所以是成立的充分非必要条件;
⑦由知或,所以是,成立的必要非充分条件;
⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件;
(通过对上述问题的交流、思辩,在争论中得到了正确答案,并加深了对充分条件、必要条件的认识.)
例2 已知是的充要条件,是的必要条件同时又是的充分条件,试与的关系.(投影)
解:
由已知得
,
所以是的充分条件,或是的必要条件.
4.小结回授
今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念,并学会了判断条件A是B的什么条件,这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.
课内练习:
课本(人教版,试验修订本,第一册(上))第35页练习l、2;第36页练习l、2.
(通过练习,检查学生掌握情况,有针对性的进行讲评.)
5.课外作业:
教材第36页 习题1.8 1、2、3.
教学目标 1.理解函数的概念,了解函数的三种表示法,会求函数的定义域.
(1)了解函数是特殊的映射,是非空数集A到非空数集B的映射.能理解函数是由定义域,值域,对应法则三要素构成的整体.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法:
解析法,列表法,和图象法.了解每种方法的优点.
(3)能正确使用“区间”及相关符号,能正确求解各类函数的定义域.
2.通过函数概念的学习,使学生在符号表示,运算等方面的能力有所提高.
(1)对函数记号有正确的理解,准确把握其含义,了解(为常数)与的区别与联系;
(2)在求函数定义域中注意运算的合理性与简洁性.
3.通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡,是学生能从发展的角度看待数学的学习.
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
(2)重点难点分析
本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念.,主要包括对函数的定义,表示法,三要素的作用的理解与认识.教学难点是函数的定义和函数符号的认识与使用.
①由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义,并具体研究了几类最简单的函数,对函数并不陌生,所以在高中重新定义函数时,重要的是让学生认识到它的优越性,它从根本上揭示了函数的本质,由定义域,值域,对应法则三要素构成的整体,让学生能主动将函数与函数解析式区分开来.对这一点的认识对于后面函数的性质的研究都有很大的帮助.
②在本节中首次引入了抽象的函数符号,学生往往只接受具体的函数解析式,而不能接受,所以应让学生从符号的含义认识开始,在符号中,在法则下对应,不是与的乘积,符号本身就是三要素的体现.由于所代表的对应法则不一定能用解析式表示,故函数表示的方法除了解析法以外,还有列表法和图象法.此外本身还指明了谁是谁的函数,有利于我们分清函数解析式中的常量与变量.如,它应表示以为自变量的二次函数,而如果写成,则我们就不能准确了解谁是变量,谁是常量,当为变量时,它就不代表二次函数.
2.教法建议
(1)高中对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸.深化首先体现在函数的定义更具一般性.故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子,并用变量观点加以解释,教师再给出如:
是不是函数的问题,用变量定义解释显得很勉强,而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然,所以有重新认识函数的必要.
(2)对函数是三要素构成的整体的认识,一方面可以通过对符号的了解与使用来强化,另一方面也可通过判断两个函数是否相同来配合.在这类题目中,可以进一步体现出三要素整体的作用.
(3)关于对分段函数的认识,首先它的出现是一种需要,可以给出一些实际的例子来说明这一点,对自变量不同取值,用不同的解析式表示同一个函数关系,所以是一个函数而不是几个函数,其次还可以举一些数学的例子如这样的函数,若利用绝对值的定义它就可以写成,这就是一个分段函数,从这个题中也可以看出分段函数是一个函数.
教学设计方案
2.2函数
教学目标:
1.理解函数的概念,了解函数三要素.
2.通过对函数抽象符号的认识与使用,使学生在符号表示方面的能力得以提高.
3.通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡,使学生能从发展与联系的角度看待数学学习.
教学重点难点:
重点是在映射的基础上理解函数的概念;
难点是对函数抽象符号的认识与使用.
教学用具:
投影仪
教学方法:
自学研究与启发讨论式.
教学过程:
一、复习与引入
今天我们研究的内容是函数的概念.函数并不象前面学习的集合,映射一样我们一无所知,而是比较熟悉,所以我先找同学说说对函数的认识,如函数是什么?
学过什么函数?
(要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义,并试举出各类学过的函数例子)
学生举出如等,待学生说完定义后教师打出投影片,给出定义之后教师也举一个例子,问学生.
提问1.是函数吗?
(由学生讨论,发表各自的意见,有的认为它不是函数,理由是没有两个变量,也有的认为是函数,理由是可以可做.)
教师由此指出我们争论的焦点,其实就是函数定义的不完善的地方,这也正是我们今天研究函数定义的必要性,新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点,将它完善与深化.
二、新课
现在请同学们打开书翻到第50页,从这开始阅读有关的内容,再回答我的问题.(约2-3分钟或开始提问)
提问2.新的函数的定义是什么?
能否用最简单的语言来概括一下.
学生的回答往往是把书上的定义念一遍,教师可以板书的形式写出定义,但还要引导形式发现定义的本质.
(板书)2.2函数
一、函数的概念
1.定义:
如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射就叫做A到B的函数,记作.其中原象集合A称为定义域,象集C称为值域.
问题3:
映射与函数有何关系?
(函数一定是映射吗?
映射一定是函数吗?
)
引导学生发现,函数是特殊的映射,特殊在集合A,B必是非空的数集.
2.本质:
函数是非空数集到非空数集的映射.(板书)
然后让学生试回答刚才关于是不是函数的问题,要求从映射的角度解释.
此时学生可以清楚的看到满足映射观点下的函数定义,故是一个函数,这样解释就很自然.
教师继续把问题引向深入,提出在映射的观点下如何解释是个函数?
从映射角度看可以是其中定义域是,值域是.
从刚才的分析可以看出,映射观点下的函数定义更具一般性,更能揭示函数的本质.这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要.所以我们着重从映射角度再来认识函数.
3.函数的三要素及其作用(板书)
函数是映射,自然是由三件事构成的一个整体,分别称为定义域.值域和对应法则.当我们认识一个函数时,应从这三方面去了解认识它.
例1以下关系式表示函数吗?
为什么?
(1);
(2).
解:
(1)由有意义得,解得.由于定义域是空集,故它不能表示函数.
(2)由有意义得,解得.定义域为,值域为.
由以上两题可以看出三要素的作用
(1)判断一个函数关系是否存在.(板书)
例2下列各函数中,哪一个函数与是同一个函数.
(1);
(2) (3); (4).
解:
先认清,它是(定义域)到(值域)的映射,其中
.
再看
(1)定义域为且,是不同的;
(2)定义域为,是不同的;
(4),法则是不同的;
而(3)定义域是,值域是,法则是乘2减1,与完全相同.
求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致,这时三要素的又一作用.
(2)判断两个函数是否相同.(板书)
下面我们研究一下如何表示函数,以前我们学习时虽然会表示函数,但没有相系统研究函数的表示法,其实表示法有很多,不过首先应从函数记号说起.
4.对函数符号的理解(板书)
首先让学生知道与的含义是一样的,它们都表示是的函数,其中是自变量,是函数值,连接的纽带是法则,所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体.下面我们举例说明.
例3已知函数试求(板书)
分析:
首先让学生认清的含义,要求学生能从变量观点和映射观点解释,再进行计算.
含义1:
当自变量取3时,对应的函数值即;
含义2:
定义域中原象3的象,根据求象的方法知.而应表示原象的象,即.
计算之后,要求学生了解与的区别,是常量,而是变量,只是中一个特殊值.
最后指出在刚才的题目中是用一个具体的解析式表示的,而以后研究的函数不一定能用一个解析式表示,此时我们需要用其他的方法表示,具体的方法下节课再进一步研究.
三、小结
1.函数的定义
2.对函数三要素的认识
3.对函数符号的认识
四、作业:
略
五、板书设计
2.2函数 例1. 例3.
一.函数的概念
1.定义
2.本质 例2. 小结:
3.函数三要素的认识及作用
4.对函数符号的理解
探究活动
函数在数学及实际生活中有着广泛的应用,在我们身边就存在着很多与函数有关的问题如在我们身边就有不少分段函数的实例,下面就是一个生活中的分段函数.
夏天,大家都喜欢吃西瓜,而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关.某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写的是:
6斤以下,每斤0.4元.6斤以上9斤以下,每斤0.5元,9斤以上,每斤0.6元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说5元1角,1角就不要了,给5元吧,可这位聪明的顾客马上说,你不仅没少要,反而多收了我钱,当顾客讲出理由,店主只好承认了错误,照实收了钱.
同学们,你知道顾客是怎样店主坑人了呢?
其实这样的数学问题在我们身边有很多,只要你注意观察,积累,并学以至用,就能成为一个聪明人,因为数学可以使人聪明起来.
答案:
若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样的价钱,所以店主坑人了.
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:
当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的认识:
2.对定义的认识(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:
一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?
为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?
(不能)确定一个等比数列需要几个条件?
当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?
所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:
用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)
(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.
(板书)
(2)对公式的认识
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?
(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)
如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的认识
高中新教村《数学》第一册(下)
§4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质
(一)
正弦函数、余弦函数的图象
单位:
河南省济源市第一中学
作者:
石 明 秀
时间:
2000年9月9日
一、教材分析:
本节课是高中新教材《数学》第一册(下)§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节,是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上,进一步研究三角函数图象的画法.为今后学习正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础.因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识的掌握起到了承上启下的作用.
二、学情分析:
在初中学生已经学习过三步作图法(列表,描点、连线)——“描点作图”法,对于函数y=sinx,当x取值时,y的值大都是近似值,加之作图上的误差,很难认识新函数y=sinx的图象的真实面貌。
因为在前面已经学习过三角函数线,这就为用几何法作图提供了基础。
动手作出函数y=sinx和y=cosx的图象,学生不会感到困难。
三、教学目标:
依据教学大纲的要求,制订如下三维教学目标:
知识目标是:
1.理解几何法作图原理(难点);
2.掌握五点法作图(重点);
3.了解三角函数图象的变换作图.
能力目标是:
通过
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