高等数学基础知识点归纳.docx
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高等数学基础知识点归纳
第一讲函数,极限,连续性
1、集合的概念
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给
定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能
构成集合,因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集,记作N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集,记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集,记作R。
集合的表示方法
⑴、列举法:
把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合
⑵、描述法:
用集合所有元素的共同特征来表示集合
集合间的基本关系
⑴、子集:
一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就
说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?
B。
⑵、相等:
如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中
的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:
如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合
B的真子集,记作A。
⑷、空集:
我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:
①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
⑴、并集:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
记作A
∪B。
(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。
)
即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
⑵、交集:
一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。
记作A
∩B。
即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
⑶、全集:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。
通常记作U。
⑷、补集:
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U
的补集。
简称为集合A的补集,记作CUA。
即CUA={x|x∈U,且x不属于A}。
⑸、运算公式:
交换律:
A∪B=B∪AA∩B=B∩A
结合律:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
分配律:
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶律:
CU(A∪B)=CUA∩CUB
CU(A∩B)=CUA∪CUB
集合中元素的个数
⑴、有限集:
我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。
例如A={a,b,c},则card(A)=3。
⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有
card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
2、常量与变量
⑴、变量的定义:
我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,
我们把其称之为常量;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其称
之为变量。
⑵、变量的表示:
如果变量的变化是连续的,则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说,区间是指介于
某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间
[a,+∞):
表示不小于a的实数的全体,也可记为:
a≤x<+∞;
(-∞,b):
表示小于b的实数的全体,也可记为:
-∞<x<b;
(-∞,+∞):
表示全体实数,也可记为:
-∞<x<+∞
注:
其中-∞和+∞,分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域:
设α与δ是两个实数,且δ>0.满足不等式│x-α│<δ的实数x的全体称为点α的δ邻域,点
α称为此邻域的中心,δ称为此邻域的半径。
3、函数
⑴、函数的定义:
如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,量y按照一定的法则f总有确
定的数值与它对应,则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通
常x叫做自变量,y叫做函数值(或因变量),变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注:
为了表明y是x的函数,我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之
间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确
定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。
这里我们只
讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:
定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应
关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。
3、函数的简单性态
⑴、函数的有界性:
如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立,其中M是一个与x无关
的常数,那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界。
注:
一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数。
函数的有界性,单调性应与相关点集I联系起来,离开了点集I。
这些概念是没有任何意义的。
⑵、函数的单调性:
如果函数在定义域区间(a,b)内随着x增大而增大,即:
对于(a,b)内任意两点x
1
2时,有()()
fx1fx,则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调增加的。
及x2,当x1<x
2
如果函数f(x)在定义域区间(a,b)内随着x增大而减小,即:
对于(a,b)内任意两点
x
1
及x
2,当x1<xfx1fx,则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调减小的。
2时,有()()
2
⑶、函数的奇偶性
如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)f(x),则f(x)叫做偶函数;如果函数对于定
义域内的任意x都满足f(x)f(x),则f(x)叫做奇函数。
注:
偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称。
奇偶函数的定义域必关于原点对称。
⑷、函数的周期性
设f(x)的定义域为I。
若存在T0,对任意的xI,都使得f(xT)f(x)(xTI),则称
函数f(x)为周期函数,称T为其周期。
注:
我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
周期函数的定义域必是无限的点集,但也不能说是全体实数,如ytanx的定义域为(-∞,+∞)。
且
xkππ/2(k=0,1,2....)
A.奇函数+奇函数=奇函数B.偶函数+偶函数=偶函数C.奇函数·偶函数=奇函数
D.奇函数·奇函数=偶函数E偶函数·偶函数=偶函数
T
若f(x)以T为最小正周期,则f(x)以(0)
为最小正周期
4、反函数
⑴、反函数的定义:
若由函数yf(x)得到x(y),则称x(y)是yf(x)的反函数,yf(x)
1x为直接函数,反函数也可记为yf()
11
注:
f[f(x)]f[f(x)]x
⑵、反函数的存在定理:
若在(a,b)上严格增(减),其值域为R,则它的反函数必然在R
上确定,且严格增(减).
例题:
2
yx,其定义域为(-∞,+∞),值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得xy.若我们
不加条件,由y的值就不能唯一确定x的值,也就是在区间(-∞,+∞)上,函数不是严格增(减),故其没有反
函数。
如果我们加上条件,要求x≥0,则对y≥0、x=就是
2
yx在要求x≥0时的反函数。
即是:
函数在此
要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质:
在同一坐标平面内,与的图形是关于直线y=x对称的。
例题:
函数
x
y2与函数ylog2x互为反函数,则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线
yx对称的。
如右图所示:
5、复合函数
复合函数的定义:
若y是u的函数:
yf(u),而u又是x的函数:
u(x),且(x)的函数
值的全部或部分在f(u)的定义域内,那么,y通过u的联系也是x的函数,我们称后一
个
函数是由函数yf(u)及u(x)复合而成的函数,简称复合函数,记作
yf[(u)],其中u叫做中间变量。
注:
并不是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。
例题:
函数与函数是不能复合成一个函数的因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值(都大
于或等于2),使yarcsinu都没有定义。
6、初等函数
⑴、基本初等函数:
我们最常用的有五种基本初等函数,分别是:
指数函数、对数函数、幂函数、三
角函数及反三角函数。
下面我们用表格来把它们总结一下:
⑵、初等函数:
由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一
个解析式表出的函数称为初等函数.
注:
初等函数必须能用一个式子表示,不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数,故分段函数一般不能
叫初等函数
7、数列的极限
⑴、数列的极限:
设{
x}为一数列,如果存在常熟a,对于任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在正整
n
数N,使得当nN时,不等式xa
n都成立,那么就称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列收敛于
a,记为limxa或xna(n)
n
n
注:
此定义中的正数ε只有任意给定,不等式才能表达出与a无限接近的意思。
且定义中的正整数N与任意
给定的正数ε是有关的,它是随着ε的给定而选定的。
在利用数列极限定义证明某个数列是否存在极限
时,重要的是对于任意给定的正数,只要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在,但没有必
要去求最小的N。
如果知道xa
n小于某个量(这个量是n的一个函数),那么当这
个量小于时,xna当然也成立若令这个量小于来定出N比较方便的话,就可以采用这种方法。
⑵、数列的有界性:
对于数列,若存在着正数M,使得一切都满足不等式││≤M,则称数
列是有界的,若正数M不存在,则可说数列是无界的。
⑶、收敛数列的几个重要性质:
A.极限的唯一性:
如果数列{
x}收敛,那么它的极限唯一。
(根据极限的定义用反证法证明)
n
B.有界性:
如果数列{
x}收敛,那么它一定有界。
n
注:
数列收敛是数列有界的充分非必要条件。
即数列收敛,一定有界,但数列有界不一定收敛。
例:
数列1,-1,1,-1,,,(-1),,是有界的,但它是发散的。
C.保号性:
如果xa
lim且a0(或a0)那么存在正整数N0,当nN时,都有0
x(或nn
n
0
x)
n
推论:
如果数列{
x}从某项起有xn0(或xn0),且limxna,那么a0(或
n
n
a0)
注:
即使从某项起有x0(或xn0),且limxna,那么a不一定一定为a0,也有可能
n
n
a0。
D.收敛数列与子数列的关系:
如果数列{
x}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限是a。
n
如果数列{
x}有俩个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发
n
散的。
⑷.数列存在的充分必要条件:
xa2lim
limlimxxa
nn2n1
nnn
其任一子数列的极限都为a
8、函数的极限
前面我们学习了数列的极限,已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取n→∞内的正整数,
若自变量不再限于正整数的顺序,而是连续变化的,就成了函数。
下面我们来学习函数的极限.
函数的极值有两种情况:
a):
自变量无限增大;b):
自变量无限接近某一定点x0下面我们结合着数列的极
限来学习一下函数极限的概念!
⑴、函数的极限(分两种情况)
a):
自变量趋向无穷大时函数的极限
定义:
设函数f(x)当x大于某一正数时有定义,若存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论其多么小),
总存在着正数X,使得当x满足不等式xX时,对应的函数值f(x)都满足不等式
f(),那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限,记作f(xA
xAlim)或f(x)A
x
(当x)
注:
x(x)时f(x)的极限定义只需要将以上定义中的xX改为xX(或xX)即可。
下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下:
b):
自变量趋向有限值时函数的极限
定义:
设函数f(x)在点
x的某一去心邻域内有定义,若存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论其多
0
么小),总存在着正数,使得当x满足不等式0xx0时,对应的函数值f(x)都满足不等式
f(),那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限,记作fxA
xAlim()
xx
0
或f(x)A
(当xx0)
注:
在定义中只要求在去心邻域内不等式成立,不要求在
x点此不等式成立,意味着xx0时f(x)以A为
0
极限与f(x)在
x点是否有定义即使有定义函数值等于什么无关。
0
自己参考数列极限引生函数的左右极限概念。
注:
xx0时函数极限存在的充要条件:
lim
xx
0
f(x)A
lim
xx
0
f(x)
limf(x)
xx
0
A
有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为A,其证明方法是怎样的呢?
a):
先任取ε>0;
b):
写出不等式f(x)A;
c):
解不等式能否得出去心邻域
0xx,若能;
0
d):
则对于任给的ε>0,总能找出δ,当
0xx时,f(x)A成立,因此limf(x)A
0
xx
0
⑵、函数的极限的性质
参考数列极限的重要性质:
唯一性,局部有界性,局部保号性
⑶、函数极限与数列极限的关系
如果极限limf(x)
存在,{
xx
0
x}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足:
xnx0,那么相
n
应的函数值数列{f(x)}必收敛,且limf(x)limf(x)
n
nxxx
00
。
9、无穷小与无穷大
无穷大量:
设有函数yf(x),在x=x
0的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数N(一个任意大
的数),总可找到正数δ,当
0xx时,f(x)N成立,则称函数当xx0时为无穷大量。
0
记为:
limf(x)
xx
0
(表示为无穷大量,实际它是没有极限的)
同样我们可以给出当x→∞时,无穷大的定义:
设有函数yf(x),当x充分大时有定义,对于任意
给定的正数N(一个任意大的数),总可以找到正数M,当xM时,f(x)N成立,则称函数当x→∞时是
无穷大量,记为:
limf(x)
x
无穷小量:
以0为极限的变量叫无穷小量。
(定义参照无穷大)
注意:
无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量
与无穷小量的区别是:
前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于0.
无穷小的运算性质
A.有限个无穷小的和也是无穷小
B.有限个无穷小的乘积也是无穷小
C.有界函数与无穷小的乘积是无穷小
D.常数与无穷小的乘积是无穷小
极限与无穷小的关系:
f(x)Af(x)A,其中是在与f(x)A时自变量的同一变化
趋势下的无穷小量。
无穷小的比较:
通过前面的学习我们已经知道,两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小
量的商会是怎样的呢?
好!
接下来我们就来解决这个问题,这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义:
设α,β都是时的无穷小量,且β在x
0的去心邻域内不为零,
a):
如果lim0
xx
0
,则称是的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小,记作o();
b):
如果lim0
c
xx
0
,则称和是同阶无穷小;
c):
如果lim1
xx
0
,则称和是等价无穷小,记作:
∽(与等价);
d):
如果lim0,0
ck
k
xx
0
,则称是关于的k阶无穷小
注:
a.无穷小比较中的和必须是在自变量相同变化趋势下的无穷小量.
b.无穷小的比较只是定性的,即只有阶的高低之别,没有数量上的关系
C.不是任何无穷小量都能比较其阶的高低
如:
当x时,
sin
2
x
x
,
1
2
x
都是无穷小量,但limlimsinx不存在,不能比较其阶的
xx
高低
等价无穷小的性质
''
A.设∽
'
,∽
'
且
lim存在,则.
'
limlim
'
注:
这个性质表明:
求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此我们可以利用这
个性质来简化求极限问题,但是做无穷小变换时必须分子或分母整体替换,不能分子或分母分项替换。
B.与是等价无穷小的充分必要条件为:
o()
C.常用的等价无穷小有:
当x0时
1
(1x)1∽xloga(1x)∽x
lna
1cosx∽
1
2
2x
xe1∽x
x
sinx∽tanx∽arcsinx∽x∽ln(1x)∽arctanx1∽xln{0且1}
无穷大与无穷小的关系
在自变量的同一变化过程中,如果f(x)是无穷大,则
f
1
(x)
为无穷下;如果f(x)是无穷小且f(x)0,
1
则为无穷大。
f(x)
10、函数极限的运算法则
⑴、函数极限的运算规则
若已知xx0(或x)时,f(x)A,g(x)B
则fxgxAB
lim(()())
xx
0
lim(
xx
0
f
x
()
gxA
()
B
f(x)
lim
xx()
gx
0
A
B
(B0)
推论:
如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]climf(x)
如果limf(x)存在,而n为正整数,则
lim[
nfx
f(x)][lim()]
n
注:
数列极限也有同样的运算性质。
复合函数的极限的运算法则
设函数yf[g(x)]是由函数ug(x)与函数yf(u)复合而成,f[g(x)]在点
x的某去心领域内有
0
定义,若gxu0fuA,且存在00,当xU(x0,0)时,有g(x)u0,则
lim(),lim()
xxuu
00
lim
xx
0
fg
[
(
x
)]
lim
uu
0
f
u
()
A
⑵极限存在准则
准则一:
如果数列{
x},{yn},{zn}满足下列条件
n
A.从某项起,即存在nN,当nn0时,有ynxnzn
B.limya,limza
nn
nn
那么数列{
x}的极限存在,且limxna
n
n
注:
此准则也就是夹逼准则.
准则二:
单调有界的函数必有极限.
注:
有极限的函数不一定单调有界
两个准则都可以推广到函数的极限,但要注意使用的条件。
⑶、两个重要的极限
sin
lim
x
0x
x
1
1
1
x
xxe
lim
(1)或lim
(1)e
x0x
x
注:
我们要记住这两个重要的极限,在今后的解题中会经常用到它们。
例题:
求
2
lim(1
xx
)
x
解答:
令
x
tx2txt
2
则
211
xt2
2t)]
lim
(1)lim
(1)lim[(1e
xxttt
t
2
注:
解此类型的题时,一定要注意代换后的变量的趋势,像x时,若用t代换
⑷.关于极限的几个重要结论
1
x
,则t0。
A.
lim
n
n
q
{
0
q
q
1
1
B.limn1
a(a0)
n
C.limn1
n
n
D.
lim
n
nm
nn1
axaxaa
01n0(其中0,0
{nma0b)
mm10
bxbxbb
01m0
0nm
11、函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象,如气温的变化,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的
反映,就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2,终值与初值的差x2x1就叫做变量x的增量,记为:
x即:
xx2x增量x可正可负.
1
我们再来看一个例子:
函数yf(x)在点
x的邻域内有定义,当自变量x在领域内从x0变到x0x
0
时,函数y相应地从f(x0)变到f(x0x),其对应的增量为:
yf(x0x)f(x0)
这个关系式的几何解释如下图:
现在我们可对连续性的概念这样描述:
如果当x趋向于零时,函数y对应的增量y也趋向于零,即:
lim
x0
y0
,那么就称函数yf(x)在点
x处连续。
0
函数连续性的定义:
设函数yf(x)在点
x的某个邻域内有定义,如果有limf(x)f(x0)
0
xx
0
称函数yf(x)在点
x处连续,且称x0为函数的的连续点.
0
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念:
设函数在区间(a,b]
内有定义,如果左极限limf(x)
xb0
存在且等于f(b),即:
limf(x)f(b)
xb0
,那么我们就称函数
f(x)在点b左连续.设函数f(x)在区间[a,b)内有定义,如果右极限limf(x)
xa0
存在且等于f(a),即:
lim
xa
0
f(x)f(a)
,那末我们就称函数在点a右连续.
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续,若又在a点右连续,b点左连续,则在闭区间[a,
b]连续,如果在整个定义域内连续,则称为连续函数。
注:
一个函数若在定义域内某一点左、右都连续,则称函数在此点连续,否则在此点不连续.
注:
连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习
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