第11章《反比例函数》专题复习.docx
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第11章《反比例函数》专题复习
第11章《反比例函数》专题复习
一、反比例函数的对称性
1、直线y=ax(a>0)与双曲线y=3/x交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则4x1y2-3x2y1=
2、如图1,直线y=kx(k>0)与双曲线y=2/x交于A,B两点,若A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),
B(x2,y2),则x1y2+x2y1的值为( )
A、-8B、4C、-4D、0
解析:
直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称
因此两交点A、B也关于原点对称
X2=-X1,Y2=-Y1
双曲线形式可变化为XY=2,即双曲线上点的横纵坐标乘积为2
因此X1Y1=2
X1Y2+X2Y1=X1(-Y1)+(-X1)Y1=-X1Y1-X1Y1=-4
图1图2图3图4
二、反比例函数中“K”的求法
1、如图2,直线l是经过点(1,0)且与y轴平行的直线.Rt△ABC中直角边AC=4,BC=3.将BC边在直线l上滑动,使A,B在函数y=k/x的图象上.那么k的值是( )
A、3B、6C、12D、15/4
解析:
∵BC在直线X=1上,设B(1,M),则C(1,M-3),
∴A(5,M-3),
又A、B都在双曲线上,
∴1*M=5*(M-3),M=15/4即K=15/4
2、如图3,已知点A、B在双曲线y=k/x(x>0)上,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,AC与BD交于点P,P是AC的中点,若△ABP的面积为3,则k=
解析:
A(x1,k/x1),B(x2,k/x2)
AC:
x=x1BD:
y=k/x2
P(x1,k/x2)
k/x2=k/2x12x1=x2
BP=x2-x1=x1
AP=k/x1-k/x2=k/2x1
S=x1*k/(2x1)*1/2)=k/4=3k=12
3、如图4,双曲线y=k/x(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为( )
A、y=1/xB、y=2/xC、y=3/xD、𝑦=6/𝑥
解析:
设E(x0,k/x0)
E是BC中点,∴B(x0,2k/x0)
B、D两点纵坐标相同,∴D(x0/2,2k/x0)
BD=x0/2,OC=x0,BC=2k/x0
梯形面积=(BD+OC)×BC/2=3k/2=3
∴k=2∴双曲线的解析式为:
y=2/x
三、反比例函数“K”与面积的关系
1、如图5,已知双曲线y1=1/x(x>0),y2=4/x(x>0),点P为双曲线y2=4/x上的一点,且PA⊥x轴于点A,
PB⊥y轴于点B,PA、PB分别次双曲线y1=1/x于D、C两点,则△PCD的面积为()
图5图6图7
解析:
假设P的坐标为(a,b),则C(a/4,b),D(a,b/4),
PC=3/4*aPD=3/4*b
S=1/2*3/4*a*3/4*b
因为点P为双曲线y2=4/x上的一点所以a*b=4
所以S=9/8
2、如图6,直线l和双曲线y=k/x(k>0)交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合),过点A、B、
P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E,连接OA、OB、0P,设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3,则( )
A、S1<S2<S3B、S1>S2>S3C、S1=S2>S3D、S1=S2<S3
解析:
结合题意可得:
AB都在双曲线y=kx上,
则有S1=S2;而AB之间,直线在双曲线上方;故S1=S2<S3.
3、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y=k/x交于C、D两点,且S△AOC=S△COD=S△BOD,
则k=。
解析:
S△AOC=S△COD=S△BOD=3/2
所以,CD两点的坐标为(2,1)(1,2)k=2
4、反比例函数y=6/x与y=3/x在第一象限的图象如图8所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于
A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( )
A、3/2B、2C、3D、1
解:
设直线方程:
y=b,则A(6/b,b)B(3/b,b)
|AB|=(6/b-3/b)=3/b,h(o-AB)=b
s(OAB)=(1/2)*(3/b)*b=3/2
图8图9图10图11
5、如图9,已知梯形ABCO的底边AO在x轴上,BC∥AO,AB⊥AO,过点C的双曲线y=k/x交OB于D,且OD:
DB=1:
2,若△OBC的面积等于3,则k的值( )
A、等于2B、等于3/4C、等于24/5D、无法确定
解析:
如图,设点B(a,b),过点D作x轴垂线,垂足为E
则点A(a,0)
点C的纵坐标为b,那么x=k/y=k/b所以,点C(k/b,b)
OB所在的直线为y=(b/a)x,它与y=k/x相交
所以,(b/a)x=k/x===>x^2=ak/b===>x=√(ak/b)——这就是点D横坐标
已知OD/DB=1/2,所以:
OD/OB=1/3
则,OE/OA=OD/OB=1/3
===>√(ak/b)/a=1/3===>a=3√(ak/b)
===>a^2=9ak/b===>ab=9k
又BC=a-(k/b)
所以,S△OBC=(1/2)*BC*AB=(1/2)*[a-(k/b)]*b=3
===>ab-k=6===>9k-k=6===>k=3/4
6、如图10,反比例函数y=k/x(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若
四边形ODBE的面积为6,则k的值为( )
A、1B、2C、3D、4
解:
由题意得:
E、M、D位于反比例函数图象上,则S△OCE=|k|/2,S△OAD=|k|/2,
又M为矩形ABCO对角线的交点,则矩形ABCO的面积为4|k|,
由于函数图象在第一象限,k>0,则k/2+k/2+6=4k,k=2.
故选B
7、如图11,梯形AOBC的顶点A,C在反比例函数图象上,OA∥BC,上底边OA在直线y=x上,下底边BC交
x轴于E(2,0),则四边形AOEC的面积为( )
A、
B、3C、
-1D、
+1
解析:
四边形AOEC是梯形,需求出EC、OA和高(两平行线的距离);
必须确认反比例函数是xy=1,否则反比例函数很靠近或远离坐标轴将使所得图形面积变化不定。
直线BEC的方程为:
y=x-2,与反比例函数交点坐标C的y坐标满足:
(y+2)y=1,解得y=√2-1;
因直线BEC的斜率是1,EC=√2*C点y坐标=√2*(√2-1)=2-√2;
E到平行线OA的距离h=(√2/2)*OE=(√2/2)*E点x坐标=(√2/2)*2=√2;
A点坐标(1,1),所以OA=√2;
四边形AOEC的面积=(EC+OA)*h/2=(2-√2+√2)*√2/2=√2;
8、如图12,A、B是双曲线y=k/x(k>0)上的点,A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=6.则k=( )
解析:
A,B是双曲线y=k/x(k>0)上的点
则A(a,k/a),B[2a,k/(2a)]
AB直线方程:
(y-k/a)/(x-a)=(k/a-k/(2a))/(a-2a)
2a^2y-2ak=-k(x-a)
0-2ak=-k(x-a)
x=3a
AB的延长线交x轴于点C(3a,0)
S△Aoc=(k/a)(3a)/2=6
k=4y=6/x
图12图13图14图15
四、反比例函数与一次函数综合:
1、如图13,若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=1/x(x>0)的图象上,则点E的
坐标是
解析:
很明显B(1,1)设正方形ADEF边长为a
则E(1+a,a)在Y=1/X上即(1+a)a=1
a2+a-1=0
用求根公式得a=(-1+√5)/2(因为a>0)
E的坐标是((1+√5)/2,(-1+√5)/2)
2、如图14,过y轴上任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数y=-4/x和y=2/x的图象交于A点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为( )
A、3B、4C、5D、6
解析:
设P点坐标为(0,a),则A点坐标为(-4/a,a)B点坐标为(2/a,a)
所以AB的距离为2/a-(-4/a)=6/a
点C到AB的距离为a
所以三角形ABC的面积为1/2×6/a×a=3
3、如图15,直线y=-x+b(b>0)与双曲线y=k/x(x>0)交于A、B两点,连接OA、OB,AM⊥y轴于M,BN⊥x轴于N;有以下结论:
①OA=OB;②△AOM≌△BON;③若∠AOB=45°,则S△AOB=k;④当AB=2时,ON-BN=1;其中结论正确的个数为( )
A、1B、2C、3D、4
解:
-x+b=k/x得出X值(用公式法解)一个为A的横坐标一个为B的横从标,把B的横坐标代入y=-x+b得B的纵坐标与A的横从标相等即MO=ON,因为三角形AMO与三角形BON面积相等,所以MA=BN,所以:
△AOM≌△BON,由勾股定理可得OA=OB,把A,B坐标表示出来,AB用两点间的距离公式可算出AB=根号2乘以根号下B平方减4K,因为AB=根号2,所以根号下B平方减4K=1,,ON-BN=根号下B平方减4K,所以ON-BN=1,最难的是第三个结论解法如下:
过O作OM垂直AB于点D,可得三角形AOM与AOD面积相等,三角形ODB与OBN面积相等,所以三角形AOB面积为K
选D
4、如图16,直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点,P是反比例函数y=4/x(x>0)图象上位于直线下方的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F.则AF•BE=( )
A、8B、6C、4D、6
图16图17
解:
过点E作EC⊥OB于C,过点F作FD⊥OA于D,
∵直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点,
∴A(6,0),B(0,6),
∴OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=45°,
∴BC=CE,AD=DF,
∵PM⊥OA,PN⊥OB,
∴四边形CEPN与MDFP是矩形,
∴CE=PN,DF=PM,
∵P是反比例函数图象上的一点,
∴PN•PM=4,
∴CE•DF=4,
在Rt△BCE中,BE=CE,
在Rt△ADF中,AF=DF,
∴AF•BE=CE•DF=2CE•DF=8.
5、如图17,反比例函数y=k/x(k>0)与一次函数y=1/2x+b的图象相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB交y轴与C,当|x1-x2|=2且AC=2BC时,k、b的值分别为( )
A、k=1/2,b=2B、k=4/9,b=1C、k=1/3,b=1/3D、k=4/9,b=1/3
解析:
y=k/xy=x/2+b
联立得,x²/2+bx-k=0
x1+x2=-2b,x1*x2=-2k
|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1*x2]=2
整理,√(b²+2k)=1【从这一步,就能推断出答案,只能选择答案是D】
|AC|/|BC|=|x1|/|x2|=2
【第一种情况】
设x1<0,x2>0
x1=-2x2,
|x1-x2|=3x2=2,故x2=2/3,x1=-4/3
x1+x2=-2b=-2/3,即b=1/3
x1*x2=-2b=-8/9,即,k=4/9.
【第二种情况】
x1>0,x2<0
x1=-2x2,
|x1-x2|=-3x2=2,故x2=-2/3,x1=4/x
同理,解出b=-1/3,k=4/9
综上可得,k=4/9,b=1/3或-1/3。
【没有设置b的条件,故,b可取负值也可取正值。
】
五、综合(函数与几何)
1、如图,▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(-1,0),B(0,-2),顶点C、D在双曲线y=k/x上,边AD交y轴于点E,且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍,求k的值.
解:
过点D作x轴的垂线,垂足为M,过点C作y轴的垂线,垂足为N
DM与CN交于点F
则△ABO≌△CDF∴DF=2,CF=1
∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍
∴(BC+AD)=5AE
∴DE=2AE∴MO=2AO
∴点D的横坐标为2,∴点C的横坐标为3
设点的坐标为(2,m)
∴点C的坐标为(3,m-2)
∵C,D都在函数y=k/x的图象上
∴k=2m=3(m-2)解得m=6,k=12
2、如图,已知C、D是双曲线,y=m/x在第一象限内的分支上的两点,直线CD分别交x轴、y轴于A、B两
点,设C、D的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),连接OC、OD.
(1)求证:
y1<OC<y1+m/y1;
(2)若∠BOC=∠AOD=a,tana=1/3,OC=根号10,求直线CD的解析式;
(3)在
(2)的条件下,双曲线上是否存在一点P,使得S△POC=S△POD?
若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.
解:
(1)因为CG (2)因为OG: CG=1: 3,OC=根号10,所以OG=1,CG=3. 解析式为y=10/x (3)双曲线y=上存在点P,使得S△POC=S△POD,这个点P就是 ∠COD的平分线与双曲线y=的交点证明如下: ∵点P在∠COD的平分线上. ∴点P到OC、OD的距离相等. 又OD=OC∴S△POD=S△POC 3、如图,将一矩形OABC放在直角坐际系中,O为坐标原点.点A在x轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、N重合),过点E的反比例函数y=k/x(x>0)的图象与边BC交于点F. (1)若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值; (2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少? 解: 四边形OAEF的面积=矩形OABC的面积 - 三角形OCF的面积 - 三角形BEF的面积 =4*2-(1/2)OC*CF-(1/2)EB*FB =8-(1/2)*4*k/4-(1/2)(4-k/2)(2-k/4) =8-k/2-(1/2)(8-k-k+k²/8) =4+k/2-k²/16 =5-(k-4)²/16 k=4时,四边形OAEF的面积最大,为5。 此时E(2,2) 4、如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y=m/x(x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p-1) (p>1)作x轴的平行线分别交双曲线y=m/x(x>0)和y=-m/x(x<0)于点M、N. (1)求m的值和直线l的解析式; (2)若点P在直线y=2上,求证: △PMB∽△PNA; (3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP? 若存在,请求出所有满足条件的p 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)把B(2,1)代入y=m/x得m=2, 设直线l解析式为y=kx+b,把A(1,0)和B(2,1)代入, 解得k=1,b=-1, ∴直线l的解析式为y=x-1 (2)如图,由题意得P(3,2),M(1,2),N(-1,2) ∴PM=2,PN=4,PB=√2,PA=2√2, ∵PM/PN=PB/PA,∠MPB=∠NPA, ∴△PMB∽△PNA (3)设存在p,则M[2/(p-1),p-1],N[-2/(p-1),p-1] NM=4/(p-1),PM=lp-2/(p-1)l,由题意得MN=4PM, 解得关于p的方程得p的值有两个。 p=(√13+1)\2,p=2(不成立)p=(√5+1)\2 5、如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y=k/x(x>0)的图象经过点B、E,F; (1)求k的值; (2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC′、NA′BC.设线段MC′、NA′分别与函数y=k/x(x>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式. 解: (1)∵四边形OABC是面积为4的正方形,∴OA=OC=2, ∴点B坐标为(2,2),∴k=xy=2×2=4. (2)∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得, ∴ON=OM=2OA=4, ∴点E横坐标为4,点F纵坐标为4. ∵点E、F在函数y=的图象上,∴当x=4时,y=1,即E(4,1), 当y=4时,x=1,即F(1,4). 设直线EF解析式为y=mx+n,将E、F两点坐标代入, 得m=-1,n=5. ∴直线EF的解析式为y=-x+5. 第11章《反比例函数》专题复习 一、反比例函数的对称性 1、直线y=ax(a>0)与双曲线y=3/x交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则4x1y2-3x2y1= 2、如图1,直线y=kx(k>0)与双曲线y=2/x交于A,B两点,若A,B两点的坐标分别为A(x1,y1), B(x2,y2),则x1y2+x2y1的值为( ) A、-8B、4C、-4D、0 图1图2图3图4 二、反比例函数中“K”的求法 1、如图2,直线l是经过点(1,0)且与y轴平行的直线.Rt△ABC中直角边AC=4,BC=3.将BC边在直线l上滑动,使A,B在函数y=k/x的图象上.那么k的值是( ) A、3B、6C、12D、15/4 2、如图3,已知点A、B在双曲线y=k/x(x>0)上,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,AC与BD交于点P,P是AC的中点,若△ABP的面积为3,则k= 3、如图4,双曲线y=k/x(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为( ) A、y=1/xB、y=2/xC、y=3/xD、𝑦=6/𝑥 三、反比例函数“K”与面积的关系 1、如图5,已知双曲线y1=1/x(x>0),y2=4/x(x>0),点P为双曲线y2=4/x上的一点,且PA⊥x轴于点A, PB⊥y轴于点B,PA、PB分别次双曲线y1=1/x于D、C两点,则△PCD的面积为() 图5图6图7 2、如图6,直线l和双曲线y=k/x(k>0)交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合),过点A、B、 P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E,连接OA、OB、0P,设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3,则( ) A、S1<S2<S3B、S1>S2>S3C、S1=S2>S3D、S1=S2<S3 3、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y=k/x交于C、D两点,且S△AOC=S△COD=S△BOD, 则k=。 4、反比例函数y=6/x与y=3/x在第一象限的图象如图8所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于 A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( ) A、3/2B、2C、3D、1 图8图9图10图11 5、如图9,已知梯形ABCO的底边AO在x轴上,BC∥AO,AB⊥AO,过点C的双曲线y=k/x交OB于D,且OD: DB=1: 2,若△OBC的面积等于3,则k的值( ) A、等于2B、等于3/4C、等于24/5D、无法确定 6、如图10,反比例函数y=k/x(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若 四边形ODBE的面积为6,则k的值为( ) A、1B、2C、3D、4 7、如图11,梯形AOBC的顶点A,C在反比例函数图象上,OA∥BC,上底边OA在直线y=x上,下底边BC交 x轴于E(2,0),则四边形AOEC的面积为( ) A、 B、3C、 -1D、 +1 8、如图12,A、B是双曲线y=k/x(k>0)上的点,A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=6.则k=( ) 图12图13图14图15 四、反比例函数与一次函数综合: 1、如图13,若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=1/x(x>0)的图象上,则点E的 坐标是 2、如图14,过y轴上任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数y=-4/x和y=2/x的图象交于A点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为( ) A、3B、4C、5D、6 3、如图15,直线y=-x+b(b>0)与双曲线y=k/x(x>0)交于A、B两点,连接OA、OB,AM⊥y轴于M,BN⊥x轴于N;有以下结论: ①OA=OB;②△AOM≌△BON;③若∠AOB=45°,则S△AOB=k;④当AB=2时,ON-BN=1;其中结论正确的个数为( ) A、1B、2C、3D、4 4、如图16,直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点,P是反比例函数y=4/x(x>0)图象上位于直线下方的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F.则AF•BE=( ) A、8B、6C、4D、6 图16图17 5、如图17,反比例函数y=k/x(k>0)与一次函数y=1/2x+b的图象相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB交y轴与C,当|x1-x2|=2且AC=2BC时,k、b的值分别为( ) A、k=1/2,b=2B、k=4/9,b=1C、k=1/3,b=1/3D、k=4/9,b=1/3 五、综合(函数与几何) 1、如图,▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(-1,0),B(0,-2),顶点C、D在双曲线y=k/x上,边AD交y轴于点E,且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍,求k的值. 2、如图,已知C、D是双曲线,y=m/x在第一象限内的分支上的两点,直线CD分别交x轴、y轴于A、B两 点,设C、D的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),连接OC、OD. (1)求证: y1<OC<y1+m/y1; (2)若∠BOC=∠AOD=a,tana=1/3,OC=根号10,求直线CD的解析式; (3)在 (2)的条件下,双曲线上是否存在一点P,使得S△POC=S△POD? 若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由. 3、如图,将一矩形OABC放在直角坐际系中,O为坐标原点.点A在x轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、N重合),过点E的反比例函数y=k/x(x>0)的图象与边BC交于点F. (1)若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值; (2)若OA=2.
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- 反比例函数 11 反比例 函数 专题 复习