《高等数学》不定积分课后习题详解.docx

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《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解

　　篇一：

高等数学第四章不定积分习题

　　第四章不定积分

　　4–1不定积分的概念与性质

　　一.填空题

　　1．若在区间上F?

（x）?

f（x），则F（x）叫做f（x）在该区间上的一个f（x）的所有原函数叫做f（x）在该区间上的__________。

　　2．F（x）是f（x）的一个原函数，则y=F（x）的图形为?

（x）的一条_________.3．因为

　　d（arcsinx）?

　　1?

x2

　　dx

　　,所以arcsinx是______的一个原函数。

　　4．若曲线y=?

（x）上点（x,y）的切线斜率与x成正比例，并且通过点A（1,6）和B（2,-9）,则该曲线方程为__________。

二．是非判断题

　　1．若f?

x?

的某个原函数为常数，则f?

x?

?

0.[]2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数.[]3．

　　3

　　?

?

f?

x?

dxf?

?

x?

dx.[]

　　?

　　4．若f?

x?

在某一区间内不连续，则在这个区间内f?

x?

必无原函数.[]?

ln?

ax?

与y?

lnx是同一函数的原函数.[]三．单项选择题

　　1．c为任意常数，且F’（x）=f（x）,下式成立的有。

（A）?

F’（x）dx?

f（x）+c;（B）?

f（x）dx=F（x）+c;（C）?

F（x）dx?

F’（x）+c;（D）?

f’（x）dx=F（x）+c.

　　2.F（x）和G（x）是函数f（x）的任意两个原函数，f（x）?

0，则下式成立的有。

（A）F（x）=cG（x）;（B）F（x）=G（x）+c;（C）F（x）+G（x）=c;（D）F（x）?

G（x）=c.3．下列各式中是f（x）?

sin|x|的原函数。

（A）y?

?

cos|x|;（B）y=-|cosx|;（c）y=?

　　?

cosx,x?

0,cosx?

2,x?

0;

　　（D）y=?

　　?

cosx?

c1,x?

0,cosx?

c2,x?

0.

　　c1、c2任意常数。

　　?

（x）?

f（x）,f（x）为可导函数，且f（0）=1,又F（x）?

xf（x）?

x2，则f（x）=______.（A）?

2x?

1（B）?

x?

1（C）?

2x?

1（D）?

x?

15.设f?

（sin2x）?

cos2x，则f（x）=________.

　　1

　　（A）sinx?

sin2x?

c;（B）x?

1x2?

c;（C）sin2x?

1sin4x?

c;（D）x2?

1x4?

c;

　　2222

　　2

　　2

　　6.设a是正数，函数f（x）?

ax,?

（x）?

axlogae,则______.（A）f（x）是?

（x）的导数；（B）?

（x）是f（x）的导数；（C）f（x）是?

（x）的原函数；（D）?

（x）是f（x）的不定积分。

　　四．计算题

　　1.?

xndx

　　2.?

　　dh2gh

　　（g是常数）

　　3．x?

1）（x?

1）dx4.

　　（1?

　　?

　　3

　　?

　　（1?

x）2

　　x

　　?

　　x

　　e?

xx

　　）dx6.?

32xe3xdx

　　4sin3x?

1x2?

22x?

2

　　dx7.?

8.?

2

　　sinxx?

2

　　xx21?

cos2x

　　dx9.?

（cos?

sin）dx10.?

　　221?

cos2x

　　cos2x22?

3x?

33?

2x

　　dx12.?

dx11.?

　　sin2xcos2x3x

　　13.（

　　15.（1?

　　五．应用题

　　1．一曲线通过点（e,3）,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.

　　2．一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3t（米/秒）,问:

（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少?

（2）物体走完360米需要多少时间

　　2

　　2

　　?

　　32

　　?

）dx14.?

secx（secx?

tanx）dx

　　21?

x2?

x

　　?

　　1

　　）xxdx

　　?

　　1?

x

　　dx1?

x

　　4-2换元积分法

　　一、填空题

　　?

______d（ax）（（a?

0））?

______d（7x?

3）?

_______d（x2）?

______d（5x2）?

______d（1?

x2）?

_______d（2?

3x3）?

______d（e）

　　2

　　2x2x

　　?

　　x

　　2

　　dx?

______d（1?

e）

　　x

　　?

1）dx?

d（______）3

　　?

　　x2

　　?

2xdx?

d（_______）（11.

　　dxdx

　　?

______d（5lnx）12.?

______d（3?

5lnx）xx

　　（?

t?

?

）dt?

d（______）14.

　　dx?

x

　　2

　　?

______d（1?

arcsinx）

　　15．

　　?

　　1xx?

1

　　2

　　?

　　?

　　x2

　　11

　　?

（）2

　　x

　　?

　　?

　　1?

_________1?

（）2

　　xd

　　16.若

　　?

f（x）dx?

F（x）?

c,则?

f（ax?

b）dx?

________（a?

0）

　　二．是非判断题

　　lnx1?

1?

111．?

dx?

?

d2?

c.[]

　　xx?

x?

2x12．

　　?

x?

1xdx?

2arctgx?

c.[]3．设f?

x?

dx?

sinx?

c，则f?

arcsinx?

dx?

x?

c.[]

　　?

?

x2

　　?

　　4．已知f?

?

lnx?

?

　　?

　　1,0?

x?

1,

　　x,x?

0,?

　　且f?

0?

?

0，且f?

xx.[]

　　x,1?

x,?

e?

1,0?

x

　　5．?

sin2xdx?

1sin3x?

c.[]36．若?

f?

x?

dx?

F?

x?

?

c，则?

f?

g?

x?

?

dx?

F?

g?

xc.[]三．单项选择题1.?

f?

（3x）dx?

_____.（A）

　　11

　　f（x）?

c;（B）f（3x）?

c;33

　　（C）3f（x）?

c;（D）3f（3x）?

c;

　　2.

　　f?

（x）

　　.?

1?

[f（x）]2dx?

________

　　（A）ln|1?

f（x）|?

c;（B）1ln|1?

[f（x）]2|?

c;

　　2（C）arctan[f（x）]?

c;（D）1arctan[f（x）]?

c.

　　2

　　1?

x?

3.?

dx?

.x?

　　?

　　（A）

　　2

　　11

　　?

2ln|x|?

x?

C（B）?

?

2ln|x|?

x?

C

　　xx

　　（C）?

1?

2ln|x|?

C（D）ln|x|?

x?

C

　　x3?

2x?

2?

3x

　　dx?

..

　　2?

　　33

　　3x?

2ln?

（）x?

c;

　　（A）（B）3x?

2x（3）x?

1?

c22

　　2

　　x

　　2?

3?

2?

3?

（C）3?

（D）3?

?

cc?

?

　　ln3?

ln2?

2?

ln3?

ln2?

2?

　　x

　　5.

　　1?

x7

　　?

x（1?

x7）dx?

______.

　　7

　　x（A）1ln|

　　7（1?

x7）2

　　1x7

　　|?

c;（B）7ln|1?

x7|?

c;

　　1x61x6

　　（C）ln||?

c;|?

c;（D）ln|662

　　61?

x6（1?

x）

　　6.|x|dx?

_____.（A）

　　?

　　1111

　　|x|2?

c;（B）x2?

c;（c）x|x|?

c;（D）?

x2?

c;

　　2222

　　e3x?

1

　　7.?

xdx?

_____.

　　e?

1

　　11

　　（A）e2x?

ex?

x?

c;（B）e2x?

ex?

c;

　　22

　　11

　　（C）e2x?

ex?

x?

c;（D）e2x?

ex?

c.

　　22

　　1?

sin2x

　　sin2x的全体原函数是________.

　　（B）e

　　1?

sin2x?

c;

　　（A）e

　　1?

sin2x;

　　（C）e

　　1?

sin2x?

c

　　（D）e

　　1?

sin2x

　　?

c

　　篇二：

第五章不定积分的习题库（2015年11月）

　　第五章不定积分

　　一、判断题

　　1.

　　?

?

f（x）dxf（x）dx。

　　’

　　’

　　（）（）（）（）（）（）

　　?

　　2.?

?

f（x）dx?

?

f（x）。

　　?

?

　　3.

　　?

f?

（x）dx?

f（x）?

C。

　　4.y?

ln（ax）与y?

lnx是同一函数的原函数。

5.

　　lnx1111

　　?

（）?

?

x?

xx2?

x2?

C

　　?

C6.

　　7.设?

　　f（x）dx?

sinx?

C则8.

　　132

　　xsinxdx?

sinx?

C?

3

　　?

x?

C

　　（）（）

　　二、选择题

　　1.F?

（x）?

f（x），C为常数，下列等式成立的是

　　A.?

F?

（x）dx?

f（x）?

C

　　’

　　C.?

f（x）dx?

F（x）?

C

　　（）

　　B.?

f（x）dx?

F（x）?

CD.

　　?

?

F（x）dxF?

（x）

　　2.F（x）和G（x）是f（x）函数的任意两个原函数，则下式成立的有（）

　　（x）=CG（x）（x）=G（x）?

C（x）?

G（x）?

C（x）?

G（x）?

C

　　3.若曲线y?

f（x）通过点（1,2），且在该曲线上任意点（x,y）处切线的斜率为3x2，则该曲

　　线方程是

　　（）

　　（x）?

x3?

C（x）?

x3?

1（x）?

x3?

1

　　?

（x）?

3x2

　　（）

　　4.下列函数中，是同一个函数的原函数的是

　　和arccotxC.?

e?

e

　　x

　　?

x2

　　和cos2x

　　2x

　　D.和2x?

ln2ln2

　　?

　　和e?

e

　　2x?

2x

　　5.若F（x）是f（x）的一个原函数，C为常数，则下列函数中仍f（x）的是

　　（）

　　习题库

　　第五章不定积分第五章共9页

　　A.F（Cx）B.F（x?

C）

　　C.CF（x）

　　（x）?

C

　　（）

　　6.设f’（sin2x）?

cos2x，则f（x）?

　　12

　　sinx?

sinx?

CA.

　　2124

　　C.sinx?

sinx?

C

　　2

　　12

　　x?

C2142

　　?

x?

C

　　2

　　?

　　xx

　　7.设a?

0，函数f（x）?

a,?

（x）?

alogae则

　　（）

　　A.f（x）的导数等于?

（x）（x）是?

（x）的原函数8.

　　?

f’（x）

　　1?

?

f（x）?

2

　　dx=

　　2

　　ln?

f（x）?

C

　　?

f（x）?

?

C

　　2

　　9.1?

x?

?

x?

?

　　dx?

　　A.1

　　x?

2lnx?

x?

cC.?

1

　　x

　　?

2lnx?

c3?

2x?

2?

3x

　　10.?

2x

　　?

　　x

　　?

ln323?

　　?

2?

?

　　?

c

　　?

2?

3x

　　ln3?

ln2?

?

　　?

2?

?

　　?

c

　　?

e3x11.?

1

　　ex?

1

　　?

　　A.12e2x?

ex

　　?

x?

c

　　B.12.?

1?

x7

　　x（1?

x7）

　　dx?

习题库

　　B.?

（x）的导数等于f（x）

　　D.?

（x）是f（x）的不定积分

　　（）

　　?

?

f（x）?

2

　　?

C

　　2

　　arctan?

f（x）?

?

C

　　（）

　　B.?

1x

　　?

2lnx?

x?

c

　　D.lnx?

x?

c

　　（）

　　x?

1

　　?

2x?

?

3?

　　?

2?

　　?

?

c

　　x

　　?

2?

3?

　　ln3?

ln2?

?

2c

　　（）

　　12x2e?

ex

　　?

c

　　e2x?

ex

　　?

x?

c

　　e2x?

ex

　　?

c（）

　　第五章不定积分第五章共9页

　　1x7

　　?

c

　　7（1?

x）1x6

　　?

c

　　6（1?

x）

　　’’

　　13.?

xf（x）dx?

　　1x7

　　?

c

　　71?

x7

　　1x6

　　?

c

　　61?

x

　　（）

　　’（x）?

f（x）?

’（x）?

f’（x）?

c

　　’

　　’（x）?

f（x）?

（x）?

?

f（x）dx

　　14.?

sinxln（tanx）dx=

　　A.?

cosxln（tanx）?

lntan

　　（）

　　x

　　?

c（tanx）?

lncscx?

cotx?

c2

　　（tanx）?

lntan

　　2

　　15.?

xsinxdx?

　　x

　　?

cD.?

cosxln（tanx）?

lnsinx?

cx

　　（）

　　121121

　　A.x?

xsin2x?

cB.x?

xcos2x?

c

　　4448

　　12x1x?

sin2x?

cos2x?

Cxcosx?

sinx?

cC.D.448

　　lnx

　　16.?

（）dx?

　　x

　　2

　　（）

　　1212x1

　　A.?

（lnx?

2lnx?

2）B.lnx?

lnx?

?

c

　　xx2x

　　112?

xx

　　lnx?

2lnx?

?

cearctane?

x?

ln（1?

e2x）?

c

　　x2

　　arcsinx

　　dx?

（）17.?

x211

　　A.?

arcsinx?

lncscx?

cotx?

cB.?

arcsinx?

lncotx?

cscx?

c

　　xx

　　11?

　　cD.?

arcsinx?

cC.?

arcsinx?

xxarctanex

　　dx?

18.?

x

　　e

　　（）

　　11?

xx2x?

xx2x

　　A.?

earctane?

ln（1?

e）?

cB.?

earctane?

x?

ln（1?

e）?

c

　　22

　　习题库

　　第五章不定积分第五章共9页

　　12x?

xx

　　C.?

e?

xarctanex（?

e?

x?

1）?

cD.?

ln（1?

e）?

earctane?

x?

c

　　2

　　1?

cosx

　　?

（）19.?

1?

cosx

　　A.x+2cotx?

cscx?

cB.?

x?

2cotx?

c

　　C.?

x?

2（cscx?

cotx）?

cD.?

x?

cscx?

cotx?

c20.?

sinx（2cscx?

cotx?

　　1

　　）dx=sin3x

　　（）

　　A.2xsinx?

cotx?

cB.2x?

sinx?

cotx?

cC.2?

sinx?

cotx?

cD.?

x?

cscx?

cotx?

c1

　　21.的全体原函数是（）

　　1?

sinx

　　?

2

　　1?

c?

cB.A.tanx?

　　1?

tansinx

　　2

　　11

　　?

tanx?

?

ctanx?

?

c

　　sinxcosx

　　sinxcosx

　　?

（）22.?

4

　　sinx?

cos4x11

　　A.arctan（cos2x）?

cB.?

arctan（cos2x）?

c

　　22

　　1sin2x?

1arctan（?

cos2x）?

c?

cC.D.ln

　　2sin2x?

1

　　xx

　　23.?

2edx?

　　x

　　x

　　（）

　　xxxx

　　?

?

ed2

　　?

2e?

?

CB.

　　ln2eC.?

2e?

ln?

2e?

?

C

　　三、填空题

　　1.若曲线y?

f（x）上点（x,y）的切线斜率与x3成正比并且通过点A（1,6）和B（2,?

9）则该

　　曲线方程为。

　　2.若曲线y?

f（x）通过点（1,2），且曲线上任意一点的处的切线斜率等于该点横坐标的2

　　倍，则该曲线方程为。

　　3.某一曲线通过（e2,3），且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，则该曲线的方程

　　为。

　　4.5.

　　?

?

2x?

1?

　　3

　　dx=

　　=。

　　习题库

　　第五章不定积分第五章共9页

　　6.7.

　　8.9.

　　1

　　?

a2+x2dx。

　　?

（ax?

b）dx（a?

0）=

　　x2xedx?

　　2

　　2

　　2?

3lnx

　　?

x

　　2

　　10.?

sinxcosxdx

　　11.

　　?

=。

　　12.?

sin3

　　xdx=13.?

sin3xcos4

　　xdx=14.?

cos2

　　x

　　2

　　dx=15.

　　。

x2

　　16.?

1+x2

　　dx。

　　四、求解题

　　1.

　　?

　　）dx

　　2.

　　2

　　3.

　　?

cos2x

　　sin2xcos2x

　　4.

　　?

secx（secx?

tanx）dx

　　5.

　　?

e

　　x?

4

　　dx

　　6.（?

　　2x2

　　+1+3sinx）

　　dx

　　习题库

　　第五章7.（?

　　sin

　　2

　　x2

　　）dx

　　8.?

x4

　　1?

x

　　2

　　9.

　　?

?

2?

　　dx

　　10.

　　211.

　　x?

3）dx

　　不定积分第五章共9页

　　篇三：

高等数学习题详解-第5章不定积分

　　1．写出下列函数的一个原函数：

（1）2x5；

（2）?

cosx；

　　（3）解：

（1）?

（x6）?

?

2x5，?

　　31

　　13

　　6

　　；

　　（4）?

　　x是2x的一个原函数．

　　5

（2）?

（?

sinx）cosx，?

?

sinx是?

cosx的一个原函数．（3）

　　?

　　的一个原函数．

　　（4）

　　?

（?

2arcsinx），?

?

　　2arcsinx是?

　　2．根据不定积分的定义验证下列等式：

（1）

（2）

　　?

x

　　1

　　x?

?

3

　　12

　　x

　　?

2

　　?

C；

　　?

（sinx?

cosx）dx?

?

cosx?

sinx?

C．

　　12x

　　?

2

　　解：

（1）因为（?

）?

?

　　1x

　　3

　　，所以?

　　1x

　　?

?

3

　　12

　　x

　　?

2

　　?

C．

（2）因为（?

cosx?

sinx）?

?

sinx?

cosx，所以

　　?

（sinx?

cosx）dx?

?

cosx?

sinx?

C．

　　3．根据下列等式，求被积函数f（x）．

（1）

（2）

　　?

　　f（x）dx?

ln（x?

f（x）dx?

　　?

C；?

C．

　　?

　　?

32

　　?

　　解：

（1）

　　等式两边求导得：

f（x）?

（ln（x

　　x?

?

　　?

?

　　．

　　2

（2）

　　等式两边求导得：

f（x）

　　12

　　（1?

x）

　　2

　　?

2x?

?

　　?

x

　　x（1?

x）

　　2

　　32

　　．

　　4．设曲线通过点（0,1），且其上任一点（x,y）处的切线斜率为e

　　?

x

　　解设所求曲线方程为y?

f（x），由题设有f?

（x）?

e，

　　，求此曲线方程．

　　?

f（x）?

　　?

edx?

?

e

　　?

x?

x

　　?

C

　　又曲线过点（0,1），故f（0）?

1，代入上式得C?

2，所以,所求曲线方程为：

　　y?

?

e

　　?

x

　　?

2．

　　1．求下列不定积分：

（1）?

　　x?

4）dx；

（2）?

　　x

　　x

　　2

　　x

　　2

　　；

　　x

　　（3）?

2edx；（4）?

（5）?

　　1x（1?

x）

　　2

　　2

　　2?

3?

5?

2

　　3

　　x42

　　dx；

　　；（6）

　　?

1?

x

　　x

　　；

　　（7）?

secx（secx?

tanx）dx；（8）（9）?

　　cos2xsinx

　　22

　　?

1?

cos2x；

　　2

　　1

　　；（10）?

sin

　　x2

　　；

　　（11）?

解：

（1）

　　cos2xcosxsinx

　　2

　　2

　　dx；（12）?

（tanx?

cotx）2dx．

　　5

　　1

　　5

　　1

　　?

?

　　x?

4）dx?

?

2

　　?

（x

　　2

　　?

4x）dx?