一次函数与几何综合拔高2.docx
- 文档编号:24259955
- 上传时间:2023-05-25
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:140.70KB
一次函数与几何综合拔高2.docx
《一次函数与几何综合拔高2.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一次函数与几何综合拔高2.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一次函数与几何综合拔高2
一次函数与几何综合(讲义)
一、知识点睛
1.一次函数y=kx+b(k≠0),k表示倾斜程度,
是坡面的铅直高度与水平宽度的比(也叫坡度或坡比),如图所示AM即为铅直高度,BM即为水平宽度,则
.
这就是几何中常用的“构造小山坡”快速求一次函数表达式的方法。
A、首先通过构造“小山坡”,快速求出
;
B、然后根据直线与横轴正半轴所成的角是锐角还是钝角,判断其符号,若是锐角,则k>0;若是钝角,则k<0;
C、b是直线与纵轴交点的纵坐标,也可从图像中直接得出;
2.设直线l1:
y1=k1x+b1,直线l2:
y2=k2x+b2,其中k1,k2≠0.
①若k1=k2,且b1≠b2,则直线l1∥l2;
②若k1·k2=-1,则直线l1⊥l2;
3.“一次函数与几何综合”解题思路:
①_坐标代入可求表达式_;
②_由表达式可求坐标或者表达坐标_;
③_坐标转线段长;
④_线段长转坐标_;
⑤_k、b的几何意义以及直线的位置关系(平行或垂直);
二、精讲精练
7.如图,点B,C分别在直线y=2x和y=kx上,点A,D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k值为________.
总结提升:
此题可通过“设份数法”解题。
由于直线y=2x的斜率为2,所以其铅直高度比水平宽度就是2;故而我们设OA=1,则AB=AD=CD=2,OD=3,所以y=kx的斜率就是三分之二;与横轴正半轴夹角是锐角,所以k>0;
如图,直线l1交x轴,y轴于A,B两点,OA=m,OB=n,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD.CD所在直线l2与直线l1交于点E,则l1l2;若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1·k2=_______.
总结提升:
此题可先通过构造小山坡法,算出直线l1的斜率,由于其与横轴正半轴的夹角是钝角,所以k<0,斜率前加负号;再根据旋转是一种全等变换,对应边和对应角都相等,计算出直线l2的斜率,夹角为锐角,所以k>0;k1·k2=﹣1;
如图,已知直线l:
y=
与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB沿直线l折叠,点O落在点C处,则直线CA的表达式为_________.
总结提升:
1、首先应学会“数形结合”的思想,看到一个直线的表达式,从中读出相应的信息。
比如直线l:
y=
,首先我们可以从中读出b的信息,它是直线与纵轴交点的纵坐标,所以B点的坐标就是(0,
);其次我们能从中读出斜率的信息,也就是铅直高度与水平宽度的比,由此判断三角形AOB是一个含有30°角的直角三角形;
2、根据折叠的轴对称性质,对应边相等,同时有一个角是60°,则连接OC,就会出现一个等边三角形,过C点做横轴的垂线,就又会出现一个含有30°角的直角三角形,据此可以求出直线AC的斜率,夹角是钝角,所以k为负,前面加负号,再把A点坐标代入表达式求出b即可。
16.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC在x轴上,直线y=kx-1平分梯形ABCD的面积,已知A(4,2),则k=.
总结提升:
1、对于一个中心对称的图形来说,若一条直线平分它的面积,那么这条直线必然经过这个中心对称图形的对称中心;
2、由于四边形DCBA是一个等腰梯形,是一个轴对称图形,而不是中心对称图形,但是假使我们过A点做底边的垂线,剖掉两边的两个全等的直角三角形,剩下部分就是一个矩形,而矩形是个中心对称图形,同时直线亦平分它的面积,所以这条直线必然经过矩形的对称中心,连接OA,按照中点坐标公式,可求出对称中心的坐标,再代入直线的表达式即可求。
23.已知:
直线y=mx-3,y随x增大而减小,且与直线x=1,x=3,x轴围成的面积为8,则m的值为____________.
总结提升:
1、由于这四条直线围成了一个梯形,高为2,只需求出上底和下底,按照梯形面积公式列方程解题即可;
2、设直线x=1,x=3分别与直线y=mx-3相交与A、B,则A点的横坐标是1,纵坐标是m-3;B点的横坐标是3,纵坐标是3m-3,将坐标转为线段长,则上底长是大坐标-小坐标=0-(m-3)=3-m;下底长是大坐标-小坐标=0-(3m-3)=3-3m;据此列方程解题即可。
37.如图,把Rt△ABC放在平面直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为()
A.4B.8C.16D.
总结提升:
1、根据题目中的已知条件,可先求出点C的坐标(1,4);
2、由于将三角形ABC向右平移,而根据平移的性质,平移不改变图形的形状和大小,是一种全等变换,所以点C的纵坐标是始终不变的,当它与直线y=2x-6相交时,将纵坐标代入直线的表达式,可求出交点的横纵坐标是5,由此三角形ABC沿着横轴正半轴的方向向右平移了4个距离;
3、根据平移的性质,对应线段平行且相等,则BC扫过的图形是一个平行四边形,底是平移的距离,高是C点的纵坐标,代入面积公式可解。
49.如图,已知直线l1:
y=
与直线l2:
y=-2x+16相交于点C,直线l1,l2分别交x轴于A,B两点,矩形DEFG的顶点D,E分别在l1,l2上,顶点F,G都在x轴上,且点G与点B重合,那么S矩形DEFG:
S△ABC=_________.
总结提升:
1、先根据两条直线的表达式,分别求出A、B两点的坐标,同时将B点的横坐标代入直线l1的表达式,可求出D点的坐标,同时由于四边形DEFG是矩形,D、E两点的纵坐标相同,所以将D点的纵坐标代入直线l2的表达式,可以求出E点的坐标;
2、然后再两条直线联立可以求出其交点C的坐标;则矩形和三角形的面积均可求,代入求解即可。
55.直线AB:
y=-x+b分别与x轴,y轴交于A(6,0),B两点,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB:
OC=3:
1.
(1)求直线BC的解析式.
(2)直线EF:
y=kx-k(k≠0)交AB于点E,交BC于点F,交x轴于点D,是否存在这样的直线EF,使得S△EBD=S△FBD?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
(3)如图,P为A点右侧x轴上一动点,以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPQ,连接QA并延长交y轴于点K,求K点坐标.
总结提升:
1、先将A点的坐标代入直线AB的表达式,求出b的值;由于直线BC的斜率是3,夹角是锐角,所以为正,同时经过B点,因此其表达式为y=3x+6;
2、由于直线EF:
y=kx-k(k≠0)交x轴于点D,则D点的纵坐标为0,代入此直线的表达式,可求出其横坐标为1,则D点是一个定点;
3、连接BD,则可以看出两个三角形有共同的一边,是“背靠背”的三角形,则其高相等,因此欲使其面积相等,则只需两个底边相等即可,由此D点就是E、F两点的中点,由于这两点分别在两条已知表达式的直线上,所以我们可设E点的坐标为(m,-m+6),F点的坐标为(n,3n+6);
然后按照中点坐标公式列一个二元一次方程组求解即可。
3、由于平面直角坐标系中出现了直角,我们一般考虑使用“双垂直模型”解题,为此我们过点Q做横轴的垂线QH,构造全等三角形,然后有几何法和代数法两种思路解题;
4、几何法:
我们设P点的坐标为(a,0),则H点的坐标为(a+6,0),Q点的坐标就是(a+6,a),则线段AH的长度就是a,据此计算直线QA的斜率是1,则其同纵轴的夹角=直线y=-x+6同纵轴的夹角=45°,则三角形ABK是一个等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的性质,K、B两点关于原点对称,据此可以求出其坐标;
5、代数法:
求出直线QA的斜率后,我们将点A的坐标代入其表达式,求出其确切的表达式,然后求这条直线同纵轴交点的坐标即可。
【参考答案】
【知识点睛】
1.铅直高度;水平宽度.
2.①∥;②-1;⊥.
3.①坐标代入可求表达式;
②由表达式可以求坐标或者表达坐标;
③坐标转线段长;
④线段长转坐标;
⑤k、b的几何意义以及直线的位置关系(平行和垂直).
【精讲精练】
1.
2.⊥;-1
3.
4.1
5.
6.C
7.8:
9
8.
(1)
(2)存在,k=
(3)K(0,-6)
一次函数与几何综合(随堂测试)
3.如图,一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,1)和点
C(1,3),交x轴于点A.
(1)求一次函数解析式和A点坐标;
(2)过点A的另一直线l与直线AB垂直,且交y轴负半轴于点P,求点P的坐标.
12.如图,已知直线l1:
y=-x+2与直线l2:
y=2x+8相交于点F,l1,l2分别交x轴于点E,G,矩形ABCD顶点C,D分别在直线l1,l2上,顶点A,B都在x轴上,且点B与点G重合.
(1)求点F的坐标;
(2)求矩形ABCD的面积.
【参考答案】
1.
(1)
;A(
,0)
(2)P(0,
)
2.
(1)F(
,4)
(2)18
一次函数与几何综合(作业)
8.如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=3,将此矩形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴正半轴上,经过点C的直线y=
x-2与x轴交于点E,则四边形AECD的面积是_______.
(根据直线的斜率,可知其铅直高度与水平宽度的比,据此可求出三角形BCE的面积,用矩形的面积减去三角形的面积即是四边形的面积)
15.如图,在平面直角坐标系中,直线l:
y=
x+4分别交x轴,y轴于点A,B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′.
(1)求直线A′B′的解析式;
(2)若直线A′B′与直线l相交于点C,求△A′BC的面积.
(根据旋转的性质,旋转是一种全等变换,对应边和对应角都相等,由此可以求出直线A′B′的解析式,同时联立两个解析式,可以求出点C的坐标,进一步求出三角形的面积。
)
21.如图,直线OC,BC的函数表达式分别是y1=x和y2=-2x+6,直线BC与x轴交于点B,直线BA与直线OC相交于点A.当直线BA平分△BOC的面积时,其表达式为_____________.
总结提升:
根据直线的表达式可以求出点B的坐标,联立两个表达式可以求出点C的坐标;由于两个三角形是背靠背的三角形,所以它们的高相等,欲使其面积相等,则其底边相等就可以了,由此A是O、C两点的中点,利用中点坐标公式,可求出A点的坐标,再用待定系数法求出直线表达式即可。
34.如图,Rt△AOB的直角边OA,OB分别与y轴,x轴重合,点A,B的坐标分别是(0,4),(3,0),将△AOB向右平移,当点A落在直线y=x-1上时,线段AB扫过的面积是.
根据平移不改变图形的形状和大小,是一种全等变换,则点A在平移的过程中,其纵坐标始终不变,然后求出其与直线相交时的点的横坐标,减去A点的横坐标,即是平移的距离;同时平移的过程中,对应线段平行且相等,因此AB扫过的面积是一个平行四边形,底是平移的距离,高是A点的纵坐标,代入平行四边形的面积公式即可。
47.如图,平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,-4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以P为直角顶点,AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM.
(1)求直线AB的解析式;
(2)用含m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线MB与x轴交于点Q,求Q点的坐标.
(此题同讲义最后一题完全一个模型,可参照求解)
【参考答案】
1.18
2.
(1)
(2)
3.
4.20
5.
(1)
(2)(m+4,-m-8)
(3)Q(-4,0)
一次函数与几何综合(每日一题)
1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>2),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD.
(1)试问△OBC与△ABD全等吗?
并证明你的结论;
(2)直线AD与y轴交于点E,在C点移动的过程中,E点的位置是否发生变化?
如果不变求出它的坐标;如果变化,请说明理由.
总结提升:
注意如果一个图形中出现了多个等腰三角形,那么往往存在全等三角形,而且往往通过SAS来证明全等;由于两个三角形全等,则∠AOB=∠BAD=60°,同时由于三角形OBA是等边三角形,所以∠EAO=60°,所以三角形OAE是一个含有30°角的直角三角形,OE的长度就是定值。
2.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=
(m>0)与x轴,y轴分别交于点A,B,过点A作x轴的垂线交直线y=x于点D,C点坐标(m,0),连接CD.
(1)求证:
CD⊥AB;
(2)连接BC交OD于点H(如图2),求证:
DH=
BC.
总结提升:
1、由于A点是直线y=
(m>0)与横轴的交点,据此可以求出A点的坐标是(2m,0),则D点的坐标是(2m,2m),据此求出直线CD的斜率=2,两个直线的斜率乘积=﹣1,所以它们垂直;
2、注意题目中的隐含条件,直线y=±x意味着它们同坐标轴的夹角是45°,则三角形OAD是一个等腰直角三角形;同时三角形OBC也是一个等腰直角三角形,其底边上的高线三线合一,将这个等腰直角三角形又分成两个小等腰直角三角形,则OH的长度可求,OD的长度也可求,两项相减求出DH的长度,再求出BC的长度,此题得解。
3.如图,将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限,使AB落在x轴正半轴上,直线
经过点C,与x轴交于点E.
(1)求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的解析式;
(3)若直线l1经过点F(-
,0)且与直线y=3x平行,将
(2)中直线l沿着y轴向上平移1个单位,交x轴于点M,交直线l1于点N,求△NMF的面积.
总结提升:
1、首先从直线的表达式中读出相关的信息,也就是直线的斜率,意味着其铅直高度与水平宽度的比,则据此可以三角形BEC的面积,然后用大正方形的面积减去此三角形的面积即是四边形的面积;
2、牢记对于一个中心对称图形来说,若一条直线将其面积平分,则这条直线一定经过这个中心对称图形的对称中心,为此连接AC;根据直线的表达式
,E和C点分别在这条直线上,可先分别求出这两点的坐标,同时再倒出点A的坐标,然后根据中点坐标公式,可求出对称中心的坐标,再用代入系数法求出直线l的表达式即可;
3、首先根据两直线平行,则其斜率相等,然后把已知点的坐标代入其表达式,求出直线l1的表达式;
4、根据“上加下减、左加右减”的平移规律,由于平移不改变直线的斜率,因此只需其b值加1,即可得出向上平移一个单位后的新直线的表达式;
5、分别根据两条新直线的表达式,求出N、M、F三点的坐标,根据三角形面积公式可求。
4、已知,如图,在平面直角坐标系内,点A的坐标为(0,24),经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B,点B坐标为(18,6).
(1)求直线l1,l2的表达式;
(2)点C为线段OB上一动点(点C不与点O,B重合),作CD∥y轴交直线l2于点D,过点C,D分别向y轴作垂线,垂足分别为F,E,得到矩形CDEF.
①设点C的纵坐标为a,求点D的坐标(用含a的代数式表示);
②若矩形CDEF的面积为108,求出点C的坐标.
总结提升:
1、两条直线一条是正比例函数,一条是一次函数,可求;
2、如果设设点C的纵坐标为a,则我们可以利用直线OB的表达式,求出其横坐标,由于由于四边形是矩形,所以D点的横坐标同于C点,将此横坐标代入直线AB的表达式,就可以求出D点的纵坐标;
3、将求出的坐标转化为线段长,代入矩形的面积公式,则面积可求。
5.如图,四边形ABCD为矩形,C点在x轴上,A点在y轴上,D点坐标是(0,0),B点坐标是(3,4),矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E,F分别在AD,AB上,且F点的坐标是(2,4).
(1)求G点坐标;
(2)求直线EF的解析式;
(3)点N在x轴上,直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
总结提升:
1、首先根据已知条件,分别求出C、A两点的坐标,然后将坐标转为线段长,跟着折叠的轴对称性质,对应边相等,对应角相等,则FB=AB-AF=1,FG=AF=2,根据勾股定理可求BG的长,再用BC-BG=GC,即可得G点的坐标;
2、注意到经由折叠得到的小直角三角形的直角边和斜边比是1:
2,根据直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角是30°,则可得出∠BFG=60°,这样∠AFE=∠EFG=60°,这样就又出现了一个含有30°角的直角三角形AEF,根据其三边关系比,可以求出AE的长度,进而求出直线EF的斜率和直线上一点E的坐标,则其表达式可求。
3、由于平行四边形的四个顶点用顿号隔开,因此无顺序要求,需分类讨论;根据四个顶点的特性,可以判断其中有两个定点F、G,两个动点M、N,根据“两个定点、两个动点”求平行四边形的存在性的解题模型,为保证不重不漏,我们选取定线段FG作为分类的标准进行讨论;
4、首先我们让FG作为平行四边形的一边,根据平行四边形对边平行且相等的特性,我们平移FG,使其分别与直线EF和横轴相交,则出现两种情况,分别构成两个等边三角形,求出此等边三角形的底边长,则M点在底边的垂直平分线上,据此可以求出其坐标;
5、接着我们让FG作为平行四边形的对角线,根据平行四边形的对角线互相平分的特性,我们让线段EF绕着其中点P旋转,与直线和横轴分别相交,就是要求的点的位置:
由于P即是EF的中点,我们可以根据中点坐标公式,求出P点的坐标,然后再根据P是NN的中点,分别设出这两点的坐标,再利用中点坐标公式,建立两个二元一次方程即可解题即可。
1.解
(1)全等
理由如下:
∵△AOB和△CBD是等边三角形,
∴OB=AB,∠OBA=∠CBD=60°,BC=BD
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC
即∠OBC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD
(2)不变
∵△OBC≌△ABD,△AOB是等边三角形
∴∠BAD=∠BOC=60°
∵∠OAB=60°
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°
∴Rt△OEA中,AE=2OA=4
∴OE=
∴E(0,
)
2.解:
(1)由题意知:
A(2m,0),B(0,m)
∵AD⊥x轴,点D在直线y=x上
∴D(2m,2m)
∵C(m,0)
∴kCD=
=2
∵kAB=
∴kCD·kAB=-1
∴CD⊥AB
(2)∵B(0,m),C(m,0)
∴OB=m,OC=m
∴BC=
∵kBC=-1,kOD=1
∴kBC·kOD=-1
∴BC⊥OD
∴OH=
∵D(2m,2m)
∴OD=
∴DH=OD-OH=
∴DH=
BC
3.解:
(1)∵正方形ABCD的边长是4,AB在x轴上
∴C点的纵坐标为4
代入
得:
C(5,4)
∴A(1,0),B(5,0),D(1,4)
∵
与x轴交于点E
∴E(2,0)
∴AE=1,CD=4,AD=4
∴S四边形AECD=
×(1+4)×4=10
(2)
如果直线l平分正方形的面积,则l一定过正方形的中心(即对角线的中点)
如图,P是对角线AC的中点
∵A(1,0),C(5,4)
∴P(3,2)
∴直线l经过点E(2,0),P(3,2)
待定系数法可得直线解析式为:
y=2x-4
(3)∵直线l1经过点F(-
,0)且与直线y=3x平行,
设直线l1的解析式为y1=kx+b,则:
k=3
代入F(-
,0)得:
b=
∴y1=3x+
直线l沿着y轴向上平移1个单位,则所得的直线的解析式是:
y=2x-3,
∴M(
,0)
联立即:
可得:
即:
N(-
,-18)
S△NMF=
×[
-(-
)]×|-18|=27
4.解:
(1)设直线l1的表达式为y=k1x
∵点(18,6)在直线l1上
∴6=18k1
∴k1=
∴y=
x
设直线l2的表达式为y=k2x+b
∵点A(0,24),B(18,6)在l2上
待定系数法可得直线l2的解析式为:
y=-x+24
(2)①∵点C在直线l1上,且点C的纵坐标为a
∴x=3a,
∴点C的坐标为(3a,a)
∵CD∥y轴
∴点D的横坐标为3a
∵点D在直线l2上,
∴y=-3a+24
∴D(3a,-3a+24)
②∵C(3a,a),D(3a,-3a+24)
∴CF=3a,CD=-3a+24-a=-4a+24
∵矩形CDEF的面积为108
∴S矩形CDEF=CF•CD=3a×(-4a+24)=108,解得a=3
当a=3时,3a=9
∴C点坐标为(9,3)
5.解:
(1)∵F(2,4),B(3,4),四边形ABCD是矩形
∴AF=2,OA=BC=4,AB=3
在Rt△BFG中,
由轴对称性质
FG=AF=2
∵BF=AB-AF=1
∴BG=
∴G(3,4-
)
(2)设y=kx+b
∵在Rt△BFG中,
BF=
FG
∴∠BGF=30°
∴∠AFE=∠EFG=60°
在Rt△AEF中,AF=2
∴AE=
∴E(0,4-
)
∴b=4-
∵|k|=
=
∴y=
x+4-
(3)存在.
①M(
,
)
提示:
如图,过G作EF的平行线交x轴于点N,过N作FG的平行线交EF于点M,连接MN,GN.
则四边形MNGF为平行四边形.利用特殊角及平行四边形性质求点M坐标即可.
②M(
,-
)
提示:
与①的方法类似.
③M(
,
)
提示:
如图,过G作EF的平行线交x轴于点N,连接NF,过G作NF的平行线交直线EF于点M,连接GM.则四边形MFNG是平行四边形.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一次 函数 几何 综合 拔高
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)