学习实践高考数学抛物线经典例题讲解教案.docx

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高考数学抛物线经典例题讲解教案

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　　kj.co

　　m　　抛物线习题精选精讲

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

　　椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：

到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

　　【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（

　　）

　　相交

　　相切

　　相离

　　位置由P确定

　　【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是

　　.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，

　　且.作mN⊥y轴于N则mN是梯形PQoF的

　　中位线，.故以

　　PF为直径的圆与y轴相切，选B.

　　【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则

　　分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

　　有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

　　【例2】过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：

（1）

（2）

　　【证明】

（1）如图设抛物线的准线为，作

　　，

　　.两式相加即得：

（2）当AB⊥x轴时，有

　　成立；

　　当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：

.代入抛物线方程：

　　.化简得：

　　∵方程

（1）之二根为x1，x2，∴.

　　.

　　故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.

　　（3）切线——抛物线与函数有缘

　　有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

　　【例3】证明：

过抛物线上一点m（x0，y0）的切线方程是：

y0y=p（x+x0）

　　【证明】对方程两边取导数：

　　.由点斜式方程：

　　y0y=p（x+x0）

　　（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

　　抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

　　例如：

1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点

　　（

　　）

　　显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

　　2.抛物线的通径长为2p；

　　3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：

　　以下再举一例

　　【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：

以A1B1为直径的圆必过一定点

　　【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：

一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

　　【证明】如图设焦点两端分别为，

　　那么：

　　设抛物线的准线交x轴于c，那么

　　.

　　这就说明：

以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

　　●

　　通法特法妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

　　解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.

　　【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线

　　y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

　　A、B，则|AB|等于（

　　）

　　A.3

　　B.4

　　c.3

　　D.4

　　【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段

　　AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

　　【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：

.

　　由

　　设方程

（1）之两根为x1，x2，则.

　　设AB的中点为m（x0，y0），则.代入x+y=0：

y0=.故有.

　　从而.直线AB的方程为：

.方程

（1）成为：

.解得：

　　，从而，故得：

A（-2，-1），B（1，2）.，选c.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

　　虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

　　【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（

　　）

　　A．

　　B．

　　c．

　　D．

　　【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.

　　△AFk为正三角形.设准线交x轴于m，则

　　且∠kFm=60°，∴.选c.

　　【评注】

（1）平面几何知识：

边长为a的正三角形的

　　面积用公式计算.

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

　　（3）定义法——追本求真的简单一着

　　许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

　　【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线

　　的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（

　　）

　　A．

　　B．

　　c．

　　D．

　　【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

　　如图，我们先做必要的准备工作：

设双曲线的半

　　焦距c，离心率为e，作

　　，令

　　.∵点m在抛物线上，

　　，

　　这就是说：

的实质是离心率e.

　　其次，与离心率e有什么关系？

注意到：

　　.

　　这样，最后的答案就自然浮出水面了：

由于.∴选A..

　　（4）三角法——本身也是一种解析

　　三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

　　因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

　　【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

　　（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

　　（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交

　　x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

　　【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.

　　（Ⅱ）直线AB：

　　代入

（1），整理得：

　　设方程

（2）之二根为y1，y2，则.

　　设AB中点为

　　AB的垂直平分线方程是：

.

　　令y=0，则

　　故

　　于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.

　　（5）消去法——合理减负的常用方法.

　　避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

　　【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线：

（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；

（2）线段AB被直线：

x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.

　　【解析】假定在抛物线上存在这样的两点

　　∵线段AB被直线：

x+5y-5=0垂直平分，且

　　.

　　设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：

　　AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：

　　（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

　　有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

　　【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段oA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1oP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为

　　.

　　【解析】∵

　　设oA上第k个分点为

　　第k个三角形的面积为：

　　.

　　故这些三角形的面积之和的极限

　　抛物线定义的妙用

　　对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。

现举例说明如下。

　　一、求轨迹（或方程）

　　例1.已知动点m的坐标满足方程，则动点m的轨迹是（）

　　A.椭圆B.双曲线c.抛物线D.以上都不对

　　解：

由题意得：

　　即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离

　　由抛物线定义可知：

动点m的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。

　　故选c。

　　二、求参数的值

　　例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求m的值。

　　解：

设抛物线方程为，准线方程：

　　∵点m到焦点距离与到准线距离相等

　　解得：

　　∴抛物线方程为

　　把代入得：

　　三、求角

　　例3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则__________。

　　A.45°B.60°c.90°D.120°

　　图1

　　解：

如图1，由抛物线的定义知：

　　则

　　由题意知：

　　即

　　故选c。

　　四、求三角形面积

　　例4.设o为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，。

求△oPQ的面积。

　　解析：

如图2，不妨设抛物线方程为，点、点

　　图2

　　则由抛物线定义知：

　　又，则

　　由得：

　　即

　　又PQ为过焦点的弦，所以

　　则

　　所以，

　　点评：

将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。

　　五、求最值

　　例5.设P是抛物线上的一个动点。

（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；

（2）若B（3，2），求的最小值。

　　解：

（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是

　　由抛物线的定义知：

点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。

　　于是，问题转化为：

在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。

　　显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。

　　图3

（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则

　　，则有

　　即的最小值为4

　　图4

　　点评：

本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。

　　六、证明

　　例6.求证：

以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。

　　证明：

如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作Ac、BD垂直于，垂足分别为c、D。

取线段AB中点m，作mH垂直于H。

　　图5

　　由抛物线的定义有：

　　∵ABDc是直角梯形

　　即为圆的半径，而准线过半径mH的外端且与半径垂直，故本题得证。

　　抛物线与面积问题

　　抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。

解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。

　　例1.如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。

点c（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，m为抛物线的顶点。

　　图1

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△mcB的面积。

　　解：

（1）设抛物线的解析式为

　　，根据题意得

　　，解得

　　∴所求的抛物线的解析式为

（2）∵c点坐标为（0，5），∴oc＝5

　　令，则，

　　解得

　　∴B点坐标为（5，0），oB＝5

　　∵，

　　∴顶点m的坐标为（2，9）

　　过点m作mN⊥AB于点N，

　　则oN＝2，mN＝9

　　∴

　　例2.如图2，面积为18的等腰直角三角形oAB的一条直角边oA在x轴上，二次函数的图像过原点、A点和斜边oB的中点m。

　　图2

（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。

（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PmA中PA＝Pm，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。

　　解：

（1）∵等腰直角△oAB的面积为18，

　　∴oA＝oB＝6

　　∵m是斜边oB的中点，

　　∴

　　∴点A的坐标为（6，0）

　　点m的坐标为（3，3）

　　∵抛物线

　　∴，解得

　　∴解析式为，

　　对称轴为

（2）答：

在x轴、y轴上都存在点P，使△PAm中PA＝Pm。

　　①P点在x轴上，且满足PA＝Pm时，点P坐标为（3，0）。

　　②P点在y轴上，且满足PA＝Pm时，点P坐标为（0，－3）。

　　例3.二次函数的图像一部分如图3，已知它的顶点m在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。

　　图3

（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。

（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△Amc的面积为△ABc面积的倍时，求a的值。

　　解：

（1）由图象可知：

；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则；

　　当时，应有，则

　　当代入

　　得，即

　　所以，实数a的取值范围为。

（2）此时函数，

　　要使

　　，

　　可求得。

　　例4.如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过c（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDc的面积为7。

　　图4

（1）求k的值；

（2）求过F、c、D三点的抛物线的解析式；

　　（3）线段cD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿Dc的方向移动（点P不重合于点c），过P点作直线PQ⊥cD交EF于Q。

当P从点D出发t秒后，求四边形PQFc的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。

　　解：

（1）∵点A、B在一次函数的图象上，

　　∴

　　且

　　∵四边形ABDc的面积为7

　　∴

　　∴。

（2）由F（0，4），c（1，0），D（4，0）得

　　（3）∵PD＝1×t＝t

　　∴oP＝4－t

　　∴

　　即。

　　抛物线

　　已知抛物线D：

y2=4x的焦点与椭圆Q：

的右焦点F1重合，且点在椭圆Q上。

（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。

　　解：

（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为（1，0）

　　∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。

∴

　　①

　　又点在椭圆Q上，

　　∴即

　　②

　　由①②，解得

　　∴椭圆Q的方程为

　　∴离心离

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（－1，0）∴直线l的方程为

　　设

　　由方程组

　　消y整理，得

　　∴

　　又点F1到直线l的距离

　　∴

　　2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为o，点A的坐标为，倾斜角为的直线l与线段oA相交且交抛物线于m、N两点，求△AmN面积最大时直线l的方程，并求△AmN的最大面积

　　解法一

　　由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0

　　由方程组,消去y,得x2+x+m2=0

　　①∵直线l与抛物线有两个不同交点m、N，∴方程①的判别式Δ=2－

　　4m2=16＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为

　　设m,N则x1+x2=4－2m，x1•x2=m2,∴|mN|=4

　　点A到直线l的距离为d=

　　∴S△=2,从而S△2=42=2•≤23=128

　　∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号

　　故直线l的方程为y=x－1，△AmN的最大面

　　积为8

　　解法二

　　由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）,l的方程为x=y+m,其中0＜m＜5

　　由方程组,消去x,得y2－4y－4m=0

　　①∵直线l与抛物线有两个不同交点m、N，

　　∴方程①的判别式Δ=2+16m=16＞0必成立,设m,N则y1+y2=4，y1•y2=－4m,

　　∴S△=＝

　　4

　　=4

　　∴S△≤8,当且仅当即m=1时取等号

　　故直线l的方程为y=x－1，△AmN的最大面积为8

　　3已知o为坐标原点，P为轴上一动点，过P作直线交抛物线于A、B两点，设S△¬¬AoB=，试问：

为何值时，t取得最小值，并求出最小值。

　　解：

交AB与轴不重叠时，设AB的方程为

　　合

　　消y可得：

　　设A

　　B

　　则，

　　交AB与x轴重叠

　　时，上述结论仍然成立

　　∴

　　又∴

　　≥当时

　　取“=”，

　　综上当

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