空间向量讲义非常好用资料全.docx
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空间向量讲义非常好用资料全
向量的数量积和坐标运算
a,b是两个非零向量,它们的夹角为,则数|a||b|cos叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a||b|cos.其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是:
—■—fc-
若a(Xi,yi,zJ,b(X2.y2.Z2),贝U
①ab
x1x2
yy
Z1Z2;
②|a|
2
yZ1
21
.|b|
222
.X2y2Z2;
③ab
x1x2
y〃2
Z1Z2
④cos
Ml
a.b
x.|x2
y°2乙Z2
2
y1
2222
Z1、X2yZ2
1.2.异面直线m.n所成的角
分别在直线m,n上取定向量a.b.则异面直线m.n所成的角等于向量a.b所成的角或其补角
分别在直线m、n上取定向量a.b.求与向量a、b都垂直的
向量n,分别在m、n上各取一个定点A、B,则异面直线m、n的距离d等于AB在n上的射影
在L上取定AB,求平面的法向量n(如图2所示),再求cos
,则-
|AB||n|2
为所求的角.
学广东卷第18题第
(1)问).
②若二面角I是“锐角型”的如图3乙所示,那么其大小
等于两法向量n1、n2的夹角,即cos
■¥
n1n2
Ini||n2|
③方法二:
在二面角的棱I上确定两个点A、B,过A、B分别在平面、内求出与I垂直的
向量n、n2(如图4所示),则二面角I的大小等于向量
n1、n2的夹角,即cos―"“2
|ni|“2|
1.6.平面外一点p到平面的距离
先求出平面的法向量n,在平面内任取一定点A,则点p到平面
的距离d等于AP在n上的射影长,即d上匕也
|n|
练习
1•在长方体ABCDABQiDi中,BiC和GD与底面所成的角分别为60°和45°则异面直线BQ
和CiD所成角的余弦值为
2.如图,正四棱柱ABCDAiBGDi中,AA2AB,则异面直线AiB与ADi
中,E、F、G、H、M、N分别是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB
的中点,且EF=GH=MN,求证:
SABC,SBAC,SCAB.
4.如图2,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a,求AC1与侧面ABB1A1所成的
角.
分别是CCi与AB的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求点A到平面AED的距离.
6.已知正方体ABCDARCQ的棱长为2,P,Q分别是BC,CD上的动点,且|PQ2,确定P,Q的位置,使QBiPD!
.
7.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC90°,SA面ABCD,
1
SAABBC1,AD,求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.2
7.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD丄底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.
(1)证明EF//平面SAD;
(2)设SD2DC,求二面角AEFD的大小的余弦值.
8.(本小题满分14分)
如图,三棱柱ABQABC中,平面AiAB平面ABC,平面AAC平面ABC,
BAC90,ABAC2,AA3.
(I)求证:
AR平面ABC;
(n)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;
(E)求点R到平面ABG的距离
9、女口图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD丄底面ABCD,侧棱PA=PD=、.、2,底面ABCD为直角梯形,其中BC//AD,AB丄AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(1)求证:
PO丄平面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小;
(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为芒?
若存在,求出竺的
2QD
值;若不存在,请说明理由•
10.如图,在长方体ABCD-A止心〜!
中,AD=AA产1,AB=2。
E是CCi的中点,
(1)求锐二面角D-BiE-B的余弦值
(2)试判断AC与面DB!
E的位置关系,并说明理由。
(3)设M是棱AB上一点,若M到面DB茫的距离为,试确定点M的位置。
7
E
C
11如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA丄平面ABCD,ABC60,E,
F分别是BC,PC的中点.
(I)证明:
AE丄PD;
(U)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角正切
值为于,求二面角E—AF—C的余弦值.
12.长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=2,AD=1,AAi=2,E、F分别是
AB、CD的中点
(1)求证:
DiE丄平面ABiF;
⑵求直线AB与平面ABiF所成的角
(3)求二面角A-BiF-B的大小。
13.如图,三棱锥P—ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB.
P
(I)
求证:
AB平面PCB;
(II)求异面直线AP与BC所成角的大小;
(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
课外练习
1.如右下图,在长方体ABCD-AiBiCiDi中,已知AB=4,AD=3,AAi=2.E、F分别是线段AB、
BC上的点,且EB=FB=1.
(1)求二面角C-DE-Ci的正切值;
(2)求直线ECi与FDi所成的余弦值.
2已知,如图四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,
i
PG平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且AG-GD,
3
BGGC,GBGC2,E是BC的中点,四面体PBCG的体
8
积为-
3
(I)求异面直线GE与PC所成角余弦值;
PF
(n)若F点是棱PC上一点,且DFGC,求的值.
FC
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