关于高三数学基础知识归纳.docx
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关于高三数学基础知识归纳
关于高三数学基础知识归纳
高三数学基础知识汇总:
第一部分集合
(1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2;
(2)注意:
讨论的时候不要遗忘了的情况。
(3)
第二部分函数与导数
1.映射:
注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:
①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;
⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
①若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数分解为基本函数:
内函数与外函数;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:
外函数的定义域是内函数的值域。
4.分段函数:
值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵是奇函数;
⑶是偶函数;
⑷奇函数在原点有定义,则;
⑸在关于原点对称的单调区间内:
奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
4对称变换:
ⅰ;ⅱ;
ⅲ;ⅳ;
5翻转变换:
ⅰ———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);
ⅱ———上不动,下向上翻(||在下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数与图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上,反之亦然;
注:
①曲线C1:
f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:
f(2a-x,2b-y)=0;
②曲线C1:
f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:
f(2a-x,y)=0;
③曲线C1:
f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=对称;
特别地:
f(a+x)=f(a-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法.
13.导数
⑴导数定义:
f(x)在点x0处的导数记作;
⑵常见函数的导数公式:
①;②;③;
④;⑤;⑥;⑦;
⑧。
⑶导数的四则运算法则:
⑷(理科)复合函数的导数:
⑸导数的应用:
①利用导数求切线:
注意:
ⅰ所给点是切点吗?
ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:
ⅰ是增函数;ⅱ为减函数;
ⅲ为常数;
③利用导数求极值:
ⅰ求导数;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:
ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定积分
⑴定积分的定义:
⑵定积分的性质:
①(常数);
②;
③(其中。
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):
⑷定积分的应用:
①求曲边梯形的面积:
;
3求变速直线运动的路程:
;③求变力做功:
。
第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:
弧度,弧度,弧度
⑵弧长公式:
;扇形面积公式:
。
2.三角函数定义:
角中边上任意一点为,设则:
3.三角函数符号规律:
一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:
“函数名不(改)变,符号看象限”;
5.⑴对称轴:
;对称中心:
;
⑵对称轴:
;对称中心:
;
6.同角三角函数的基本关系:
;
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
①
②③。
8.二倍角公式:
①;
②;③。
9.正、余弦定理:
⑴正弦定理:
(是外接圆直径)
注:
①;②;③。
⑵余弦定理:
等三个;注:
等三个。
10。
几个公式:
⑴三角形面积公式:
;
⑵内切圆半径r=;外接圆直径2R=
11.已知时三角形解的个数的判定:
第四部分立体几何
1.三视图与直观图:
注:
原图形与直观图面积之比为。
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:
①表面积:
S=S侧+2S底;②侧面积:
S侧=;③体积:
V=S底h
⑵锥体:
①表面积:
S=S侧+S底;②侧面积:
S侧=;③体积:
V=S底h:
⑶台体:
①表面积:
S=S侧+S上底S下底;②侧面积:
S侧=;③体积:
V=(S+)h;
⑷球体:
①表面积:
S=;②体积:
V=。
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:
①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:
①线面平行的判定定理;②面面平行线面平行。
⑶平面与平面平行:
①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:
①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:
①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:
理科还可用向量法。
4.求角:
(步骤-------Ⅰ。
找或作角;Ⅱ。
求角)
⑤二项分布(独立重复试验):
若X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p);注:
。
⑵条件概率:
称为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。
注:
①0P(B|A)1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率:
P(AB)=P(A)P(B)。
⑷正态总体的概率密度函数:
式中是参数,分别表示总体的平均数(期望值)与标准差;
(6)正态曲线的性质:
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x=对称;
③曲线在x=处达到峰值;④曲线与x轴之间的面积为1;
5当一定时,6曲线随质的变化沿x轴平移;
7当一定时,8曲线形状由确定:
越大,9曲线越“矮胖”,10表示总体分布越集中;
越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。
注:
P=0.6826;P=0.9544
P=0.9974
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:
①在区间上是增函数当时有;
②在区间上是减函数当时有;
⑵单调性的判定
1定义法:
注意:
一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);
③复合函数法(见2
(2));
④图像法。
注:
证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
①;②;③;
④;⑤;
⑶函数周期的判定
①定义法(试值)②图像法③公式法(利用
(2)中结论)
⑷与周期有关的结论
①或的周期为;
②的图象关于点中心对称周期为2;
③的图象关于直线轴对称周期为2;
④的图象关于点中心对称,直线轴对称周期为4;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数:
(;⑵指数函数:
;
⑶对数函数:
;⑷正弦函数:
;
⑸余弦函数:
;(6)正切函数:
;⑺一元二次函数:
;
⑻其它常用函数:
1正比例函数:
;②反比例函数:
;特别的
2函数;
9.二次函数:
⑴解析式:
①一般式:
;②顶点式:
,为顶点;
③零点式:
。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法:
①数形结合;②分类讨论。
10.函数图象:
⑴图象作法:
①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
1平移变换:
ⅰ,2———“正左负右”
ⅱ———“正上负下”;
3伸缩变换:
ⅰ,(———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;
ⅱ,(———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的倍;
⑴异面直线所成角的求法:
1平移法:
平移直线,2构造三角形;
3②补形法:
补成正方体、平行六面体、长方体等,4发现两条异面直线间的关系。
注:
理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin。
注:
理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
⑶二面角的求法:
①定义法:
在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解;
②三垂线法:
由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解;
③射影法:
利用面积射影公式:
其中为平面角的大小;
注:
对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法;
理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。
5.求距离:
(步骤-------Ⅰ。
找或作垂线段;Ⅱ。
求距离)
⑴两异面直线间的距离:
一般先作出公垂线段,再进行计算;
⑵点到直线的距离:
一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;
⑶点到平面的距离:
①垂面法:
借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键),再求解;
5等体积法;
理科还可用向量法:
。
⑷球面距离:
(步骤)
(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。
6.结论:
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式):
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,则S侧cos=S底;
⑷长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则:
cos2+cos2+cos2=1;sin2+sin2+sin2=2。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;sin2+sin2+sin2=1。
⑸正四面体的性质:
设棱长为,则正四面体的:
2.间接证明------反证法
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。
附:
数学归纳法(仅限理科)
一般的证明一个与正整数有关的一个命题,可按以下步骤进行:
⑴证明当取第一个值是命题成立;
⑵假设当命题成立,证明当时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注:
①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;
3的取值视题目而4定,5可能是1,6也可能是2等。
第十六部分理科选修部分
1.排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!
;
⑵组合数公式:
(m≤n),;
⑶组合数性质:
;
⑷二项式定理:
①通项:
②注意二项式系数与系数的区别;
⑸二项式系数的性质:
①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数,中间一项(第+1项)二项式系数最大;若n为奇数,中间两项(第和+1项)二项式系数最大;
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。
2.概率与统计
⑴随机变量的分布列:
①随机变量分布列的性质:
pi≥0,i=1,2,…;p1+p2+…=1;
②离散型随机变量:
Xx1X2…xn…
PP1P2…Pn…
期望:
EX=x1p1+x2p2+…+xnpn+…;
方差:
DX=;
注:
;
③两点分布:
X01期望:
EX=p;方差:
DX=p(1-p).
P1-pp
4超几何分布:
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则其中,。
称分布列
X01…m
P…
为超几何分布列,称X服从超几何分布。
(1)定义法----正、反方向推理;
(2)利用集合间的包含关系:
例如:
若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;
3.逻辑连接词:
⑴且(and):
命题形式pq;pqpqpqp
⑵或(or):
命题形式pq;真真真真假
⑶非(not):
命题形式p.真假假真假
假真假真真
假假假假真
4.全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用表示;
全称命题p:
;
全称命题p的否定p:
。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用表示;
特称命题p:
;
特称命题p的否定p:
;
第十五部分推理与证明
1.推理:
⑴合情推理:
归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。
①归纳推理:
由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
注:
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:
由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。
注:
类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:
从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。
注:
演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
⑴大前提---------已知的一般结论;
⑵小前提---------所研究的特殊情况;
⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。
分析法又叫逆推证法或执果索因法。
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