数学建模优秀论文.docx
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数学建模优秀论文
国防科技大学:
李宝娟、刘健、张云安,指导教师:
指导教师组
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网
上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的
资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参
考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规
则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是:
B题:
DVD在线租赁
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
所属学校(请填写完整的全名):
国防科大
参赛队员(打印并签名):
1.
刘
健
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人
张云安
李宝娟
(打印并签名):
指导教师组
日期:
2005
年9月19日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖
1
国防科技大学:
李宝娟、刘健、张云安,指导教师:
指导教师组
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖
2
国防科技大学:
李宝娟、刘健、张云安,指导教师:
指导教师组
DVD在线租赁
摘要
本问题是一个DVD在线租赁中,网站方如何对于市场进行需求预测、如何对DVD
进行分配才能同时最好的实现其经济效益和社会效益。
第一问中,基于需求预测基础上的DVD购买方案设计中,我们分别考虑了悲观情
况和均值情况。
为了保证希望看到某种DVD的会员中,有50%以上在一个月内能看到
该DVD,在悲观情况下,各种DVD的购买量分别为:
9000,4500,2250,1125,450。
在均值情况下,各种DVD的购买量分别为:
6250,3125,1563,720,313。
为了保证
在三个月内95%以上的会员能够看到,在悲观情况下,各种DVD的购买量分别为:
4500,
2250,1125,563,225。
在均值情况下,各种DVD的购买量分别为:
3959,1980,990,
495,198。
最后,不考虑具体的会员的借还DVD时间,我们使用概率的方法解决了该
问题。
结果与均值情况相近。
对于第二问,对于当前订单的分配方案确定。
我们建立了0-1规划模型,求得此时
的最大满意度为24746,我们给出了此时的最优分配方案。
第三问,是一个多目标规划问题,既要考虑使得会员的满意度尽量大,还要使得网
站所购买的总的DVD数目最少,在具体处理时,我们让会员满意度在一定的范围内变
动,给出各种情况下使得总DVD数最少的方案。
其中当会员相对满意度为0.8时的最
少DVD总数为2059张。
分析第三问的结果,我们发现了有趣的双峰现象,并对其合理性进行了阐述。
同时,
我们还可以发现,会员相对满意度与最少DVD之间呈现总数近似线性的关系。
如下表
所示:
对于网站而言,其经营管理的目的是获得最大的经济效益,不同的租赁模式设置下
网站会得到不同的经济效益,第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。
求得了在一
种情况下,限定每月最多租赁两次的情况下,得到使得网站的效益达到最大时,应该限
定每个会员每次租赁最多2张DVD。
同时讨论了对于限定每次最多租赁3张DVD的情
况下,最佳的租赁次数限制。
本文论证严密,所给出的结果具有启发性和借鉴意义。
2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖
3
相对满意度
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
所需DVD数
1202
1486
1760
2059
2567
3098
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指导教师组
一问题重述
随着信息时代的到来,网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站
利用其强大的资源和知名度,面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如,音
像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势,包括传
播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等,为顾客提
供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD
租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽
可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不
得超过2次,每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后,只需要将DVD放进网站
提供的信封里寄回(邮费由网站承担),就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题:
1)网站正准备购买一些新的DVD,通过问卷调查1000个会员,得到了愿意观看这些
DVD的人数(表1给出了其中5种DVD的数据)。
此外,历史数据显示,60%的会
员每月租赁DVD两次,而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员,对表
1中的每种DVD来说,应该至少准备多少张,才能保证希望看到该DVD的会员中
至少50%在一个月内能够看到该DVD?
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能
够看到该DVD呢?
2)表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在
线订单(表
2
的数据格式示例如下表
2,具体数据请从
下载),如何对这些DVD进行分配,才
能使会员获得最大的满意度?
请具体列出前30位会员(即C0001~C0030)分别获得
哪些DVD。
3)继续考虑表2,并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人
员,你如何决定每种DVD的购买量,以及如何对这些DVD进行分配,才能使一个
月内95%的会员得到他想看的DVD,并且满意度最大?
4)如果你是网站经营管理人员,你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重
要问题值得研究?
请明确提出你的问题,并尝试建立相应的数学模型。
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4
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二背景介绍
DVD在线租赁业务是一项近年来在网络技术高度发展的基础上出现的新业务。
1998年,
成立于美国的Nexfix是目前炙手可热的DVD在线租赁商。
该公司有多种DVD出租业
务。
其中,典型的是一种这样的:
顾客每月缴纳19.9美元成为会员。
定购DVD租赁服
务。
顾客对哪些DVD感兴趣,只须在线提交订单,网站收到顾客的订单之后,会根据
手头现有的DVD数量和会员的订单尽可能将DVD以快递的方式投递给会员。
一般情况下,在一天之内,网站即可将会员所需的DVD送到会员手中,会员每次最多
得到3张DVD。
每个月订购的次数是有限的,顾客拿到这些DVD之后可以无限期的保
留这些DVD,前提是在这段时期内,他仍然是该网站的会员。
如果会员想拿进行下一
次租赁,则它必须首先将手上的DVD放进网站提供的信封里寄回。
之后,即可进行下
一次租赁。
三问题分析
本问题是一个在DVD租赁业务中,网站方如何进行DVD需求预测、如何购置新
DVD、如何将手头的DVD分配给会员,从而可以保证会员满意而同时又使自己收到良
好的经济效益的问题。
第一问中,1000个会员的调查表即是10万个会员的需求预测。
由于具体会员订单
的不可确知性,,无法考虑“每个会员每次最多获得3张DVD”的约束,同时各种DVD
之间的横向数量约束也无法考虑。
故计算时,对于每种DVD的购买量可单独考虑。
此
时,由于每月租赁两次DVD会员的不确定性,我们可以以均值情况估计和最悲观情况
估计。
第二问中,网站给出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位
会员的再现订单。
要求我们给出一个使得会员总的满意度最大的分配方案。
显然这是一
个大规模的0—1规划问题。
第三问中综合考虑一个月内DVD的购买分配方案,这其实是一个多目标规划的问
题。
从网站的经济效益角度考虑看,在保证所有会员中95%以上的会员一个月内看到自
己想看的DVD的情况下,希望购买的DVD尽量少,但是从其社会效应来看,则要尽
可能地考虑让所有会员的总的满意度最大。
这时,可以使用多种方式将多目标规划变为
单目标规划,以求得一个经济效益与社会效益的综合最优。
具体的1000位会员中到底
会有哪些会员是可能会在一个月内租赁两次DVD,这个数据我们无从得知。
我们可以
随机地从1000名会员中选择600名。
认为这些会员将会在一个月内两次租赁DVD,由
于所给数据的均匀性,无论是哪600名会员将会两次租赁DVD,对目标影响并不会很
大。
对于网站而言,其经营管理的目的是获得最大的经济效益,不同的租赁模式设置下
网站会得到不同的经济效益,第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。
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四符号说明
Cij
第i名会员获得第j张DVD时的满意度。
xij
第i名会员获得第j张DVD时,
xij=1
,反之为0
di
bj
C:
di=1时,第i名会员在该月两次租赁DVD,反之为0
网站第j种DVD的拥有量
网站每月收向每位会员取的月费。
xij1
:
第i名会员第一次分配时获得第j张DVD时,
xij1=1
,反之为0
xij2
:
第i名会员第一次分配时获得第j张DVD时,
xij2=1
,反之为0
五基本假设
1.网站对1000名会员的调查结果足以反映网站的10万名会员对于各种DVD的需求及
喜好
2.会员中总是有60%的会员每月租赁DVD两次,40%的会员每月租赁DVD一次
3.会员只有在需要再次租赁DVD时,才会将将上次租赁的DVD归还。
4.因为60%的会员每月租赁2次DVD,40%的会员每月租赁1次DVD,所以假设每位
会员每月至少会租赁1次。
5.如果会员对某种DVD感兴趣,但是本次提交订单后,并没有得到该DVD则他的下
一份订单中仍然会有兴趣观看该DVD
6.网站对于会员归还DVD的期限不作限制。
7.对于每一类被租赁出去的DVD总是有60%分布在每个月会租赁两次DVD的会员中,
40%分布在每月租赁一次DVD的会员中。
8.会员在一个月内只要看到一张他想看到的DVD就认为他看到了想看的DVD.
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6
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六、模型的建立与求解
6.1
DVD购置方案的确定
通过对1000个会员的调查问卷,网站可以获得其10万个会员对于各种DVD的需
求状况,在制定订购方案时,可以不用考虑每个会员每次最多租赁3张DVD的限制。
同时不考虑各种DVD数量之间的横向联系,而对每种DVD单独考虑其购买量。
我们称每个月内只租赁一次DVD的会员为1类会员,每个月内租赁两次DVD的会
员为2类会员。
此时,由于每个月内会两次租赁DVD会员的不确定性,在制定DVD
的购买方案时我们分别考虑悲观情况估计及均值估计两种方式。
6.1.1悲观情况估计
a)50%情形
对于某种DVD,如DVD1,假设其购买量为m,而希望看到DVD1的会员有2万人,
假设经过一段时间的租赁后,DVD1都已被租赁出去,这m张DVD可能在占总会员60%
的该月将要租赁两次DVD的人的手中,也可能在另外40%该月只租赁一次DVD的会
员手中。
如果在前者手中,则一个月内该DVD还可被其余会员看到,但是如果在40%
的人手中时,则该DVD在这个月内不会再被其余会员看到。
考虑一种悲观情况,m的
一部分首先被占总会员40%的会员借走了,这部分人借了就不会在该月再还。
为了保证
至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD,那么此时总的碟数应该满足:
40%*20000+(m-40%*20000)*2
≥
50%*20000
上式的意义是:
在悲观情况下,占想看到DVD1的会员40%的会员令其都租赁到
DVD1,并且在一个月内不还,另外60%的会员中有部分租到DVD1并且在一个月内该
DVD只被第二个会员看到。
此时
m≥9000
同理,对于其他的DVD也有类似的表达式。
此时为保证一个月内至少50%的会员
看到他想看到的DVD,则每种DVD的购买量为:
表1
b)95%情形
基于上述悲观情况,要使三个月内95%的会员能够看到该DVD,则(以DVD1为
例):
m+(2m-40%*2000)*2+(40%*20000-m)+2m
≥
95%*20000
求得
m≥4500
同理,对于其他的各种DVD,要保证三个月内至少95%的会员看到他想看得DVD,
则每种DVD的购买量为:
表2
2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖
7
DVD种类
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
购买量
9000
4500
2250
1125
450
DVD种类
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
购买量
4500
2250
1125
563
225
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6.1.2均值情况估计
现实情况是这样的,DVD在线租赁是一个实时性很强的业务,在每个月的每一天内,
都会有顾客提交订单,同时也会有会员归还已借的DVD。
这种会员订单的提交以及DVD
的归还是服从参数为λ的泊松分布的。
但是考虑一种平均的情况我们可以认为:
所有的
会员在每个月的某天(不妨假设为1号)要提交订单,同时那些需要租赁两次DVD的
人也集中在15号的时候归还已租赁的DVD并提交下一份订单。
如果认为会员租赁、归
还的时间服从泊松分布,对该分布进行长期考察,可以发现上述的简化不过是泊松分布
时的平均情况。
因而,我们在处理时可以不必考虑每个会员的具体租赁、归还DVD的
时间,而只考虑每个月内两次的分配方案,即1号和15号的分配方案。
同时,在DVD被租赁出去后,对于某种DVD,从平均意义上看,应该是均匀的分
布在每月只租赁1次DVD的会员和每月租赁两次DVD的会员中,即是说在15号,该
DVD将有60%被归还。
a)
50%情形
在上述所说的网站运营模式下,设DVD1有m张,,则在1号时被分配出去,在15号
时,又有0.6m张被归还。
这样,为保证1个月内至少50%的会员时看到该DVD则应满
足:
1.6m≥50%⨯20000
∴m≥6250
即DVD至少准备6250张。
同理可得其余DVD应该准备的数量。
此时结果为:
表3
b)
95%情形
对于要使3个月内希望看到该DVD的会员中95%看到该DVD则考虑一下过程:
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8
时间
已看到该DVD的会员数
想看到但并未看到的会员数
1月1日
m
20000-m
1月15日
m2=m+min(0.6m,0.6⨯(20000-m))
20000-m2
2月1日
m3=m2+min(m,20000-m2)
20000-m3
2月15日
m4=m3+min(0.6m,0.6⨯(20000-m3))
20000-m4
3月1日
m5=m4+min(m,20000-m4)
20000-m5
3月15日
m6=m5+min(0.6m,0.6⨯(20000-m5))
20000-m6
DVD种类
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
购买量
6250
3125
1563
782
313
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指导教师组
要使三个月内希望看到某种DVD的会员中至少95%的会员能够看到该DVD,则要使:
20000-m6≤20000⨯5%
此时,计算得
m≥3959
同理,求得为使三个月内希望看到该DVD,则每种DVD的购买数量如下表所示:
6.1.3理论证明
事实上,不必认为所有的人都在1号的时候来借DVD,我们可以从理论求解该问题。
假设某种DVD一个月内被看到一次的概率为0.4,被看到两次的概率为0.6,则其服从
分布:
⎛12⎫
⎝⎭
为使希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD,即是要求
n
i=1
i
≥50%*20000
为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD,则要使得上成
立的概率尽可能大,不妨取:
n
i=1
n
由于ξi是独立同分布的,且n的数量很大,由中心极限定理知,i=1
将其化为标准正态分布即为:
i
近似服从正态分布。
p(
1
n
*
n
0.4*0.6
≥
10000-1.6n
n*0.4*0.6
)
≥
0.95
查表可得:
10000-1.6n
n*0.4*0.6
≤-1.645
解得
n≥(0.25+0.252+6250)2≈6250
同理亦可推出均值情况下的其他解。
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9
名称
DVD1
DVD2DVD3
DVD4
DVD5
数量(张)
3959
1980990
495
198
ç0.40.6⎪
∑ξ
P(∑ξi≥50%*20000)≥95%
∑ξ
∑=i1(ξi-1.6)
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6.2
100种DVD对于1000个会员在线订单的分配
6.2.1模型建立
在问题2中,网站当前需要处理1000位会员的在线订单。
网站手上现有数量有限的100
种DVD进行分配,并使所有会员的满意度最高。
在此先对满意度的定义给一说明,设第i个会员对第j种DVD感兴趣,并且在他
的订单中,给出的偏爱程度为
aij
则第i个会员获得第j种DVD时的满意度为
cij=11-aij
。
此时,在最好情况下每个会员的满意度最大为27,定义第i个人的个人相对满意度
为:
ci'=
其中,ci表示第i个人的满意度。
建立如下的0—1规划模型:
ci
27
max
1000100
i=1j=1
ijij
c
员的订单中,给出的偏爱程度为a,则相应的
s.t
每个会员每次最多获得3张DVD
100
≤3
ij
j=1
每种碟的总数的约束:
1000
≤bj
ij
i=1
0—1的约束:
1000
=0或者1
ij
i=1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
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