项目二一元函数积分学与空间图形的画法word精品文档11页.docx
- 文档编号:24220873
- 上传时间:2023-05-25
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:156.04KB
项目二一元函数积分学与空间图形的画法word精品文档11页.docx
《项目二一元函数积分学与空间图形的画法word精品文档11页.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《项目二一元函数积分学与空间图形的画法word精品文档11页.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
项目二一元函数积分学与空间图形的画法word精品文档11页
项目二一元函数积分学与空间图形的画法
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?
吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:
“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!
”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:
提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
实验1一元函数积分学(基础实验)
要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。
实验目的掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察,深入理解
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用
定积分解决各种问题的能力.
用定义计算定积分
当
在
上连续时,有
因此可将
与
作为
的近似值.为了下面计算的方便,在例1.1中定义这两个近似值为
和n的函
数.
例1.1(教材例1.1)计算
的近似值.
输入
s1[f_,{a_,b_},n_]:
=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]];
s2[f_,{a_,b_},n_]:
=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];
再输入
Clear[f];f[x_]=x^2;
js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];
TableForm[js1,TableHeadings->{None,{"n","s1","s2"}}]
则输出
ns1s2
20.1250.625
40.218750.46875
80.2734380.398438
160.3027340.365234
320.3178710.349121
640.3255620.341187
1280.3294370.33725
2560.3313830.335289
5120.3323570.334311
10240.3328450.333822
这是
的一系列近似值.且有
例1.2计算
的近似值.
输入
Clear[g];
g[x_]=Sin[x]/x;
js2=Table[{n,s2[g,{0,1},n]},{n,3,50}]
则得到定积分的一系列近似值:
{{3,0.91687},{4,0.924697},{5,0.929226},…,
{48,0.944421},{49,0.944455},{50,0.944488}}
注:
用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n收敛很慢.可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节).如果用Nintegrate命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.
例1.3用定义求定积分
的动画演示.
输入
Clear[f,x,a,b];
f[x_]=x^2;a=0;b=1.5;m=0;
g1=Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},
DisplayFunction->Identity];
For[j=3,j<=50,j+=2,m=j;tt1={};tt2={};
For[i=0,i tt1=Append[tt1,Graphics[{RGBColor[0,0,1], Rectangle[{x1,0},{x2,f[x2]}]}]]; tt2=Append[tt2,Graphics[{RGBColor[0,0,1], Rectangle[{x1,f[x1]},{x2,0}]}]]]; Show[tt1,tt2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction, PlotLabel->m''intervals'']] 执行以上命令,可得到一系列图形(共24幅),如果观察动画,只要选中24幅图形中的任一幅图形,双击以后即可以形成动画.当分割越来越细时,观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系,有助于理解定积分的概念及其几何意义. 不定积分计算 例1.4(教材例1.2)求 输入 Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x] 则输出 例1.5求 输入 Integrate[Exp[-2x]*Sin[3x],x] 则输出 例1.6(教材例1.3)求 输入 Integrate[x^2*ArcTan[x],x] 则输出 例1.7求 输入 Integrate[Sin[x]/x,x] 则输出 SinIntegrate[x] 它已不是初等函数. 定积分计算 例1.8求 输入 Integrate[x-x^2,{x,0,1}] 则输出 例1.9(教材例1.4)求 输入 Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}] 则输出 4 例1.10(教材例1.5)求 输入 Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}] 则输出 例1.11(教材例1.6)求 输入 Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则输出 其中Erf是误差函数,它不是初等函数.改为求数值积分,输入 NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则有结果 0.746824. 变上限积分 例1.12(教材例1.7)求 输入 D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x] 则输出 -2Cos[x]Sin[x]w[Cos[x]2] 注意这里使用了复合函数求导公式. 例1.13(教材例1.8)画出变上限函数 及其导函数的图形. 输入命令 f1[x_]: =Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}]; f2[x_]: =Evaluate[D[f1[x],x]]; g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]; Show[g1,g2]; 则输出图1.1. 图1.1 求平面图形的面积 例1.14(教材例1.9)设 和 计算区间 上两曲线所围成的平面的面 积. 输入命令 Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2Cos[Pix]];g[x_]=4Cos[x-2]; Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,0,1]}]; FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}] NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}] 则输出两函数的图形(图1.2)及所求面积 图1.2 求平面曲线的弧长 例1.15(教材例1.10) 计算 与 两点间曲线的弧长. 输入命令 Clear[f];f[x_]=Sin[x+x*Sin[x]]; Plot[f[x],{x,0,2Pi},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; NIntegrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,2Pi}] 则输出曲线的图形(图1.3)及所求曲线的弧长12.0564. 图1.3 注: 曲线 在区间 上的弧长 . 求旋转体的体积 例1.16(教材例1.11)求曲线 与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋 转体体积. 输入 Clear[g]; g[x_]=x*Sin[x]^2; Plot[g[x],{x,0,Pi}] 则输出图1.4. 图1.4 观察 的图形.再输入 Integrate[Pi*g[x]^2,{x,0,Pi}] 得到输出 又输入Integrate[2Pi*x*g[x],{x,0,Pi}] 得到输出 若输入NIntegrate[2Pi*x*g[x],{x,0,Pi}] 则得到体积的近似值为 27.5349. 注: 图1-4绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积 此外,我们还可用ParametricPlot3D命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的 图形. 输入 Clear[x,y,z,r,t]; x[r_,t_]=r; y[r_,t_]=g[r]*Cos[t]; z[r_,t_]=g[r]*Sin[t]; ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}] 则得到绕x轴旋转所得旋转体的图形(图1.5). 图1.5 又输入 Clear[x,y,z]; x[r_,t_]=r*Cos[t]; y[r_,t_]=r*Sin[t]; z[r_,t_]=g[r]; ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}] 则得到绕y轴旋转所得旋转体的图形(图1.6). 图1.6 实验2空间图形的画法(基础实验) 实验目的掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察,提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形. 一般二元函数作图 例2.1(教材例2.1)作出平面 的图形,其中 . 输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}] 则输出所作平面的图形(图2.5). 图2.5 如果只要位于第一卦限的部分,则输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}] 观察图形.其中作图范围选项为PlotRange->{0,6},而删除的部分显示为一块水平平面(图2.6). 图2.6 例2.2(教材例2.2)作出函数 的图形. 输入 k[x_,y_]: =4/(1+x^2+y^2) Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30, PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}] 则输出函数的图形2.7.观察图形,理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义.选项 BoxRatios的默认值是{1,1,0.4}. 图2.7 例2.3(教材例2.3)作出函数 的图形. 输入命令 Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3}, PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic]; 则输出所求图形(图2.8). 图2.8 例2.4(教材例2.4)作出函数 的图形. 输入 Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False, Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False] 则输出网格形式的曲面图2.9,这是选项Shading->False起的作用,同时注意选项Boxed->False 的作用. 图2.9 二次曲面 例2.5(教材例2.5)作出椭球面 的图形. 这是多值函数,用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程为 ( ). 输入 ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v],Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->30] 则输出椭球面的图形(图2.10).其中选项PlotPoints->30是增加取点的数量,可使图形更加光滑. 图2.10 例2.6(教材例2.6)作出单叶双曲面 的图形. 曲面的参数方程为 ( ) 输入 ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v],3*Tan[u]}, {u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2Pi},PlotPoints->30] 则输出单叶双曲面的图形(图2.11). 图2.11 例2.7作双叶双曲面 的图形. 曲面的参数方程是 其中参数 时对应双叶双曲面的一叶,参数 时对应双叶双曲面的另一叶.输入 sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,Pi/1000,Pi/2},{v,-Pi,Pi}, DisplayFunction->Identity]; (*DisplayFunction->Identity是使图形暂时不输出的选项*) sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,-Pi/2,-Pi/1000}, {v,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity]; Show[sh1,sh2,DisplayFunction->$DisplayFunction] (*命令Show[sh1,sh2]是把图形sh1,sh2放置在一起,DisplayFunction->$DisplayFunction是恢复显示图形的选项*) 输出为图2.12. 图2.12 例2.8可以证明: 函数 的图形是双曲抛物面.在区域 上作出它的图形. 输入 Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30] 输出图形略.也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形,输入 ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2Pi},PlotPoints->30] 输出为图2.13比较这些图形的特点. 图2.13 例2.9(教材例2.7)作出圆环 ( ) 的图形. 输入 ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u], 7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}]; 则输出所求圆环的图形(图2.14). 图2.14 例2.10画出参数曲面 的图形. 输入命令 ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v], Sin[u]Sin[v],Cos[v]+Log[Tan[v/2]+u/5]}, {u,0,4*Pi},{v,0.001,2}]; 则输出所求图形(图2.15). 图2.15 曲面相交 例2.11(教材例2.8)作出球面 和柱面 相交的图形. 输入 g1=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],2Sin[u]*Sin[v],2Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2Pi},DisplayFunction->Identity]; g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v}, {u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction] 则输出所求图形(图2.16). 图2.16 例2.12作出锥面 和柱面 相交的图形. 输入 g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r}, {r,-3,3},{t,0,2Pi}, DisplayFunction->Identity]; Show[g2,g3,DisplayFunction->$DisplayFunction] 输出为图2.17. 图2.17 例2.13画出以平面曲线 为准线,母线平等Z轴的柱面的图形. 写出这一曲面的参数方程为 取参数s的范围为[0,8].输入命令 ParametricPlot3D[{t,Cos[t],s},{t,-Pi,Pi},{s,0,8}] 则输出所求图形(图2.18). 图2.18 例2.14(教材例2.9)作出曲面 及 面所围成的立体图形. 输入 g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi}, {r,0,Pi/2},PlotPoints->30]; Show[g1,g2] 则输出所求图形(图2.19). 图2.19 例2.15(教材例2.10)作出螺旋线 ( )在 面上的正投影曲线的图形. 所给螺旋线在 面上的投影曲线的参数方程为 . 输入 ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}]; 则输出所求图形(图2.20). 图2.20 注: 将表示曲线的方程组,消去其中一个变量,即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投 影曲线的方程,不考虑曲线所在平面,它就是投影柱面方程;对于参数方程,只要注意将方程中 并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可. 例2.16(教材例2.11)作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形. 输入 Clear[r,x,y,z]; r[t_,v_]: =2+0.5*v*Cos[t/2]; x[t_,v_]: =r[t,v]*Cos[t] y[t_,v_]: =r[t,v]*Sin[t] z[t_,v_]: =0.5*v*Sin[t/2]; ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2Pi}, {v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False] 则输出所求图形(图2.21).观察所得到的曲面,理解它是单侧曲面. 图2.21 空间曲线 例2.17(教材例2.12)作出空间曲线 的图形. 输入 ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6Pi}] 则输出所求图形(图2.22). 图2.22 例2.18绘制参数曲线 的图形. 输入命令 ParametricPlot3D[{Sin[t],2Cos[t],t.2},{t,0,12}]; 则输出所求图形(图2.23). 图2.23 例2.19绘制参数曲线 的图形. 输入命令 ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,1/(1+2*t),ArcTan[t]},{t,0,8}]; 则输出所求图形(图2.24). 图2.24 动画制作 例2.20平面正弦曲线的运动. 输入 Table[Plot[Sin[x+t*Pi],{x,0,6Pi}],{t,0,2,1/8}] 则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略).双击屏幕上某一幅画,则可形成动画.下面是动画的最后一幅图(图2.25). 图2.25 例2.21(教材例2.13)作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令 < 执行后再输入 MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8Pi,8Pi},{y,-8Pi,8Pi}, {t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5, ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12] 则输出12幅具有不同相位的水面图形,双击屏幕上任意一幅图,均可观察动画效果.下图是第一幅图(图2.26). 图2.26 例2.22(教材例2.14)用动画演示由曲线 绕z轴旋转产生旋转曲面的过程.该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 其参数方程为 输入 For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z}, {z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]]; 则输出连续变化的30幅图形.双击屏幕上任意一幅图,均可观察动画效果.下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图(图2.27). 图2.27 例2.23
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 项目 一元函数 积分学 空间 图形 画法 word 精品 文档 11