完整版Matlab概率论及数理统计.docx

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完整版Matlab概率论及数理统计

Matlab概率论与数理统计

一、matlab基本操作

1.画图

【例】简单画图

holdoff;

x=0:

0.1:

2*pi;

y=sin（x）;

plot（x,y,'-r'）;

x1=0:

0.1:

pi/2;

y1=sin（x1）;

holdon;

fill（[x1,pi/2],[y1,1/2],'b'）;

【例】填充，二维平均随机数

hold

off

;

x=[0,60];y0=[0,0];y60=[60,60];

x1=[0,30];y1=x1+30;

x2=[30,60];y2=x2-30;

xv=[00306060300];yv=[03060603000];

fill（xv,yv,

'b'

）;

hold

on;

plot（x,y0,

'r'

y0,x,

'r'

x,y60,

'r',y60,x,

'r'）;

plot（x1,y1,

'r'

x2,y2,

'r'

）;

yr=unifrnd（0,60,2,100）;

plot（yr（1,:

）,yr（2,:

）,

'm.'

）

axis（

'on'

）;

axis（

'square'

）;

axis（[-2080-2080]）;

1

2.排列组合

C=nchoosek（n,k）：

CCnk，例nchoosek（5,2）=10,nchoosek（6,3）=20.

prod（n1:

n2）：

从n1到n2的连乘

【例】最少有两个人寿辰相同的概率

n!

CNn

N!

（N

n）!

N

（N

1）

（Nn

1）

公式计算p1

1

1

Nn

Nn

Nn

365364（365

rs

1）

365

364

365

rs1

1

365rs

1

365

365

365

rs=[20,25,30,35,40,45,50];%每班的人数

p1=ones（1,length（rs））;

p2=ones（1,length（rs））;

%用连乘公式计算

fori=1:

length（rs）

p1（i）=prod（365-rs（i）+1:

365）/365^rs（i）;

end

%用公式计算（改进）

fori=1:

length（rs）

fork=365-rs（i）+1:

365

p2（i）=p2（i）*（k/365）;

end;

end

%用公式计算（取对数）

fori=1:

length（rs）

2

p1（i）=exp（sum（log（365-rs（i）+1:

365））-rs（i）*log（365））;

end

p_r1=1-p1;

p_r2=1-p2;

Rs=[20253035404550]

P_r=[0.41140.56870.70630.81440.89120.94100.9704]

二、随机数的生成

3.平均分布随机数

rand（m,n）;产生m行n列的（0,1）平均分布的随机数

rand（n）;产生n行n列的（0,1）平均分布的随机数

【练习】生成（a,b）上的平均分布

4.正态分布随机数

randn（m,n）;产生m行n列的标准正态分布的随机数

【练习】生成N（nu,sigma.^2）上的正态分布

5.其他分布随机数

函数名

调用形式

注

释

Unidrnd

unidrnd（N,m,n）

平均分布（失散）随机数

binornd

binornd（N,P,m,n）

参数为N,p

的二项分布随机数

Poissrnd

poissrnd（Lambda,m,n）

参数为Lambda的泊松分布随机数

geornd

geornd（P,m,n）

参数为p的几何分布随机数

hygernd

hygernd（M,K,N,m,n）

参数为M，K，N的超几何分布随机数

Normrnd

normrnd（MU,SIGMA,m,n）

参数为MU，SIGMA的正态分布随机数，

SIGMA是标准差

Unifrnd

unifrnd（A,B,m,n）

[A,B]上平均分布（连续）随机数

Exprnd

exprnd（MU,m,n）

参数为MU的指数分布随机数

chi2rnd

chi2rnd（N,m,n）

自由度为N的卡方分布随机数

Trnd

trnd（N,m,n）

自由度为N的t

分布随机数

Frnd

frnd（N1,N2,m,n）

第一自由度为

N1,第二自由度为N2的F分布随机数

gamrnd

gamrnd（A,B,m,n）

参数为A,B

的分布随机数

betarnd

betarnd（A,B,m,n）

参数为A,B

的分布随机数

lognrnd

lognrnd（MU,SIGMA,m,n）

参数为MU,SIGMA的对数正态分布随机数

nbinrnd

nbinrnd（R,P,m,n）

参数为R，P的负二项式分布随机数

ncfrnd

ncfrnd（N1,N2,delta,m,n）

参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数

nctrnd

nctrnd（N,delta,m,n）

参数为N，delta

的非中心t分布随机数

ncx2rnd

ncx2rnd（N,delta,m,n）

参数为N，delta

的非中心卡方分布随机数

raylrnd

raylrnd（B,m,n）

参数为B的瑞利分布随机数

weibrnd

weibrnd（A,B,m,n）

参数为A,B

的韦伯分布随机数

3

三、一维随机变量的概率分布

1.失散型随机变量的分布率

（1）0-1分布

（2）平均分布

（3）二项分布：

binopdf（x,n,p），若X~B（n,p），则P{Xk}Cnkpk（1p）nk，

x=0:

9;n=9;p=0.3;

y=binopdf（x,n,p）;

plot（x,y,'b-',x,y,'r*'）

y=[0.0404,0.1556,0.2668,0.2668,0.1715,0.0735,0.0210,0.0039,0.0004,0.0000]

‘当n较大时二项分布近似为正态分布

x=0:

100;n=100;p=0.3;

y=binopdf（x,n,p）;

plot（x,y,'b-',x,y,'r*'）

4

（4）泊松分布：

piosspdf（x,lambda），若X~

ke

（），则P{Xk}

k!

x=0:

9;lambda=3;

y=poisspdf（x,lambda）;

plot（x,y,'b-',x,y,'r*'）

y=[0.0498,0.1494,0.2240,0.2240,0.1680,0.1008,0.0504,0.0216,0.0081,0.0027]

（5）几何分布：

geopdf（x,p），则P{Xk}p（1p）k1

y=geopdf（x,p）;

plot（x,y,'b-',x,y,'r*'）

y=[0.3000,0.2100,0.1470,0.1029,0.0720,0.0504,0.0353,0.0247,0.0173,0.0121]

CMkCNnkM

（6）超几何分布：

hygepdf（x,N,M,n），则P{Xk}

CNn

5

x=0:

10;N=20;M=8;n=4;

y=hygepdf（x,N,M,n）;

plot（x,y,'b-',x,y,'r*'）

y=[0.1022,0.3633,0.3814,0.1387,0.0144,0,0,0,0,0,0]

2.概率密度函数

1

a

xb

（1）

平均分布：

unifpdf（x,a,b），f（x）b

a

0

其他

a=0;b=1;x=a:

0.1:

b;

y=unifpdf（x,a,b）;

1

1

2

（2）

正态分布：

normpdf（x,mu,sigma），f（x）

e22（x）

2

x=-10:

0.1:

12;mu=1;sigma=4;

y=normpdf（x,mu,sigma）;

rn=10000;z=normrnd（mu,sigma,1,rn）;%

产生10000个正态分布的随机数

d=0.5;a=-10:

d:

12;

b=（hist（z,a）/rn）/d;%以a为横轴，求出10000个正态分布的随机数的频率plot（x,y,'b-',a,b,'r.'）

（3）指数分布：

exppdf（x,mu），f（x）

1e

0

1

x

axb

其他

x=0:

0.1:

10;mu=1/2;

6

y=exppdf（x,mu）;

plot（x,y,'b-',x,y,'r*'）

1

n

1

（4）

2分布：

chi2pdf（x,n），f（x;n）2n2

x2

（n2）

0

holdon

x=0:

0.1:

30;

n=4;y=chi2pdf（x,n）;plot（x,y,'b'）;%bluen=6;y=chi2pdf（x,n）;plot（x,y,'r'）;%red

n=8;y=chi2pdf（x,n）;plot（x,y,'c'）;%cyann=10;y=chi2pdf（x,n）;plot（x,y,'k'）;%blacklegend（'n=4','n=6','n=8','n=10'）;

（（n

1）2）

x2

（5）t分布：

tpdf（x,n），f（x;n）

（n2）

1

n

n

holdon

x=-10:

0.1:

10;

n=2;y=tpdf（x,n）;plot（x,y,'b'）;%bluen=6;y=tpdf（x,n）;plot（x,y,'r'）;%redn=10;y=tpdf（x,n）;plot（x,y,'c'）;%cyan

e2

n1

2

x0

x0

7

n=20;y=tpdf（x,n）;plot（x,y,'k'）;%black

legend（'n=2','n=6','n=10','n=20'）;

n1

n12

n1

n2

2

2

（6）F分布：

fpdf（x,n1,n2），f（x;n1,n2）

（（n1

n2）2）n1

x2

1

n1

x

x0

（n12）

（n22）n2

n2

0

x0

holdon

x=0:

0.1:

10;

n1=2;n2=6;y=fpdf（x,n1,n2）;plot（x,y,'b'）;%blue

n1=6;n2=10;y=fpdf（x,n1,n2）;plot（x,y,'r'）;%red

n1=10;n2=6;y=fpdf（x,n1,n2）;plot（x,y,'c'）;%cyan

n1=10;n2=10;y=fpdf（x,n1,n2）;plot（x,y,'k'）;%black

legend（'n1=2;n2=6','n1=6;n2=10','n1=10;n2=6','n1=10;n2=10'）;

3.分布函数F（x）P{Xx}

【例】求正态分布的累积概率值

设X~N（3,22），求P{2X5},P{4X10},P{X2},P{X3}，

p3=1-（normcdf（2,3,2）-normcdf（-2,3,2））=

8

4.逆分布函数，临界值yF（x）P{Xx}，xF1（y），x称之为临界值

【例】求标准正态分布的累积概率值

y=0:

0.01:

1;

x=norminv（y,0,1）;

【例】求

2（9）分布的累积概率值

hold

off

y=[0.025,0.975];

x=chi2inv（y,9）;

n=9;

x0=0:

0.1:

30;y0=chi2pdf（x0,n）;

plot（x0,y0,

'r'

）;

x1=0:

0.1:

x

（1）;y1=chi2pdf（x1,n）;

x2=x

（2）:

0.1:

30;y2=chi2pdf（x2,n）;

hold

on

fill（[x1,x

（1）],[y1,0],

'b'

）;

fill（[x

（2）,x2],[0,y2],

'b'

）;

5.数字特色

函数名

调用形式

注

释

sort

sort（x）,sort（A）

排序,x是向量，A是矩阵，按各列排序

sortrows

sortrows（A）

A是矩阵，按各行排序

mean

mean（x）

向量x的样本均值

var

var（x）

向量x的样本方差

std

std（x）

向量x的样本标准差

median

median（x）

向量x的样本中位数

geomean

geomean（x）

向量x的样本几何平均值

harmmean

harmmean（x）

向量x的样本调停平均值

range

range（x）

向量x的样本最大值与最小值的差

9

skewness

skewness（x）

向量x的样本偏度

max

max（x）

向量x的最大值

min

min（x）

向量x的最小值

cov

cov（x）,cov（x,y）

向量x的方差，向量

x,y的协方差矩阵

corrcoef

corrcoef（x,y）

向量x,y的相关系数矩阵

10

【练习】二项分布、泊松分布、正态分布

（1）对n10,p0.2二项分布，画出b（n,p）的分布律点和折线；

（2）对np，画出泊松分布（）的分布律点和折线；

（3）对np,2np（1p），画出正态分布N（,2）的密度函数曲线；

（4）调整n,p，观察折线与曲线的变化趋势。

11

【练习】股票价格的分布

已知某种股票现行市场价格为100元/股，假设该股票每年价格增减是以呈20%与

-10%两种状态，

（1）求n10年后该股票价格的分布，画出分布律点和折线；

（2）求n年此后的平均价格，画出平均价格的折线。

a=[1.2,1.2^2,1.2^3,1.2^4,1.2^5,1.2^6,1.2^7,1.2^8,1.2^9,1.2^10];

b=[0.9^10,0.9^9,0.9^8,0.9^7,0.9^6,0.9^5,0.9^4,0.9^3,0.9^2,0.9];

x=100*a.*b;

m=1:

10;

n=10;p=0.4;

y=binopdf（m,n,p）;

plot（x,y,'b-',x,y,'r.'）

x2=x.*y

x3=geomean（x2）

x4=[x3,x3];

y4=[0,0.3];

holdon

plot（x4,y4,'b-'）

12

【练习】条件密度函数

设数X在（0,1）上随机取值，当观察到Xx,（0x1）时，数Y在区间（x,1）上随机取值，

（1）

求Y的密度函数fY（y），画出密度函数曲线；

（2）模拟该过程，产生n10000个随机数X，在依照每个X的值，产生一个随机数Y（共有n10000），画出Y的样本密度曲线。

【练习】二项分布、正态分布、切比雪夫不等式

在每次实验中，事件A发生的概率是，求在1000次独立实验中，事件A发生的次数在475~525之间的概率。

（1）用二项分布公式精确计算；

（2）用正态分布近似计算；（3）用切比雪夫

不等式进行估计。

>k=475:

525;

y=0.5.^k.*0.5.^（1000-k）;

>>sum（y）ans=

13

（2）

y1=normrnd（500,sqrt（250）,1,1000）;

j=0;

fork=1:

1000;

ify1（k）>=475&&y1（k）<=525

j=j+1;

end;

end;

m=j/1000

m=

（3）

y1=binornd（1000,0.5,1,1000）;

y2=ones（1,1000）;

fork=1:

1000;

y2（k）=（y1（k）-500）^2;

end;

y=sum（y2）/25^2/1000

y=

14

【练习】正态分布

对正态分布的3

法规进行演示，设X~N（

2）

N（1,22），

（1）画出其密度函数曲线fX（x）；

（2）分别对

，2,

2，

3,

3进行填充；（3）分别求出随机变量X

落在这三个区间内的概率；（4）产生n10000个随机数，计算其分别落在这三个区间的频率。

x=rand（1,10000）;

fork=1:

10000;

y=x（k）+（1-x（k））.*rand（1,10000）;

end

x1=0.05:

0.05:

1;

fork=0;j=1:

20;

fori=1:

10000;

k=k+1;

end;

end;

p1（j）=k/1000;

end;

15

plot（x1,p1,'b-'）

16