三角形旋转 2汇总.docx
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三角形旋转 2汇总.docx
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三角形旋转2汇总
如图,△ABC内接于⊙O,点D在半径OB的延长线上,∠BCD=∠A=30°。
若⊙O的半径长为1,求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积【结果保留π和根号】。
连接OB
∵∠A=30°
∴∠BOC=60°
∵OB=OC
∴∠OBC=60°
∵∠BCD=30°
∴∠D=30°
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°
∴CD与⊙O相切
阴影的面积=S△OCD-扇形OCB的面积
∵∠D=30°
∴DC=√3
S△OCD=1X√3X1/2=√3/2
扇形OCB的面积=1/6S⊙O=1/6π
∴阴影的面积=√3/2-1/6π
(2013•毕节地区)四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
(1)求证:
△ADE≌△ABF;
(2)填空:
△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
(1)证明:
∵AD=AB,DE=BF,∠ABF=∠ADE,∴△ADE≌△ABF;(SAS)
(2)△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A,按顺时针方向旋转90度得到;
(3)AD=BC=8,DE=6,∴AE=10(勾股数)
∵△ADE≌△ABF,∴AF=AE=10,∠DAE=∠BAF,
∴∠DAE+∠EAB=∠BAF+∠EAB=∠DAB=90°,
∴S△AEF=AF•AE/2=10×10/2=50
等式的基本性质是什么?
性质1.“等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立”
性质2.“等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0),等式仍然成立”
性质的应用:
去分母、移项的依据是等式的性质1;
系数化为一的依据是等式的性质2;
去括号的依据是乘法分配律
合并同类项的依据是乘分配律的逆用【 1.所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。
2.合并同类项就是把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
(几个常数项也是同类项)3.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数之和,且字母连同它的指数不变。
字母不变,系数相加减。
】
移项:
按照等式基本性质,移项要变号,譬如1+5x=3x-3移项:
5x-3x=-3-1(注意这儿的变号)合并同类项:
(5-3)x=-(3+1)2x=-4
2.(2013•恩施州)如图所示,在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动,当点A离开原点后第一次落在x轴上时,点A运动的路径线与x轴围成的面积为( )
分析:
画出示意图,结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积.
解答:
解:
如图所示:
点A运动的路径线与x轴围成的面积=S1+S2+S3+2a=
90π×12
360
+
90π×(
2
)2
360
+
90π×12
360
+2×(
1
2
×1×1)=π+1.
故选C.
点评:
本题考查了扇形的面积计算,解答本题如果不能直观想象出图形,可以画出图形再求解,注意熟练掌握扇形的面积计算公式.
1.一块草地是长为100米,宽为80米的矩形,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x米的小路,这时草坪面积变为y平方
长向小路面积100X
宽向小路面积80X-X²
Y=100×800-100X-80X-X²
(2013•昆明)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?
设道路的宽为x米,则可列方程为( C )
A.100×80-100x-80x=7644
B.(100-x)(80-x)+x2=7644
C.(100-x)(80-x)=7644
D.100x+80x=356
1.如图,已知点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是半价ON上的动点,若⊙O半径为1,试求AP+BP的最小值。
解析:
先找出点B关于ON对称的对称点B',AP+BP的最小值就是AB'的长度。
解:
如图
∵A是半圆上一个三等分点
∴∠AON=360°÷2÷3=60°
又∵点B是弧AN的中点,B关于ON对称的对称点是B'。
∴∠BON=∠B'ON=1/2∠AON=1/2×60°=30°
∴∠AOB'=∠AON+∠B'ON=60°+30°=90°
有勾股定理得:
AB’²=AO²+B'O²=1+1=2
得:
AB’=√2
所以:
AP+BP的最小值是√2。
附件:
2.圆锥形的稻谷,垂直高度CO为4倍的根号2m,底面圆0的直径AB=4m,B处有一小猫想去捕捉母线AC中点D处的老鼠,求出小猫绕侧面前行的最短距离
母线AC中点D处的老鼠,求出小猫绕侧面前行的最短距离.
考点:
圆锥的计算;平面展开-最短路径问题.
专题:
计算题.
分析:
求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题,转化为平面上两点间的距离的问题.根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知,展开图是半径是6的半圆.点B是半圆的一个端点,而点P是平分半圆的半径的中点,根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离,就是这只小猫经过的最短距离.
解:
由图可知,
,
侧面展开是一个扇形.
=2π2n=120°,
∴∠A1CB=60°△A1CB是正三角形,
由D1是A1C的中点
∴BD1⊥A1C,CD1=3,BD1=
∴小猫前行的最短距离是
m.
故答案为:
3
m.
点评:
本题考查了圆锥的计算,正确判断小猫经过的路线,把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键.
另解:
将圆锥沿着母线AC剪开,则最短路径在展开图中就是线段BD.如图所示.
用勾股定理可求母线L=6 米
弧长=底面圆周长
2πLn/360=2π2
n=120度
则n/2=60度
用勾股定理解直角三角形AED和DEB
得0E=1.5
BE=4.5
DE=1.5√3
BD=5.2米
3.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同),其中红球2个(分别标有1号、2号),篮球1个。
若从中任意摸出一个球,它是篮球的概率为
。
(1)求袋中黄球的个数;
(2)第一次任意摸出一个球(不放回),第二次再摸出一个球,请用画树状图或列表格的方法,求两次摸到不同颜色球的概率。
解:
(1)设袋中黄球的个数为x个,
=
∴x=1
∴袋中黄球的个数为1个;
(2)方法一、列表如下
∴两次摸到不同颜色球的概率为:
。
方法二,画树状图如下:
4.如图,边长为2的正六边形ABCDEF在直线l上按顺时针方向作无滑动的翻滚。
(1)当正六边形绕点F顺时针旋转__________度时,A落在点A1位置;
(2)当点A翻滚到点A2的位置时,求点A所经过的路径长
5.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2。
【小题1】求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
【小题2】P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
【小题3】点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由。
【小题1】令y=0,解得
或
∴A(-1,0)B(3,0);
将C点的横坐标x=2代入
得y=-3,∴C(2,-3)-----(3分)
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
【小题2】设P点的横坐标为x(-1≤x≤2不写扣分)
则P、E的坐标分别为:
P(x,-x-1),E
∵P点在E点的上方,PE=
∴当
时,PE的最大值=
【小题3】由
(2)知,C点到x轴的距离为3,分别过(0,3),(0,-3)作y轴的垂线与抛物线交于点G(如图),
①把y=3代入y=x2-2x-3中,得x=1±√7,∴G(1+√7,3)或G(1-√7,3)
∵GF∥AC,设直线GF的函数表达式为y=-x+m,把G点坐标代入,得m=4±√7,
∴F(4+√7,0)或F(4-√7,0)
②把y=-3代入y=x2-2x-3中,得x=0或x=2,∴G(0,-3)
∵GC∥AF,GC=AF,且∴F(2,0)
存在4个这样的点F,分别是
1.三角形ABC中角CAB等于70在同一平面内将三角形ABC绕点A旋转到三角形AB'C'的位置使CC'平行于AB,则
∵CC'∥AB,∴∠C'CA=∠CAB=70°又∵AC=AC',∴∠AC'C=∠ACC'=70°,∴∠CAC'=40°,∴∠BAB'=40°
2.如图,把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转180°后,重叠部分的面积为( B)
A.
B.
C.
D.
根据等边三角形的特殊性,重叠部分为正六边形,四周空白部分的小三角形是等边三角形,从而得出重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差.
解答:
解:
根据旋转的意义,图中空白部分的小三角形也是等边三角形,且边长为1,面积是△ABC的
1
9
.
仔细观察图形,重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差,
△ABC的面积是
9
3
4
,一个小等边三角形的面积是
3
4
,所以重叠部分的面积是
3
2
3
.
故选B.
点评:
本题考查了图形的旋转变化,三角形面积的求法,难度不大,但容易错
题考查旋转的性质:
旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.
要注意旋转的三要素:
①定点-旋转中心;②旋转方向;③旋转角度.
3.
如图,一块含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位置,若
AC=15cm那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为A
[ ]
A.
B.
C.
D.
图形旋转性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转对称中心
把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后,与原来的图形相吻合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角。
(旋转角大于0°小于360°)
1、通常,一个三角形ABC旋转都是围绕一个边旋转,不妨设围绕AB边旋转。
情况1,过C点作AB边上的高CD,如果这个高CD在三角形内部,那么转所扫过的体积是两个圆锥的体积之和,两圆锥的底面相同,半径都是CD,一个圆锥高是AD,另一个高是BD,V=(1/3)派CD^2AD+(1/3)派CD^2BD=(1/3)派CD^2AB=(2/3)SCD,其中S是三角形面积情况2,过C点作AB边上的高CD,如果这个高CD在三角形外部,那么转所扫过的体积是两个圆锥的体积之差,两圆锥的底面相同,半径都是CD,不妨设D在BA延长线上,则一个圆锥高是AD,另一个高是BD,V=(1/3)派CD^2BD-(1/3)派CD^2AD=(1/3)派CD^2AB=(2/3)SCD,其中S是三角形面积
综上两种情况:
V=(2/3)*三角形面积*旋转轴边上的高
2、 (2012•长清区模拟)一个直角三角形,如果绕着它的一条直角边旋转,就可以形成圆锥体.如果两条直角边的长度不等,那么,分别绕着每个直角边旋转所形成的圆柱体的形状也是不相同的.如图示意:
绕着较长直角边旋转与绕着较短直角边旋转所形成的圆锥体的体积是不是一样大?
如果不一样大,那么,在哪种旋转方式下体积较大一些呢?
考点:
圆锥的体积.
专题:
立体图形的认识与计算.
分析:
此题可以赋值法进行分析:
假设直角三角形的两条直角边,一个是3分米,一个是4分米,根据题干可得,旋转后得到的两个图形分别是底面半径为3分米,高为4分米和底面半径为4分米,高为3分米的圆锥,这里就是利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积即可解决问题.
解答:
解:
假设直角三角形的两条直角边,一个是3分米,一个是4分米,
①底面半径为3分米,高为4分米的圆锥的体积为:
1
3
×3.14×32×4=37.68(立方分米),
②底面半径为4分米,高为3分米的圆锥的体积为:
1
3
×3.14×42×3=50.24(立方分米),
因为50.24>37.68,所以绕着较短直角边旋转所形成的圆锥体的体积大;
答:
绕着较长直角边旋转与绕着较短直角边旋转所形成的圆锥体的体积不一样大,如果不一样大,绕着较短直角边旋转所形成的圆锥体的体积大.
点评:
根据题干得出旋转后的图形是两个圆锥,是解决本题的关键,这里也考查了圆锥的体积公式的计算应用.
3、直角三角形绕它最长(斜边)旋转一周得到的几何图形是什么?
两个底面合在一起的圆锥
找2个同底同高的圆锥和圆柱
往圆锥中填满沙子,将沙子倒入圆柱,会发现只占圆柱体积的1/3,
就是这样通过实验求出来的
一个直角三角形以一条直角边为轴顺时针或逆时针旋转一周,经过的空间叫圆锥体。
根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:
V=1/3Sh(V=1/3SH)
S是底面积,h是高,r是底面半径。
相似三角形
一、相似三角形的判定定理:
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:
两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:
三边对应成比例,两个三角形相似.)
直角三角形相似的判定定理:
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
二、相似三角形的性质定理:
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
注意:
相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2
三角形重心性质定理
1.三角形重心性质定理
课本原题(人教八年级《数学》下册习题19.2第16题)
在△ABC中,BD、CE是边AC、AB上的中线,BD与CE相交于O。
BO与OD的长度有什么关系?
BC边上的中线是否一定过点O?
为什么?
(提示:
作BO中点M,CO的中点N。
连接ED、EM、MN、ND)
分析:
三角形三条中线的交点是三角形的重心(第十九章课题学习《重心》)。
这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质:
三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分,其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
证法1:
(根据课本上的提示证明)
取GA、GB中点M、N,连接MN、ND、DE、EM。
(如图1)
∵MN是△GAB的中位线,∴MN∥AB,MN=
AB
又ED是△ACB的中位线,∴DE∥AB,DE=
AB
∴DE∥MN,DE=MN,四边形MNDE是平行四边形
∴GM=GD,又AM=MG,则AG=2GD
同理可证:
CG=2GF,BG=2GE
点评:
证法1是利用中点构造三角形中位线,从而得到平行四边形,再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
证法2:
延长BE至F,使GF=GB,连接FC。
∵G是BF的中点,D是BC的中点
∴GD是△BFC的中位线,GD∥FC,GD=
FC
由GD∥FC,AE=CE,易证△AEG≌△CEF
∴AG=FC,即GD=
AG
点评:
利用线段中点,还可以将与线段中点有关的线段倍长,构造全等,从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
证法3:
取EC中点M,连DM,利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。
(证明过程略)
2.三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1 如图3所示,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D是斜边AB的中点,当G是Rt△ABC的重心,GE⊥AC于点E,若BC=6cm,则GE= cm。
解:
Rt△ABC中,∠A=30°,BC=6 ∴AB=BC=12,
D是斜边AB的中点,∴CD=
AB=6
G是Rt△ABC的重心,∴CG=
CD=4
由CD=AD,∠A=30°,∠GCE=30°
Rt△GCE中,∠GCE=30°,CG=4,∴GE=
CG=2(cm)
⑵求面积
例2 在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,若△BOD的面积等于5,求△ABC的面积。
解:
∵O是△ABC的重心,
∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2S△BOD=10
∴S△ABD=S△AOB+S△BOD=10+5=15
又AD是△ABC的中线
S△ABC=2S△ABD=30。
练习:
1.如图5,△ABC中,AD是BC边上的中线,G是重心,如果AG=6,那么线段DG= 。
2.如图6,在△ABC中,G是重心,点D是BC的中点,若△ABC的面积为6cm2,则△CGD的面积为 。
(不会做)在菱形ABCD中,AE,AF分别垂直平分BC,CD与E,F,则∠EAF=
连接AC,
∵AE垂直平分边BC,
AC=AB,(垂直平分线性质:
垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
)
∵菱形ABCD,
∴AB=BC,
∴AC=AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠BCD=120°,
又∵AF垂直平分边CD,
∴在四边形AECF中,∠EAF=180°-120°=60°.
垂直平分线相关知识
一、垂直平分线定义
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)(英文:
perpendicularbisector)。
线段的
垂直平分线,简称“中垂线”,是初中几何学科中非常重要的一部分。
二、垂直平分线性质
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
逆定理:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心(circumcenter),并且这一点到三个顶点的距离相等。
(此时以外心为圆心,外心到顶点的长度为半径,所作的圆为此三角形的外接圆。
)
三、垂直平分线逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
图式
如图:
直线MN即为线段AB的垂直平分线。
注意:
要证明一条线为一个线段的垂直平分线,应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
通常来说,垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法:
点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
相似三角形应用:
矩形ABCD,AB=3,AD=4,以AD为直径作半圆,M为BC上一动点,可与B、C重合,AM交半圆于N,设AM=x,DN=y,求出y关于自变量x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围。
N在圆周上,所以∠DNA=90°。
∠BAM+∠NAD=90°=∠NAD+∠NDA,所以∠BAM=∠NDA。
故△BAM∽△NDA。
进而AM:
AB=AD:
ND,即x/3=4/y。
y=12/x。
3≤x≤5.
以下为九年级题目
1.如图,若正方形ABCO的各顶点的坐标为A(-2,0),B(-2,-2),C(0,-2),O(0,0),把正方形沿OP对折,使点A落在对角线OB上的E处,折痕交AB于E,试求△EPO的面积.
考点:
翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质;勾股定理.
专题:
几何图形问题.
分析:
由已知可得AO=AB=2,可求得OB的大小,根据折叠,找到相等的量,利用OB列出方程可得到AP的大小,从而求得三角形的面积.(转移法:
转移对折线段)
解答:
解:
∵A(-2,0),B(-2,-2),
∴AO=AB=2,
∴OB=
AO2+AB2
(根号)=
22+22
=2
2
,
设AP=x,OP为折痕,
∴PE=AP=x,OE=AO=2,∠OAP=∠PEO=90°,
OB为对角线,
∴∠2=45°,
∴∠1=∠2=45°,
BE=PE=x,
∴x+2=2
2
(根号2),
∴x=2
2
-2,
∴△EPO的面积为:
1
2
×2×(2
2
-2)=2
2
-2.
点评:
本题考查了翻折问题、坐标与图形的性质及勾股定理;找着相等的角、相等的边是正确解答本题的关键
2.如图,A(-1,6)是双曲线y=k/x(x<0)上的一点,p为y轴正半轴上一点,将A点绕P点逆时针旋转90度,恰好落在双曲线另一点B,求P点坐标。
解:
此题为全等的题。
设p点坐标为(0,b)
如图:
全等的两个三角形。
BN=6-b
NO=6-b+1=7-b
B点在双曲线上,所以(6-b)(7-b)=6
解得b=4或b=-9
正半轴,所以b=4
2.如图,A(2,3)是双曲线y=
k
x
(x>0)上的一点,P为x轴正半轴上一点,将A点绕P点顺时针旋转90°,恰好落在双曲线上的另一点B,则P点的坐标为(3,0)
解:
分别过A、B两点作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足为C、D,设PC=a,
∵∠APB=90°,∴∠APC+∠BPD=90°,
又∠APC+∠PAC=90°,
∴∠PAC=∠BPD,
在△APC和△PBD中,∵
∠PAC=∠BPD
∠ACP=∠PDB=90°
AP=PB
,
∴△APC≌△PBD,
∴CP=BD=a,AC=PD=3,
则B(a+5,a),
∵A、B两点在双曲线y=
k
x
上,∴(a+5)a=2×3,
解得a=1或-6(舍去),
则P(3,0),
故答案为:
(3,0).
分析:
分别过A、B两点作x轴的垂线AC,BD,由旋转的性质证明△APC≌△PBD,设PC=a,根据A的坐标,表示B点坐标,由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积相等(xy=k),列方程求a的值,确定P点坐标.
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