固体物理胡安课后答案docx.docx

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第一章晶体的结构及其对称性

1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。

为什么？

作出这一结构所对应的两维点阵和初基元：

解：

石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。

因为厂.；\.如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A-B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。

1.2在正交直角坐标系中，若矢量R=l1i+/2j+l3k,i,j,k为单位向量。

L（i=1,2,3）为整数。

问下列情况属于什么点阵?

（a）

当L为全奇或全偶时；

（b）当％之和为偶数时。

解：

ffff

R,=l,a,+la+La.,、

--化,12,I3=0,±l,±2...）

=lj+I?

j+/3k

当l为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当11+12+13之和为偶数时是面心立方结构

1.3在上题中若l1+12+13=奇数位上有负离子，l1+12+l3=偶数位上有正离子，问这一离子晶体属于什么结构？

解：

是离子晶体，属于氯化钠结构。

1.4（a）分别证明，面心立方（fee）和体心立方（bcc）点阵的惯用初基元胞

三基矢间夹角相等，对fee为亦，对bee为L

（b）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。

证明任意两条

解：

（1）对于面心立方

=+k）

9

s

a

3

l=laJ=la3I=亍

（%1

COS（a1-a2）=|

a1||a2|

COS（a2-a3）—

缶||。

3|

1-

-—60

2

COS（a,-a3）—60

（2）对于体心立方

ai-—（-i+j+k）

a2——（i-j+k）

a3-：

（i+j-k）

1—129z/

3

1=129z/

3

ai|—|a2]—|a3]—

COS（a1-a2）=|

a1||缶|

/——a.

COS（a1-（13）

|句|妇

COS（a2-a3）—129z/

（3）对于金刚石晶胞

a（，-j-k）

42

COSh"I|〃1||〃2「9a2

42

<緝广们“>=10T27,

1.5证明：

在六角晶系中密勒指数为面族间距为

证明:

元胞基矢的体积

a-ai

b=-acos60z+cosjuj

1

ai

7、

ai+

22

0

0

2

a

=ck

2

—»*

2兀[bxc]

"2兀

a=

Q

a

—»*

2^[cxa]

4"・

b=

Q

3,

一*

2砰axb]

2兀

c=

Q

c

c

倒格子基矢

k

（lrj）

—j

a

倒格矢:

Ghki=h

+kb

+lc

晶面间距

dhkl

ha+kb+lc

\Ghk\

ha*+kb*+lc*

+k2b*2+1

2c*2

+2hk（a-b）+2kl（b-c）+2hl（a-c

a-b

=0

=0

-c

2

2

3

a

a

4（宜+—

3

k2+4‘宜

3

h2

1

2

-r

4C绍

hk

1.6证明：

底心正交的倒点阵仍为底心正交的。

证明：

简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图：

iUU

ai—axa2——xH—y

22

初级晶胞体积：

匕—abc

c2

a3—cz

兀2兀4兀5兀

m—0,0———,,,—

3333

—xy

ab

倒易点阵的基矢：

b]=^~CI3=

1v23

c

—一►—►

b=%x%—y

VcC

J八-*■—*

b：

=0x%=Z

3V12c

C

这组基矢确定的面是正交底心点阵

1.7证明：

正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。

证明：

倒易点阵初级元胞的体积：

Vc是初基元胞的体积

Vc=bi•（b2xb3）

「J八—*—「Xv/V-*—►「Xv/i/-*—*

b]=口2X口3^2-口3X口1b.=Q]X口2

"c'c"c

Vc—"（缶X%）而

b2xb3

a3xa]）x（aixa2）

a3xai）•a2jaia3xai）•aija2]

（AxB）x（CxD）—[（AxB）•DjC-[（AxB）•CjD

而V—（a3X0]）%

c

xa）a2~ja】

由于（a3xa）a—。

bi（b2xb

）=

a】

（2^）3

或:

bi（b2xb3）二

在证明：

a1=2n罕由

b1•奶2xb3）

1.8

乂b?

Xb3

a,

V1

c

C\=2兀一—b1-0Xb3）

=In

（2n）2

a〔

V

c

b1・（b2Xb3）

又：

b〔.（b2xb3）=uJ-代入

c1=

C3

a】

（2n）3

=C11同理

（b3xb1）

V

驾=2nf=

b1-（b2Xb3）

（1xb2）=a

（--=a3

（b2xb3丿

bixb2

2n二

b1-（b2Xb3

从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。

解：

AB'=2a|cos6|=

ma

m

cos6=—<1

I2

n3nn2n4n5n

m=0,6=——,m=1,6=——,,,—

223333

m=2,6=n,2n

1.9试解释为什么:

（a）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。

（b）立方晶系中没有底心立方点阵。

（c）六角晶中只有简单六角点阵。

解：

（a）因为四方晶系加底心，会失去4次轴。

（b）因为立方晶系加底心，将失去囲禁3次轴。

（c）六角晶系加底心会失去6次轴。

1.10证明：

在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l）的衍射强度为'|fA+fB|2,当（h,k,l）为偶数时l/f-fj，当（h,k,l）为奇数时

0,其它情况

其中fA、fB分别为正负离子的散射因子。

如何用此结果说明KCL晶体中h,k,l均为奇数的衍射消失？

证明：

Nacl初基原胞中有Na+和C「两种离子。

r:

A（0,0,0）B（1,1,1}A、B分别代表:

七"和-。

，'222丿

因此几何结构因子：

F（h1,h2,h3）=Zfe-2"2*吗"3）

2—笫（h1*h*h）

=fA+fBe2

=fA+fB,h1+h2+h3为偶

ifA-fB,h1+h2+h3为奇

射强度：

I次|F（h1h2h3）|2，对于九+h2+h3为奇数的衍射面fA=fB则会消光。

1.11试讨论金刚石结构晶体的消光法则。

解：

金刚石结构中，金刚石单胞有8个碳原子，坐标为：

（0,0,0）,f1,1,0111,0,1],[0,1,1]j1,1,13,3,3],[3,3,1],[3,1,3],[1,3,3

22八22八22丿1444丿{444八444八444丿{444

几何结构因子Fhkl=zfe_2刊叫*h2七2*h3）

Fhkl=f{

1+exp[一inn（h+k）]

+exp[一inn（k+l）]+exp[一inn（l+k）]}

+f（exp一inn—（h+k+l）}.

exp

+exp[一inn（k+/）]+exp[一in（l+h）]

Fhkl

=f<1+exp-in-（h+k+l）-isin^^（h+k+1）}{1

+cosnn（h+k）+cosnn（k+l）}

-ocF2=Ifhklhklhkl—'hkl

1+cos（h+k+l）

2

+sin

2

in2呸（h+k+l），

衍射强度不为零：

（1）nhnknl都为基数。

（2）nhnknl都为偶数（包括零），且1（nh+nk+nl）也为偶数。

如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3,2,1）或（2,2,1）的一级衍射斑，也不可能有（4,4,2）这样的二级衍射斑点。

1.12

证明：

在倒易空间中，当［落于一倒格矢；垂直平分面上时，发生布拉格

反射。

证明：

当波矢满足k+kh

=k2时有

♦,♦令k=k+kh

...K刚好是kh中垂直面的反射波。

9-77-

又d1=

khl

I-*

由图知：

Ld=ksin0=-^-sin0

2人

/.2dsin0=m人（其中kh=mkh）D-sE

1.13试证明：

具有四面体对称性的晶体,

其介电常数为一标量介电常量:

证明：

由D^sE

£ii

£21

、£31

£12

£22

£32

£13

£23

£33丿

各物理量在新旧坐标中：

D'=£E'p=ADE=AE

D=A「％AE=A+sAE（由于对称操作D=sE'}

s=A-1sA=A+sA

100

Ax是绕X（a）轴转动90°是一个对称的操作Ax=001

0-10

■00-「

Ay是绕Y（b）轴转动90°也是一个对称操作Ay=010

100

土00、

将冬代入s'=A+sAE=0$22$23

、0—S23S33丿

Si00、

再将冬和&代入s'=A+sAs=0Si0

、00Si丿

1.14若.-：

土的立方结构如图所示，设=原子的散射因子为L，B原子的散射因子

为，

（a）求其几何结构因子Fhkl=?

（b）找出（h,k,l）晶面族的X光衍射强度分别在什么情况下有

（c）设fA=fB,问衍射面指数中哪些反射消失？

试举出五种最简单的。

解：

-：

土结构中，单胞中含有3个B原子，1个A原子。

Fhkl

-2m（hxj1+kxj2

+lxj3）

取A（0,0,0）B［丄,丄,0、］丄,0,丄丫0,丄,丄、

22八22八22丿

Fhkl=fA+fB（e「‘咁+k）+e—"（k+1）+e—"（h+1））

当h+k与h+l,k+l均为偶数时Fhkl=fA+3fB

当h+k,h+l,k+l其中两个为奇数，一个为偶数时Fhkl=fA—fB

当fA=fB时有（0,0，1）（0,1，0）（1,0，0）（0,1，1）

（1,1,0）（1,0,1）衍射面指数的消光。

1.15在某立方晶系的铜:

射线粉末相中，观察到的衍射角二有下列关系:

右：

e去:

而:

应:

应：

®：

插

=sin:

sin02...sin久

=yj12+12+12+^122+02+02+y/22+22+02+y/12+12+32

+J2+2+242+02+02+J32+3+I2+442+22+02

（a）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数;

（b）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方?

解:

y[h

2dhklsin0=

sin0九

（nh）2+（nk）2+（nl）2]2a

:

.sin0

oc

^l（nh）2+（nk）2+（nl）2

V?

:

西:

V8:

而:

应:

扁:

妨:

V20

=sin:

sin02...sin08

=yj12+12+12+J22+02+02+J22+22+02+Jl2+I2+32

22+22+22+J42+02+02+J32+32+I2+J42+22+02hkl=（1,1,1）（2,0,0）（2,2,0）

该立方晶体是面心立方.

第二章晶体的结合

2.1导出NaCl型离子晶体中排斥势指数的下列关系式：

n=1+4芯。

5快；（SI单位）ae2

其中k为体变模量，设已知NaC晶体的k=2.4乂1010N/m2,R0=0.281nm,求

NaCl的n=?

解：

NaCl晶体排斥势指数的关系，设晶体有N个元胞。

则晶体的内能：

U=N（二+竺）=N［二4+旦］

rrrr

其中：

A=ae2,B=6b2对于NaCl结构r=2Nr3,（2r3为元胞的体积）

/.dr=6Nr2dr

dudr

1

du

N

（A

nB、

"drdv

6Nr。

dr

6Nr；

2

1r0

n+lro丿

du

=0

dV

在ro为平衡位置处：

B

1n-1

—ro

n

1

d2u

18Nro

dr2

du由k=丁

（n-1）ae2

18r。

4

4

18kr。

n=―2^+1

ae

（如取SI）

4

4花°x18kr°k

n=+1

ae2

对于NaCl、CsCl、

ZnS结构a=1.747、

1.762、1.638

k=2.4x1010N/m2r0=0.281nm

可求n

2.2带土e电荷的两种离子相间排成一维晶格，设N为元胞数，B/"•为排斥势,

m,为正负离子间最短的平衡值。

证明，当n有很大时有:

（a）马德隆常数a=2ln2；

（b）结合能U（R）=W"-丄］；

4z%RoIn丿

（c）当压缩晶格时,

且，"-,

则需做功其中

能）

q2b

1n

r..

=aR（R为邻近间距总离子间的相互作用势

2

q

4茲oR

1

u=£±—为离子晶格的马德隆常数

ja.

j

「1111

=21+...

4

丿

_1

2

3

2

3

4

x

x

x

x

—

-+

—

—

2

3

4

1

1

1

ln（1+x）=

+...

a

令x=1In2=11b...

2

3

4

du

=0

dR

Ro

u=2ln2

（b）利用平衡条件

.Nq2ln2R；-1

.・b=

n-1

u（R）=-2Nq2In

R0）

nRn

2Nq2In2

u（R0）=（1-

R。

du

（c）u1（R）=u（R0）+_

dR

d2u

（R-R0）+-I0丿2dR2

（R-R。

）2+…

由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项

1d2u

w=u（R）-u（R0）=2

2dR

（R-R°）2

将R=R0（1-S）代入：

w=1[ln2.（n-1）q2]2NR0S-S

晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项:

1（n—1）q2ln2

2NR0S2

R02

1

S=—cS

2

设S=Se时外力为二，外力与晶体（格）的形变成正比.

F=a（2NR05）,Fe=a（2NR05e）,•-为比例函数.

2NRqSS

We=jFdx=j（a2NR°S）2NR0dS

\2121

=a（2NR0）-Se2=2NR08eF

2a

此即为离子链被压缩2NR0的过程中外力做功。

吧=2杯NR0S。

）所以压缩2R项外力Fe=

q2ln[2（n-1）]Se

2.3量子固体

在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态七-的一

个粗略一维模型，即每个気原子局限在一段长为L的线段上，每段内的基态波函数取为半波长为L的自由粒子波函数。

（a）试求每个粒子的零点振动能；

（b）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式；

（c）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡，非常粗略的给出最近邻间的范德瓦尔斯能为二上-"e冬其中L以cm表示，求L的平衡值。

解：

（a）根据量子力学，限制在L线段内的自由*-原子的波函数有

W=Ae必形式

波函数

Ink=

2

2的波函数为基态波函数k0=土

=三，所以基态

每个原子的零点动能也就是基态平均动能.

〈T〉=-

L

*

J〃0

r-力2

d2

、2mdx2

L

W；甲od「

0

dx

8mL2

（b）因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为L的线段结构，必须增加力

dp=-

dL，8mL2丿

4mL3

有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量U=+U（L）

U（L）是范德瓦尔斯能：

U=1.6xL-6x10-60erg

（c）平衡时:

dU

dL

L0

=0=6xgx10-60

4mL0L

L0=5.813x10-80cm4烏的平衡值L0=4.91A

第三章晶格动力学和晶体的热学性质

3.1在同类原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且冋>.试证明：

在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为

」,2kasin——「、2

2

（01+02）

401811si

1

解：

用Vs和rs分别表示第S个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移.

厂1（us一Vs）—02（us-Vs—1）

一（Vs一us）-02（Vs一us+1）,

=ue怂k~ot）V=Vel（ska~ot）

s

卩Mo—（01+02）]u+[01+02e-遍]V=0[[01+02e*]u+[MO—（C1+C2）]V=0

MD—（01+02）01+02elk

'01+02。

—l加MD—（01+02）

—ika

[M°2—（01+02）]=（01+02e面）

o2="1*"2+丄101+02+20102coskaMM

01+02

M

"ka

40102sin27

12~

（0+02）

3.2具有两维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为M,晶格常数为a,最近邻原子间相互作用的恢复力常数为c,假定原子垂直于点阵平面作横振动,

试证明：

此二维系统的格波色散关系为MCD1=2c（2-coskxa-coskya）解：

只考虑最近邻作用第（1,m）个原子受四个原子的作用.

（l+1,m）:

C（ui+1,m-ui,m）

（l-l,m）:

C（ui,m-ui—1,m）

（l,m+1）:

C（ui,m+1—ui,m）

（l，m-1）:

c（uim-uim—1）

运动方程:

md>

=c[（ui+I,m+Ul—1,m-2ui,m）+（U/,m+1+Ul,m—1一2Ul,m

设uim=u0exp[i（ikxa+mkya-cot）]

妒=_c（+e+e'M+e斗。

-4）

=2c（2-coskxa-coskya）

3.3求：

（a）一维单原子点阵振动的声子谱密度p（a）,并作图;

（b）一维双原子点阵振动的声子谱密度p（a）,并作图.

解：

一维单原子链:

p{rn）=——Z2/q）/dq|

S=1…（有个3n色散关系）一维单原子链

S=1

4mM21

1sin—qa

（m+M）2

一维双原子链:

="

m+M

mM

I1+

4mM21

1sin—qa

（m+M）2

m+M

mM

4mM21

1sin—qa

（m+M）2

dede

匕+1/-

dqdq

LmMB14mM21

（1/（{1+[1-fSinqa]

m+M4（m+M）2

3

14mM21一;一4mM

+1/一{1一[1sin2qa]4

4（m+M）2m+M

一4mM111

—a-2sin—qacos—qa}（m+M）222

--2sin1qacos1qa}

22

3.4设某三维晶体光频声子的色散关系为e（q）=e0-Aq2,试证明，其声

子谱密度为

p{e）=-

（e°-e）2emin

4/a2

式中emin=e0

2

A3

■A,N为晶体的原胞数.

解:

"=*3

第支a格波的模式密度一其中sa为第a支格波的等频面.厲jdS

sa

乂因为在q=0附近叭q）=-Aq2

等频面是一个球面.乂,qe|=|-A2q\=2Aq

12

4兀q

2/j"2Aq

sa

1

-（%一e2

4A3,2/

3.5使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容为

（a）在一维系统中CvxT；

（b）在二维系统中CvxT2；

解：

对于一维简单格子，按德拜模型：

e=qv

d，.范围内包含dL=2dqLdqLLd：

2n

J：

D（*=N=-（N为原子数目）

n

690=—