三角函数图像公式大全.docx
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三角函数图像公式大全
幕函数的图形
指数函数的图形
I
I
f/
2
V
≈
f
-2-
I
O
2X
y=
对数函数的图形
y
[Il
I
-
2
1
Jr
/
2-
a
y
/
/y=2τf
/
丿.
-2-
O]Λ
_T―一「■
尸ItlgZ!
X
2
/
y
Llnr
三角函数的图形
J=SiItT
II
1^,1-
\
l≡C0‰≡Γ
∏Ii
O
jγ∖
MJr-IiF
∖-⅛.
O
草×
X
I■—
2jγX
-I
各三角函数值在各象限的符号
Sinα∙CSCα
COSα∙SeCα
tanα
Cotα
三角函数的性质
函数
y=sinx
y=Cθsx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
{XIX∈R且
π
X≠kττ+,k∈Z}
{XIX∈R且
X≠k∏∈IZ}
值域
π
[-1,1]x=2k∏+—时
2
ymax=1
JI
x=2k∏一时ymin=-1
2
C-ι,ι]
x=2k∏时ymax=1x=2k∏+时ymin=-1
R
无最大值无最小值
R
无最大值无最小值
周期性
周期为2π
周期为2π
周期为∏
周期为∏
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
ππ
在[2k∏--,2k∏+]上
22
都是增函数;在
π2
[2kπ+—,2k∏+∏]上
23
都是减函数(k∈Z)
在[2k∏-∏,2k∏]上都是增函数;在[2k∏,2k∏+∏]上都是减函数(k∈Z)
ππ
在(k∏—,k∏+—)内都
22
是增函数(k∈Z)
在(k∏,k∏+∏∣内都是减函数(k∈Z)
反三角函数的图形
反三角函数的性质
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
定义
ππ
y=sinx(x∈〔-—,—〕
22
的反函数,叫做反正弦
函数,记作x=arsiny
y=cosx(x∈〔0,∏)
的反函数,叫做反余弦函数,记作
x=arccosy
π
y=tanx(x∈(-—,
2
π
—)的反函数,叫做反
2
正切函数,记作
x=arctany
y=cotx(x∈(0,∏的)反函数,叫做反余切函数,记作
x=arccoty
理解
arcsinx表示属于
ππ
[]
2,2
且正弦值等于X的角
arccosx表示属于
C0,∏],且余弦值
等于X的角
arctanx表示属于
πJI
(-—,—),且正切值等
22
于X的角
arccotx表示属于(0,
∏且余切值等于X的角
性
质
定义域
[-1,门
C-1,1]
(-∞),+∞)
(-∞),+∞)
值域
ππ
[-—,—]
22
C0,n]
ππ
(—,—)
22
(0,∏)
单调性
在〔-1,1〕上是增函数
在C-1,1]上是减函数
在(-∞,+∞)上是增数
在(-∞,+∞)上是减函
数
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-X)=∏arcco
SX
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-X)=冗arccot
X
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈[-1,
1])arcsin(sinx)=x(x∈ππ
C-——】)
22
cos(arccosx)=x(x∈
C-1,1])
arccos(cosx)=x(x∈
C0,π)
tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x(X∈ππ
(-—,—))
22
cot(arccotx)=x(x∈R)
arccot(cotx)=x(x∈
(0,∏))
互余恒等式
π
arcsinx+arccosx=—(X∈[-11])
2,
π
arctanx+arccotx=—(X∈R)
2
三角函数公式
和差化积
两角和公式
aba-b
cos—
22
sin(A+B)=SinAcosB+cosAsinBsin(,A-B)=SinACOSB-COSASinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBCOS(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtanAtanB
tan(A+B)=
1-tanAtanB
Sina-sinb=2cosa__bSin
a-b
2
tan(A-B)=
tanA-tanB
1tanAtanB
a+ba—bcosa+cosb=2coscos—
22
ab.a—b
COSa-COSb=-2sinSin
22
sin(ab)
tana+tanb=
cosacosb
cot(A+B)=
cotAcotB-1cotBcotA
COt(A-B)=COtACOtB1cotB—cotA
倍角公式
XCA2tanA
tan2A=L
1-tanA
Sin2A=2SinA?
CosA
2222
Cos2A=CosA-SinA=2CosA-1=1-2sinA
积化和差
1
SinaSinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]
2
1
cosacosb=-[cos(a+b)+cos(a-b)]
2
1
Sinacosb=-[sin(a+b)+sin(a-b)]
2
1
cosasinb=-[sin(a+b)-sin(a-b)]
2
三倍角公式
3
sin3A=3sinA-4(sinA)
3
cos3A=4(cosA)-3cosA
ππ
tan3a=tana∙tan(+a)∙tan(—-a)
33
诱导公式
半角公式
sin(-a)=-Sinacos(-a)=cosa
π
sin(—-a)=cosa
2
Sin(A)=
1-cosA
2
π
cos(--a)=Sina
2
π
sin(-+a)=cosa
2
COS(A)=
1cosA
∖2
tan(A)=
1-cosA
1cosA
π
cos(—+a)=-Sina
2
sin(-a)=Sinacos(π)=-cosasin(π+a)-sinacos(π+a)-cosa
“A、■1+cosA
COt(Ar仁贰
tgA=tanA=
Sinacosa
丄/A、1-cosASinA
tan()==
2SinA1+cosA
万能公式
Ca2tan
2
Slna=—
1+(tanα)2
2
a2
1-(tan—)
COSa=—
a2
1(tan_)
2
C丄a2tan
2tana=—
a2
1-(tan_)
公式一
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2k∏÷α=Sinα
cos(2kπ÷α)=cosα
tan(2kπ÷α)=tanα
cot(2kπ÷α)=cotα
公式二
设α为任意角,π+由勺三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π÷α)=-Sinα
cos(πτkα=-cosα
tan(π÷α=tanα
cot(π÷o)=cotα
∏a与a的三角函数值之
其它公式
a?
slna+b?
cosa=(a2b2)×sin(a+c)
[其中tanc=b]
a
a?
Sin(a)b?
cos(a)=(a2b2)×cos(a-c)
a
[其中tan(C)=]
b
1+sin(a)=(Sina+cosa)2
22
aa2
1-sin(a)=(Sin-cos—)
22
其他非重点三角函数
公式三
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
Sin(-α)=-Sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到间的关系:
sin(∏α)=Sinαcos(T-Ca=-cosαtan(∏a)=-tanacot(T-a)=-cota
csc(a)=
1
Sina
sec(a)=
cosa
双曲函数
a-ae-e
Sinh(a)=
2
公式五
利用公式-和公式三可以得到间的关系:
Sin(2∏a)=-Sinacos(2πa)=cosatan(2∏a)=-tanacot(2πa)=-cota
2π-a与a的三角函数值之
a
cosh(a)=
tgh(a)=⅛alcosh(a)
公式六
π三角函数公式证明(全部)
—±及—±与α的三角函数值之间的关系:
22
Sin(工+α=COSOC
2
COS(+a)=-Sinα
2
tan(—+α)=-cotα
2
COtC+α)=-tanα
2
π
-a
2
cos(-a
2
π
(--a
-a
2
3二
Sin
tan
COt
Sin
=COS
=Sin
=cot
=tan
+α)=-COSα2
3二
cos(+α
2
(—+a)
2
(S
2
3二、
=Sin
tan
COt
Sin
=-COt
=-tan
-O=-COSα
2
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
∣a+b≤∣a∣+∣b∣
∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
∣a∣≤b<=≤a≤b
∣a-b∣≥删
-∣a∣≤a≤∣a∣
元二次方程的解
-b+√(b24ac)∕2a-b-b+√(b24ac)∕2a
根与系数的关系
X1+X2=-b∕a
X1*X2=c∕a
希望对韦达定理
cos(-O=-Sina
2
3江
tan(-a=cota
2
3兀
cot(-O=tana
2
(以上k∈Z)
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来家有用
ωt+φX∕a2+B2+2ABcos(判别)式 方程有相等的两实根 b2-4ac>0注: 方程有一个实根 b2-4ac<0注: 方程有共轭复数根 tanA+tanB=sin(A+B)/COSACOSB tanA-tanB=sin(A-B)/COSACOSB ctgA+ctgBsin(A+B)∕sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)∕sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)∕2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)∕6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=SinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB COS(A-B)=CosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)∕(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)∕(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)∕(ctgB+ctgA) Ctg(A-B)=(CtgACtgB+1)/(CtgB-CtgA) 倍角公式 √((1+cosA)∕2)cos(A∕2-√((1+cosA)∕2)余弦定理 tan2A=2tanA∕(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)∕2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A∕2)=√-COsA)∕2)Sin(A∕2)=-√((ICOSA)/2)cos(A∕2)= 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+∙∙+n(n+1)=n(n+1)(n+2)∕3 正弦定理 a/sinA=b∕sinB=c∕sinC=2R 注: 其中R表示三角形的外接圆半径 tan(A∕2)=√(COsA)∕((1+cosA)) tan(A∕2)=-√((ICOSA)/((1+cosA)) Ctg(A/2)=√((1+cosA)/(CbSA)) Ctg(A/2)=-√((1+cosA)∕((1cosA)) 和差化积 b2=a2+c2-2accosB 注: 角B是边a和边C的夹角 正切定理 [(a+b)∕(a-b)]={[Tan(a+b)∕2]∕[Tan(a-b)∕2]} 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinASinB=cos(A+B)-cos(A-B) SinA+sinB=2sin((A+B)∕2)cos((A-B)∕2cosA+cosB=2cos((A+B)∕2)sin((A-B)/2) 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2注: (a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0注: D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2pxy2=-2pxx2=2Pyx2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1∕2c*h' 正棱台侧面积 S=1∕2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1∕2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1∕2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r>0 扇形面积公式 s=1∕2*l*r 锥体体积公式 V=1∕3*S*H 圆锥体体积公式 V=1∕3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注: 其中,S是直截面面积,L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 三角函数积化和差和差化积公式 记不住就自己推,用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB COS(A-B)=CosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减,可以得到2组积化和差: 相加: COSACOSB=[cos(A+B)+cos(A-B)]∕2相减: SinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]∕2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=SinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减,可以得到2组积化和差: 相加: SinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]∕2 相减: SinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]∕2 这样一共4组积化和差,然后倒过来就是和差化积了 正加正正在前 正减正余在前 余加余都是余 余减余没有余还负 正余正加余正正减 余余余加正正余减还负 3.三角形中的一些结论: (不要求记忆) (65)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (66)sinA+tsinB+sinC=4cos(A∕2)cos(B∕2)cos(C∕2) (67)cosA+cosB+cosC=4sin(A∕2)Sin(B∕2)sin(C∕2)+1 (68)sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinB∙s∙inC ⑸cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
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