届山东省重点中学联盟高三上学期期末数学试题.docx
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届山东省重点中学联盟高三上学期期末数学试题
2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测
高三数学试题
本试卷6页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
L答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置:
2.作答选择题时:
选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上:
非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案:
不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效:
3.考生必须保证答题卡的整洁,考试结束后,请将答题卡上交.
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
L若全集集合4={X€/?
1》+%—6之0},集合5=任£町心(1:
-1)<0},则(以4)「5=()
4.《莱茵德纸草书》(R/而是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:
把93个
而包分给5个人,
使每个人所得面包个数成等比数列,且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三,则
最小的一份为(
6.已知函数/(X)的部分图象如下所示,则“X)可能为()
A.若/J_a,alip,则/_L/7
B.若///a,////?
则a/"
C.若/_La,aVp,贝
D.若〃/a,a10,则/_L夕
8.某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:
若芯片的良品率不超过95%,不予奖励;若芯片的良品率超过95%但不超过96%,每张芯片奖励100元:
若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为()元
A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74
附:
随机变量§服从正态分布N(〃,b2),则夕(〃一bv《v〃+b)=0.6826,
-2bv4v〃+2cr)=0.9544,P(〃-3bv4v〃+3b)=0.9974.
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得。
分.
9已知向量“7=1,I«1=1,a-b=y/3,设。
,坂所成的角为6,贝ij()
A.IS1=2B.a_L(B-a)Call%D.6=60°
10.定义在H上的函数满足:
x为整数时,/(x)=2021:
工不为整数时,f“)=0,则()
A.7(x)是奇函数B.7(工)是偶函数
C.Vxe/?
/(/(x))=2021D.的最小正周期为1
D.
11.已知函数/(x)=sin(8+°)(其中〃>0,0<夕<乃)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为3,2
B.将函数y=f(x)的图象向右平移三个单位后得到函数y=sinlx的图象
6
C.当/(x)有且只有一个零点
E./(X)在0,-上单调递增6
12.在三棱柱ABC—A4G中,AA3c是边长为2#的等边三角形,侧棱长为4“,贝ij()
A.直线4。
与直线84之间距离的最大值为3
B.若A在底面ABC上的投影恰为MBC的中心,则直线AA与底面所成角为60。
C.若三棱柱的侧棱垂直于底而,则异而直线A3与AC所成的角为30。
D.若三棱柱的侧棱垂直于底面,则其外接球表面积为64乃
三、填空题:
本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.已知i是虚数单位,复数z=」-+i,贝电|=二/-I11
14.若二项(l+2x)”(〃eN*)的展开式中所有项的系数和为243,则该二项式展开式中含有/项的系数为.
15.设函数f(x)=e'(x+1)的图象在点(0,1)处的切线为y=ar+b,若方程——4=〃?
有两个不等实根,则实数小的取值范围是.
16.如图所示,在平面直角坐标系中,。
0,-工,L(-3,0),圆。
过坐标原点。
,圆L与圆。
外切.
则
(1)圆L的半径等于:
(2)已知过点L和抛物线炉=2外(〃>0)焦点的直线与抛物线交于4,B,且赤♦赤=-3,则p=-
四、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在①4s“=+2a”,②%=2,=2S”这两个条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答.
已知正项数列{〃”}的前〃项和为S“,.
(1)求数列{4}的通项公式;
(2)若数列色}满足log也=。
勺一1,且c“=〃也,求数列仁}的前〃项和32
注:
如果选择多个条件分别进行解答,按第一个解答进行计分.
18.在如图所示的平面图形中,AB=2,BC=6ZABC=ZAEC=-,4七与8c交于点F,若
ZC4E=6>,时底
AT
(2)求竺取最大值时。
的值.
AF
19.如图,在直角梯形A8E。
中,BEHAD,DEA.AD,BCLAD,AB=4,8E=2jJ.将矩形
BED。
沿8c翻折,使得平面平面8cOE.
D
(1)若BC=BE,证明:
平面AB。
_L平而ACE:
(2)当三棱锥A—BCE的体积最大时,求平面AOE与平而4BC所成的锐二而角的余弦值.
20.魔方(Rubik'sCube),又叫鲁比克方块,最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克
(Rubik而)教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议,而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方,即指三阶魔方,为3x3x3的正方体结构,由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱,然后在最短的时间内复原.截至2020年,三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录,单次3.475秒.
(1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练,每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关,经统冲得到如下数据:
X(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
99
99
45
32
30
24
21
现用v=〃+2作为回归方程类型,请利用表中数据,求出该回归方程,并预测该魔方爱好者经过长期训X
练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1)?
7
Z-1
Z
7
(-1
184.5
0.37
0.55
参考公式:
对于一组数据(成,匕),(〃”,匕),其回归直线f=a+/〃的斜率和截距的最小二乘
Vw.v.-miv
II
估计公式分别为:
8==、,&=万一血7.
£?
:
-疝
/-I
(2)现有一个复原好的三阶魔方,白面朝上,只可以扭动最外侧的六个表而.某人按规定将魔方随机扭动两次,每次均顺时针转动90。
,记顶而白色色块的个数为X,求X的分布列及数学期望£(X).
队2e2
21.已知函数f(x)=---“x(lnx—1)-彳的图象在x=l处的切线斜率等于1.其中e=2.718...为自然
对数的底数,a,bwR.
(1)若〃=0,当时,证明:
/(x)<♦—J-:
(2)若证明:
/(x)有两个极值点*,工2(*<马),在(%,占)上恰有一个零点,且再々>焉.
22.已知。
为坐标原点,椭圆C:
二十二=1(。
>人>0)的离心率e=卫,点尸在椭圆C上,椭圆。
的
幻lr2
左右焦点分别为",尸2,夕写的中点为。
,△。
耳。
周长等于JJ+f.
(1)求椭圆C的标准方程:
2
(2)W为双曲线。
:
),2一亍=1上的一个点,由W向抛物线上:
%2=4丁做切线/14,切点分别为A3.
(/)证明:
直线A3与圆/+),2=i相切:
(ii)若直线A8与椭圆C相交于M,N两点,求AOA/N外接圆面积的最大值.
2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测
高三数学参考答案
一、选择题
5-8:
CDAB
1-4:
BCDA
二、多项选择题
9.ABD
三、填空题
10.BCD
11.ACD
12.AD
13.
14.80
15.(OJ)
16.
(1)x/5;
(2)2
四、解答题
17.解:
(1)选①时,当〃=1时,+因为〃]>(),所以0=2,由4S〃=片+2为,①
可得4sg=。
向2+2。
向,②
②一①得,4az=aL\~+2an+i-2aH,
整理得4二一另一2a“.「2%=0,所以(q+i+qJ(q,+i--2)=o
因为>o,所以-=2,
所以数列{凡}是首项为2,公差为2的等差数列,
所以4n=2〃:
选②时,
因为〃0川=2s〃①
所以当〃22时,(〃一l)a〃=2S“_]②
①一②得:
〃“e=5+1)勺,即也■=%〃
①中,令〃=1,得出=2%=4,"=2适合上式
〜anICtn?
4〃〃一1〃一232.八
所以当〃N2时,册=7-.上——±二4x—xl=2〃
4.14-2册-3a2a\〃一1〃一2〃-321
又〃=1,a1=2=2x1
所以对任意〃eN*,*=2〃
(2)因为氏心=%-1即log»“=〃—l325
1、"1
所以“=-,
(]
于是%=ah=2〃x_,
所以Mlt=:
-11*+'卜
18.W:
(1)由题知在AA5C中,由余弦定理知:
AC2=AB2+BC2-2AB-BC・cos8
所以AC=1,且NAC8=?
2
在AACE中,因为E=三,ZC4E=<9,所以NACE=B—666
ApAC(、
由正弦定理知:
———=—>所以4E=2sin-
sinZACEsinE\6
AC1
在用A4CF中,AF=—=—cos6cos6
44E
(2)由
(1)知:
——AF
<5](兀
=2cosC-sin———0,0e0,一
所以=2cos6,si』千一6)=cos>6+V^sin6cos0
1+cos2^+>/3sin201.13八万=一+sin2gd—
因为夕J0,-,所以26+巳£
3)
7t
当26+三=£时,即夕=巳时,sin26+巳取最大值1
所以,匹取最大值时,。
=上AF6
19.
(1)证明:
连接30,因BC=5七
因为平面平而3CDE,平而ABCf)平面3CQE=8C,ACLBC
所以ACJL平面5CDE因为Mu平面8CDE,所以ACJ.3O因为ACnCE=C,所以8。
,平面ACE
因为即u平面A8O,所以平面A3D_L平面ACE
(2)解:
在AA3C中,设AC=x,BC=V16-x2(0 当且仅当/=16-/,即工=2四时,三角形A8C而积有最大值为4 因为平面ABC,平面5CDE,平而A8CH平面8CDE=8C,BELBC BEu平面3CQE,所以3石,平而ABC Ig 所以匕dC£=%-A8C=-S^ABC*BE<—— 所以,当x=2应时,三棱锥A—BCE体积的最大值为这3 因为BE//CD,所以CQJ_平面ABC. 以。 为坐标原点,以C4,CB,CO所在 直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 则C(0,0,0),A仅JI0,0) Q(0,0,26£(0,2立2事) 所以而=(—2jI(),2jJ), 函0,2"0), 平面ABC的法向量)=(0,0,26), -2后+2折=0 2应y=0 —.•AD=0 设平面AD石的法向量〃2=(x,fz),〈_,所以 ・DE=0 ■. 取'=&,则y=0,Z=>/2,即a=(6,°,&), 「匚]—*—knA-n22a/6VFo ,所以COS<〃],〃)>=三"=-==>=, -〃1426•邪5 故平而ADE与平面48c所成的税二面角的余弦值为~. 184.5-7x0.37x50_55 635055 B=j 木;-79/-I 所以〃=下一反=50-100x0.37=13, 因此y关于x的回归方程为: y=13+—x 所以最终每天魔方还原的平均速度),约为13秒 (2)由题知: X的取值为3,4,6,9 p(x=3)=_A_ 6x6 所以X的分布列为 X 3 4 6 9 P 1. 9 2 9 5 9 9 所以E(X)=3x,+4x2+6x2+9x,=K 99999 21.解: (1)由题知: ff(x)=bx-a\nx 所以/' (1)=。 =1,所以b=l ),r2 若。 =0,则/(x)=—^―,由/'(x)v—-得,>/,即证,一/>022 设g(x)=ex-x2,因为g'(x)=ex-2Mx>。 ) 设in(x)=g'(x)=ex-2x,则〃,(x)=,-2>0 因此〃7(x)在(e,+s)上单调递增,所以加(k)>m(e)>0 因此g(x)在(e,+s)上单调递增,所以g(x)>g(e)>0 ■亡一,一 所以靖>/,即 2 (2)令〃(x)=ff(x)=x-a\nx9ROn\x)=1--=-——(x>0)XX 所以,当xe(0,。 )时,//(x)<0: 当x£(〃,+qo)时,〃'(x)>0 所以r(x)在(om)上单调递减,在(。 小8)上单调递增: 所以/'(x)Nf\a)=a-a\na 由于。 >e,所以a-alna=〃(l-lna)<0 又因为/'(l)=l>0,f(e)=e-a<0,f\ea)=ea-a2>0所以r(x)有且仅有两个零点,设为斗々a1 所以当X£(O/J时,f(x)>0;/(x)在(0,x)上单调递增;当X£(X,.q)时,PM<0;/(x)在(*,公)上单调递减;当工£(12,+8)时,f\x)>0;/(X)在(々,+8)上单调递增;又因为/(e)=。 所以/(X)有且仅有两个极值点V%)且在(*,々)上恰有一个零点X。 =e 因为X]=alnX],x2=aInx2=>xl-x2=rt(ln^1-lnx2);%+x2=a(lnX]+lnx2); 所以ln*+”=土土&=lnM+mx,=(土土土](也再—Inx,)=土一In土 In^-lnx,-(七一七)'|A-ijW V 令/=_Le(O,l),% 14"D
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