《用频率估计概率》教学设计.docx
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《用频率估计概率》教学设计
《用频率估计概率》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能
①理解概率的含义即当实验次数较大时,频率渐趋稳定的那个常数叫概率。
②理解进行大量重复实验是估计概率的一种方法。
③能运用频率估计概率的方法解决某些实际问题。
2.过程与方法
①通过经历“猜测结果——进行实验——收集数据——分析实验结果”等活动过程,建立正确的概率直觉。
,进一步发展学生合作交流的意识和能力。
②通过对解决问题过程的反思,获得解决问题的经验和方法。
3。
情感态度价值观
①在合作学习的过程中培养学生的实践意识,创新意识,体会合作学习的乐趣和力量。
②体会随机实验的随机性与规律性,让学生了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。
二、教学重难点
重点和难点
①知道当实验次数较大时,频率稳定于概率是教学重点。
②学会运用频率估计概率来解决实际问题是教学的难点。
三、过程分析
实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。
”教师应该充分利用学生已有的生活经验,随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去,解决身边的数学问题。
为此,我将本节课设置为以下几个环节:
创设情境引出问题→动手实践合作探究→揭示新知尝试应用→练习巩固发展提高→归纳总结交流评价→布置作业课后延伸
环节
教师活动
学生活动
活动说明
创设
情境
引出
问题
欣赏:
2007年奥斯卡最佳影片《无间道风云》剧照(4张左右)
提问:
大家知道影片的两位男主角是如何决定自己所演的角色的呢?
猜猜看。
下面请看记者的文字采访
记者:
你们俩是怎么决定谁演哪个角色的?
达蒙:
我们真的扔了硬币,我就是靠它决定的。
我和莱昂纳多都认为这是些了不起的角色。
最终的结果真是不错,现在我已经无法想像扮演另一个人。
问:
为什么抛硬币的方法可行呢?
动作:
“若有不解”得摸出一枚硬币,抛掷,并接住
猜想:
硬币是正面向上,还是反面向上?
它们出现的可能性相等吗?
设疑:
既然抛一枚质量均匀的硬币,正面向上的概率等于反面向上的概率,均为1/2。
那么我说:
“抛60次硬币,正面向上的次数应该等于反面向上的次数,各等于30次。
”这种说法对吗?
此时,教师因势利导,提出:
动手做抛一元硬币的实验。
验证我的说法正确与否。
学生顿时议论纷纷,纷纷举手,提出:
抽签,抓阄,抛硬币等方法来决定。
生:
举棋不定的情况下,这样做的好处是对两位主演都很公平。
学生直觉的反应:
两种情况出现的可能性各占一半。
学生此时满脸疑惑,有的肯定这种说法正确,有的认为这种说法不正确,但说不出原因。
对学生的方法表示赞赏。
学生的猜测具有随机性,感受随机事件的偶然性。
问题的提出似乎顺理成章,实际上却是一种混淆频率和概率的说法,这样便于激发矛盾,引起共鸣。
《课标》指出:
学生数学学习内容应该是现实的,有意义的,富有挑战的。
设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际,很容易激发学生的学习热情。
环节
教师活动
学生活动
设计意图
动手实践
合作探究
动手实践
合作探究
动手实践
合作探究
整个实验分四大步:
第一步:
每个学生首先抛硬币两次。
师:
以举手的方式统计“正面向上”的频率。
“正面向上”的频率出现的三种结果:
1,1/2,0。
显然:
两次实验并不能验证猜想,其中有两种结果与猜想有较大偏差,这是为什么呢?
第二步:
分组活动
布置活动注意事项:
①分组(按照组间同质,组内异质的合作学习原则)将全班同学分成8组,每组指定一位同学作记录,一位同学抛硬币,其余同学观察实验是否在同一条件下进行。
②任务:
每组抛掷60次,本着一丝不苟,严谨求实的态度认真记录好“正面向上”出现的频数和“正面向上”出现的频率。
附记录单
抛掷次数
60
正面向上的频数
正面向上的频率
③收集,统计数据:
每个小组记录员将所记录数据汇总,相应得到60,120,180,240,300,360,420,480次实验数据。
次数
60
120
180
240
300
360
420
480
正面向上的频数
频率
(表格1)
实验结束后,初步分析实验数据
师:
请同学们以小组为单位。
根据实验数据想一想正面向上的频率有什么规律。
接下来,我们将继续增加实验次数看看有什么新的发现。
历史上有许多数学家为了弄清其中的规律,曾坚持不懈的做了成千上万次抛掷硬币的实验,请看他们的实验结果。
实验者
次数
正面向上的频数
正面向上的频率
棣莫夫
2048
1061
0.518
布丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
(表格2)
第三步:
分析试验数据
师问:
随着抛掷次数的增加,正面向上的频率在哪个常数附近摆动,摆动的幅度有何变化?
师问:
造成这种变化的原因是什么呢?
进一步要求:
以小组为单位,建立平面直角坐标系,横轴表示试验的次数,纵轴表示正面向上的频率,绘制表格1和表格2所对应的折线统计图。
(图1)
(图2)
第四步:
对比分析深化结论
师:
请同学们分析,两个折线统计图所反映的规律是否相同?
如果不同,不同在哪里?
是什么原因造成了不同?
学生得出:
由(图1)看出因为实验次数不多,正面向上的频率在0.5左右摆动的幅度时大时小。
由(图2)看出随着实验次数的增加,正面向上的频率在0.5左右摆动的幅度越来越小。
师追问:
“你们认为出现上述规律与实验次数的多少有何关系?
师生共同归纳反思:
1.由以上实验,我们验证了开始的猜想,即抛掷一枚硬币时,正面向上与反面向上的可能性相等(各一半),也就是说,用抛硬币的方法决定由谁出演哪个角色是可行的,是公平的。
2.抛掷硬币60次。
试验的次数很少,正面向上的频率与0.5这个常数有一定偏差。
所以,正面向上的次数不一定等于30次。
3.通过以上的大量重复实验,随机事件发生的频率和概率之间到底有怎样的关系?
生:
实验次数太少,实验结果具有偶然性。
生:
频率在某个不大的范围内摆动。
生:
频率好像在某个常数附近上下摆动。
小组讨论,合作交流,小组代表发言,组间交流,提高数学交流水平。
生1:
在0.5这个数附近上下摆动,随着次数的增加,摆动的幅度越来越小。
生2:
随着抛掷次数的增加,正面向上的频率与0.5之间的偏差越来越小。
通过对比,学生发现:
图1中反映的规律并不能在图2中得到反映。
经过讨论:
原因是实验次数太少。
生:
“实验次数越多,就越容易出现上述规律。
”
学生充分讨论的基础上,启发学生分析产生差异的原因,使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性。
学生的回答,似乎感受到随机事件发生的频率具有规律性,但限于实验次数并不是很多,规律不是很明显。
此时,趁热打铁,继续增加实验次数。
通过上面的步步紧逼,
主要让学生体验随机
事件的随机性,另一方
面感受到随着实验次
数越来越大时,随机事
件又显现出它的规律
性。
绘制折线统计图,利用函数的观点进一步直观地感受刚才得出的规律。
显然,该问题的设计意在点出课题,突出教学重点。
同时为进入揭示新知的环节起到了承上启下的作用。
环节
教师活动
学生活动
活动说明
揭示新知
尝试应用
活动:
课堂小议
问题1:
填表
频率与概率
区别
联系
问题2:
补充完整
频率概率
问题3:
某体彩彩民在一期体彩投注中,一次买了100注,结果有一注中了一等奖,三注中了二等奖,该彩民高兴地说:
“这次体彩中奖率高,竟高达4℅。
”
问题4:
将一张扑克牌抛掷6次,可能1次正面朝上,也可能有5次正面朝上,因此,正面朝上的概率无法确定。
问题2在问题1的基础上,通过图示简明扼要地指明了频率和概率之间的联系
问题3告诉我们只有当购买的注数足够多时,中奖频率才接近中奖概率。
问题4割裂了频率和概率之间的联系。
问题的设计层层递进,目的只有一个,即为了深化对概率的理解,从错误辨析,频率与概率的区别和联系等方面对概率进行多角度,多侧面,多层次的深入理解。
环节
教师活动
学生活动
活动说明
练习巩固
发展提高
活动:
摸球问题
在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑白两种颜色的球共有20只。
某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把球放回袋中,不断重复,下表是活动进行中一组统计数据。
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
(1)请估计,当n很大时,摸到白球的频率将接近--------。
(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是------,摸到黑球的概率是-----。
(3)试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只--------。
(4)解决了上面的问题,小强同学猛然顿悟,过去一个悬而未决的问题有办法了,这个问题是:
在一个不透明的口袋中装有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具和用品)?
请你运用今天所学的知识解决这个问题。
写出这个问题的主要步骤和估算方法。
(学生以小组为单位,积极探索,相互帮助,最后看看哪个小组提供的方案最合理,最有效。
)
该题的设计具有梯度,既很好的考察了频率和概率之间的关系,又提出了更高的要求,即学会运用频率估计概率来解决某些实际问题,体现了数学来源于生活,又运用于生活的理念。
环节
教学过程
活动说明
归纳总结
交流评价
活动1:
通过这节课的学习,请每位同学完成自我评价表
姓名
日期
今天数学课的课题
所学的重要数学知识
理解的最好的地方
疑惑(需进一步理解的地方)
对课堂表现的评价(自我,他人)
活动2:
完成小组间的评价表(附表格)
新课程强调发展学生的数学交流能力,数学自我评价表给学生提供了一种表达数学思想方法和情感的方式,小组间的评价表则从组员的参与状况,合作技能,交互的质量,活动的秩序,学习的效果,活动结果的汇报水平来评定,显得科学且有说服力。
教学过程
活动说明
布置作业
课后延伸
(1)必做题:
习题5.1第1,2题
(2)选作题:
小红和小明在操场上做游戏,他们先在地上画了半径分别是2m和3m的同心圆(如图)蒙上眼在一定距离外向圈内仍小石子,投中阴影小红胜,否则小明胜,未投入圈内不算,你来当裁判.
(1)你认为游戏公平吗?
(2)游戏结束,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算非规则图形的面积呢?
”请你设计方案,解决这一问题(要求画出图形,说明设计步骤、原理,写出公式).
为了适应不同层次的学生的需求,设计了分层作业,教材上的基础题目可进一步巩固课堂所学的知识,选作题则可以发挥学生学习的自主性。
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- 关 键 词:
- 用频率估计概率 频率 估计 概率 教学 设计