中考数学考点举一反三讲练第08讲 一元二次方程及其应用学生版.docx
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中考数学考点举一反三讲练第08讲一元二次方程及其应用学生版
第08讲一元二次方程及其应用
一、考点知识梳理
【考点1一元二次方程的概念及解法】
1.一元二次方程的概念:
只含有1个未知数,未知数的最高次数是2,像这样的整式方程叫一元二次方程.其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).
2.一元二次方程的解法:
直接开平方法:
这种方法适合于左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的一元二次方程,即形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
配方法:
配方法一般适用于解二次项系数为1,一次项系数为偶数的这类一元二次方程,配方的关键是把方程左边化为含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数.
公式法:
求根公式为x=
(b2-4ac≥0),适用于所有的一元二次方程.
因式分解法:
因式分解法的步骤:
(1)将方程右边化为0;
(2)将方程左边分解为一次因式的乘积;(3)令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.
【考点2一元二次方程根的情况】
1.根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定,我们b2-4a将称为根的判别式.
2.判别式与根的关系:
(1)b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)b2-4ac<0⇔方程没有实数根;
(3)b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根.
【考点3一元二次方程的应用】
1.列一元二次方程解应用题的步骤:
(1)审题;
(2)设未知数;(3)列方程;(4)解方程;(5)检验;(6)做结论.
2.一元二次方程应用问题常见的等量关系:
(1)增长率中的等量关系:
增长率=增量÷基础量;
(2)利率中的等量关系:
本息和=本金+利息,利息=本金×利率×时间;
(3)利润中的等量关系:
毛利润=售出价-进货价,纯利润=售出价-进货价-其他费用,
利润率=利润÷进货价.
二、考点分析
【考点1一元二次方程的概念及解法】
【解题技巧】1.判断一个方程是一元二次方程的条件:
①是整式方程;②二次项系数不为零;③未知数的最高次数是2,且只含有一个未知数.
2.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解法:
(1)当b=0,c≠0时,x2=-
,考虑用直接开平方法解;
(2)当c=0,b≠0时,用因式分解法解;
(3)当a=1,b为偶数时,用配方法解简便.
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
【例1】(2019吉林中考)若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 (写出一个即可).
【举一反三1-1】(2019安徽中考)解方程:
(x﹣1)2=4.
【举一反三1-2】(2019山西中考)一元二次方程x2﹣4x﹣1=0配方后可化为( )
A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x﹣2)2=3D.(x﹣2)2=5
【举一反三1-3】(2019河北中考)(2019•兰州)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( )
A.﹣2B.﹣3C.﹣1D.﹣6
【举一反三1-4】(2019内蒙古中考)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x﹣6)=16的实数根.
【举一反三1-5】(2019河北衡水中考模拟)我们把形如x2=a(其中a是常数且a≥0)这样的方程叫做x的完全平方方程.
如x2=9,(3x﹣2)2=25,(
)2=4…都是完全平方方程.
那么如何求解完全平方方程呢?
探究思路:
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
如:
解完全平方方程x2=9的思路是:
由(+3)2=9,(﹣3)2=9可得x1=3,x2=﹣3.
解决问题:
(1)解方程:
(3x﹣2)2=25.
解题思路:
我们只要把3x﹣2看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解:
根据乘方运算,得3x﹣2=5或3x﹣2= .
分别解这两个一元一次方程,得x1=
,x2=﹣1.
(2)解方程
.
【考点2一元二次方程根的情况】
【解题技巧】1.一元二次方程有实数根的前提是b2-4ac≥0;
(2)当a,c异号时,△>0.
利用一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
2.一元二次方程根与系数的特点:
(1)若二次项系数为1,常用以下关系:
x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反过来可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
,x1x2=
,反过来也成立,即
=﹣(x1+x2),
=x1x2.
(3)常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.
【例2】(2019甘肃中考)若一元二次方程x2﹣2kx+k2=0的一根为x=﹣1,则k的值为( )
A.﹣1B.0C.1或﹣1D.2或0
【举一反三2-1】(2019广东中考)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是( )
A.x1≠x2B.x12﹣2x1=0C.x1+x2=2D.x1•x2=2
【举一反三2-2】(2019江西中考)设x1,x2是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根,则x1+x2+x1x2= .
【举一反三2-3】(2019湖北孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若a为正整数,求a的值;
(2)若x1,x2满足x12+x22﹣x1x2=16,求a的值.
【举一反三2-4】(2019上海中考)如果关于x的方程x2﹣x+m=0没有实数根,那么实数m的取值范围是 .
【举一反三2-5】(2019•新疆)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≤
B.k>
C.k<
且k≠1D.k≤
且k≠1
【考点3一元二次方程的应用】
【解题技巧】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1.审:
理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.
2.设:
根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
3.列:
根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.
4.解:
准确求出方程的解.
5.验:
检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.
6.答:
写出答案.
列一元二次方程解应用题中常见问题:
(1)数字问题:
个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.
(2)增长率问题:
增长率=增长数量/原数量×100%.如:
若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)2,即原数×(1+增长百分率)2=后来数.
(3)形积问题:
①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积,以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系,列比例式,通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.
(4)运动点问题:
物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹,运行的路线与其他条件会构成直角三角形,可运用直角三角形的性质列方程求解.
【例3】(2019山西中考)如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积77m2,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为 .
【举一反三3-1】(2019江苏南京中考))某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:
2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
【举一反三3-2】(2019江苏徐州中考)如图,有一块矩形硬纸板,长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2?
【举一反三3-3】(2019辽宁大连中考)某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元
(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年村该村的人均收入是多少元?
【举一反三3-4】(2019•青海)某种药品原价每盒60元,由于医疗政策改革,价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元,则平均每次下调的百分率为 .
【举一反三3-5】(2019辽宁大连中考模拟)如图,某小区有一块长为36m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为600m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为 m.
三、【达标测试】
(一)选择题
1.(2019河南中考)一元二次方程(x+1)(x﹣1)=2x+3的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
2.(2019•日照)某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x,那么可列出的方程是( )
A.1000(1+x)2=3990
B.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990
C.1000(1+2x)=3990
D.1000+1000(1+x)+1000(1+2x)=3990
3.(2019•新疆)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为( )
A.
x(x﹣1)=36B.
x(x+1)=36
C.x(x﹣1)=36D.x(x+1)=36
4.(2019•四川内江中考模拟)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( )
A.k>
B.k≥
C.k>
且k≠1D.k≥
且k≠1
5.(2019•广西)扬帆中学有一块长30m,宽20m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为xm,则可列方程为( )
A.(30﹣x)(20﹣x)=
×20×30
B.(30﹣2x)(20﹣x)=
×20×30
C.30x+2×20x=
×20×30
D.(30﹣2x)(20﹣x)=
×20×30
6.(2019河北中考)(2019•哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为( )
A.20%B.40%C.18%D.36%
7.(2019河北中考)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=﹣1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=﹣1D.有两个相等的实数根
8.(2016河北中考))a,b,c为常数,且(a﹣c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.无实数根D.有一根为0
(2)填空题
1.(2019江苏南京中考)已知2+
是关于x的方程x2﹣4x+m=0的一个根,则m= .
2.(2019宁夏中考)已知一元二次方程3x2+4x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围 .
3.(2019•威海)一元二次方程3x2=4﹣2x的解是 .
4.(2019河南兰考中考模拟)等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两个实数根,则等腰三角形底边的值是 .
5.(2019山东聊城中考模拟)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,其中x1<x2,则x12﹣2x22的值为 .
6.(2019甘肃兰州中考模拟)如图,Rt△ABC中,AB=6,BC=8.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向B移动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,运动 秒后,△PBQ面积为5个平方单位.
7.(2019河北沧州中考模拟)已知x1,x2是方程x2﹣
x+
=0的两根,若实数a满足a+x1+x2﹣x1x2=2018,则a= .
8.(2019河北张家口中考模拟)已知:
a、b、c均为非零实数,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中一个实数根为2.
(1)填空:
a>b>c,4a+2b+c 0,a 0,c 0(填“>”,“<”或“=”);
(2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,满足一个根为另一个根的2倍,我们就称这样的方程为“倍根方程”,若原方程是倍根方程,则求a、c之间的关系 .
(3)若a=1时,设方程的另一根为m(m≠2),在两根之间(不包含两根)的所有整数的绝对值之和是7,求b的取值范围 .
(3)解答题
1.(2019北京中考)关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
2.(2019河北衡水中考模拟)某县农场小刘承包了一片荒山,在山上种植了一部分优质核桃,今年已进入第三年收获期.今年收获核桃2880千克,已知小刘第一年收获的核桃重量为2000千克.求去年和今年两年核桃产量的年平均增长率,照此增长率,预计明年核桃的产量为多少千克?
3.(2019辽宁辽阳中考模拟)构建模型:
生活中的实际问题,往往需要构建相应的数学模型来解决,这就是模型的思想.譬如:
某校要举办足球赛,若有5个球队参加比赛,每个队都要和其他各队比赛一场,则该校一共要安排多少场比赛?
为解决上述问题,我们构建如下数学模型:
(1)如图①,在平面内画出5个点(任意3个点都不共线),其中每个点各代表一个足球队,两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来,其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.由于每个队都要与其他各队比赛一场,即每个点与另外4个点都可连成一条线段,这样总共可连成线段是5×4条,如果不考虑线段端点的顺序,那么连成线段只有
条,所以该校一共要安排
=10场比赛.
(2)根据图②回答:
若学校有6个足球队参加比赛,则该校一共要安排 场比赛;
…
(3)根据以上规律,若学校有n个足球队参加比赛,则该校一共要安排 ______场比赛;
问题解决:
(4)小凡今年参加了学校新组建的合唱队,老师让所有人每两人相互握手,认识彼此(每两人之间不重复握手),小凡发现所有人握手次数总和为36次,求合唱队有多少人?
(写出求解过程)
4.(2019•广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.
(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?
(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.
5.(2019山东烟台中考模拟)把一边长为40cm的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计).如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.
(1)要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?
(2)折成的长方形盒子的侧面积为600cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?
6.(2019河北唐山中考模拟)已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1、x2.
(1)当t=m=1时,若x1<x2,求x1、x2;
(2)当m=1时,求t的取值范围;
(3)当t=1时,若x1、x2满足3|x1|=x2+4,求m的值.
7.(2017河北中考))某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0,每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比,经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12),符合关系式x=2n2﹣2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.
月份n(月)
1
2
成本y(万元/件)
11
12
需求量x(件/月)
120
100
(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;
(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;
(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.
8.(2019重庆中考)某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费.
(1)该小区每月可收取物管费90000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅?
(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:
“垃圾分类送礼物”,50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动.为提离大家的积扱性,6月份准备把活动一升级为活动二:
“拉圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调査与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少
a%;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少
a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少
a%,求a的值.
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