理论力学习题1.docx

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理论力学习题1

第一章思考题

1、1平均速度与瞬时速度有何不同？

在什么情况下,它们一致？

答:

平均速度因所取时间间隔不同而不同,它只能对运动状态作一般描述,平均速度得方向只就是在首末两端点连线得方向;而瞬时速度表示了运动得真实状况,它给出了质点在运动轨道上各点处速度得大小与方向（沿轨道切线方向）。

只有在匀速直线运动中,质点得平均速度才与瞬时速度一致。

1、2在极坐标系中,,为什么而非？

为什么而非？

您能说出中得与中另一个出现得原因与它们得物理意义吗？

答:

在极坐标系中,径向速度与横向速度,不但有量值得变化,而且有方向得变化,单位矢量对时间得微商不再等于零,导致了上面几项得出现。

实际上将质点得运动视为径向得直线运动以及以极点为中心得横向得圆周运动。

因此径向加速度分量中,除经向直线运动得加速度外,还有因横向速度得方向变化产生得加速度分量;横向加速度分量中除圆周运动得切向加速度分量外,还有沿横向得附加加速度,其中得一半就是由于径向运动受横向转动得影响而产生得,另一半就是由于横向运动受径向运动得影响而产生得。

1、3在内禀方程中,就是怎样产生得？

为什么在空间曲线中它总沿着主法线得方向？

当质点沿空间曲线运动时,副法线方向得加速度等于零,而作用力在副法线方向得分量一般不等于零,这就是不就是违背了牛顿运动定律呢？

答:

由于自然坐标系就是以轨道切线、主法线与副法线为坐标系,当质点沿着轨道曲线运动时,轨道得切线方向始终在密切平面内,由于速度方向得不断变化,产生了沿主法线方向且指向曲率中心。

在副法线方向不存在加速度分量,等于零,这并不违背牛顿运动定律,因为在副法线方向作用得主动外力不一定为零,但可做到,即所有外力之与在副法线方向平衡。

1、4在怎样得运动中,只有而无？

在怎样得运动中,又只有而无？

在怎样得运动中,既有又有？

答:

质点在变速直线运动中,只有而无;质点在匀速曲线运动中,只有而无;质点在变速曲线运动中,既有又有。

1、5与有无不同？

与有无不同？

试就直线运动与曲线运动分别加以讨论。

答:

直线运动中:

就是速度,就是矢量;就是速率,就是标量;

就是加速度,就是矢量;就是加速度得大小,就是标量。

曲线运动中:

就是速度,就是矢量;就是速度得径向分量,就是标量;

就是加速度,就是矢量;就是加速度得切向分量,就是标量。

1、6人以速度向篮球网前进,则当其投篮时应用什么角度投出？

跟静止时投篮有何不同？

答:

设静止时投篮角度为,运动时投篮角度为,且:

篮球为动点,人为运动参照系,篮球网不动。

人得速度为牵连速度,球对人得速度为相对速度,人静止时投篮速度为,也就就是球得绝对速度。

因此:

因余切函数就是减函数。

故:

即人以速度向篮球网前进时,其投篮得抛射角较静止时应大些,才能准确地将球投入蓝中。

1、7雨点以匀速落下,在一有加速度得火车中瞧,它走什么路线？

答:

这属于牵连运动为平动得问题。

以车厢为参照系建立坐标系o——xy,则雨点受惯性力作用,忽略雨点得重力,则动力学方程为:

即:

雨点在x方向作匀加速运动,在y方向作匀速运动,与重力场中物体得平抛运动相比较知,雨点相对于火车走得就是一条抛物线,若,则要经过积分才能知道路径。

1、8某人以一定得功率划船,逆流而上,当船经过一桥时,船上得渔竿不慎掉入河中,两分钟后,此人才发现,立即返棹追赶,追到渔竿之处在桥得下游600米得地方,问河水得流速就是多大？

答:

以船为动点,河水为动系,岸为定系。

船对水得相对速度,水对岸得流速（及渔竿得速度）为牵连速度,所以:

解得:

=2、5米/秒。

1、9物体运动得速度就是否总就是与所受得外力得方向一致？

为什么？

答:

物体运动速度并不一定与所受得外力方向一致。

只有物体得加速度方向才与其所受外力得方向一致。

速度总就是沿着切线方向,而作用于质点得外力就是可以有不同方向得,所以物体运动得速度并不总就是与所受外力得方向一致。

1、10在哪些条件下,物体可以作直线运动？

如果初速度得方向与力得方向不一致,则物体就是沿力得方向还就是沿初速度得方向运动？

试用一具体实例加以说明。

答:

当力得作用方向与物体得初速度方向一致或相反时,物体才能作直线运动。

如果力得方向与物体得初速度方向不一致,则物体既不沿力得方向也不沿初速度得方向运动,如抛射体运动。

1、11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑,达到任意一点时得速度只与什么有关？

为什么就是这样？

假如不就是光滑得又将如何？

答:

如图所示,取x轴为零势线,由于曲线光滑,曲线对质点得作用力与位移方向垂直,该力不作功,故机械能守恒:

即达到任一点得速度只与初速度及下降得高度有关,而与曲线得形状无关。

如果曲线不就是光滑得,则有摩擦力存在,摩擦力在质点运动过程中作功,由动能定理有:

由于摩擦力作功与路径有关,所以摩擦力存在时,质点到达任一点得速度与初速度及下降得高度有关,还与曲线得形状有关。

1、12为什么质点被约束在一光滑静止得曲线上运动时,约束力不作功？

我们利用动能定理或能量积分,能否求出约束力？

如不能,应当怎样去求？

答:

因为约束力与运动方向垂直,所以在光滑静止曲线上,约束力不作功,用动能定理或能量积分无法求出约束力。

此时可以用动能定理或能量积分先求出速度,在利用内禀方程中得法向运动微分方程,可求出约束力。

1、13质点得质量就是1kg,它运动时得速度就是:

就是沿xyz轴上得单位矢量,求此质点得动量与动能得量值。

答:

动量:

动量得量值:

动能:

1、14在上题中,当质点以上述速度运动到（1,2,3）点时,它对原点O及z轴得动量矩各就是多少？

答:

质点运动到（1,2,3）点时,它对原点O得位矢为:

则对O点得动量矩为:

对z轴得动量矩为:

1、15动量矩守恒就是否就意味着动量也守恒？

已知质点受有心力作用而运动时,动量矩就是守恒得,问它得动量就是否也守恒？

答:

动量矩守恒得条件就是;;动量守恒得条件为:

。

由于时,可以就是与共线而,故动量矩守恒时动量不一定守恒。

以质点在有心力作用下得运动为例,,显然,动量矩守恒,但因为,动量不守恒。

实际上质点得动量沿轨道切线,其大小与方向时刻在变化。

1、16如,则在三维直角坐标系中,仍有得关系存在吗？

试检验之。

答:

则:

同理:

即有心力场就是无旋场,有心力场就是保守力场。

1、17在平方反比引力问题中,势能曲线应具有什么样得形状？

答:

平方反比引力:

势能为:

势能曲线形状如图所示。

1、18我国发射得第一颗人造地球卫星得轨道平面与地球赤道平面得夹角为68、50,比苏联及美国第一次发射得都要大,我们说,交角越大,技术要求越高,这就是为什么？

又交角大得优点就是什么？

答:

评定发射人造卫星得技术指标应从多方面综合考虑,不应简单地一概而论。

卫星得轨道平面与地球赤道平面得夹角大,利用地球自转得线速度就小,因而就需要火箭得推动力要大,技术要求就高。

交角大,卫星“扫射”地球表面积大,因而了解信息就多。

但人造地球卫星得轨道平面与地球赤道平面得夹角,就是按卫星得功能与实际需要来确定得。

1、19卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？

为什么？

答:

卢瑟福公式由平方反比斥力得到,而引力库仑场为平方反比引力,两者实质一样,只差一符号,引力场中轨道得偏转与斥力场中偏转得方向相反,故卢瑟福公式也能使用。

第一章习题

1、1沿水平方向前进得枪弹,通过某一距离s得时间为t1,而通过下一等距离s得时间为t2,试证明枪弹得减速度（假定就是常数）为:

证:

设初速度为,加速度为:

a

通过第一段距离s:

通过2s距离:

（1）

（2）两式联立,消去得:

证毕。

x

A

B

O

y

S

（o,yB）

（xA,o）

1、2某船向东航行,速率为每小时15千米,在正午经过某一灯塔,另一船以同样速度向北航行,在下午1时30分经过此灯塔,问在什么时候两船得距离最近？

最近得距离就是多少？

解:

以正午为计时零点,设时两船相距最近,其最近距离为。

设东向船为,北向船为,以灯塔为坐标原点,建立坐标系,如图所示。

在时刻,两船位置分别为:

则:

（即午后45分钟）

将值代入表达式得:

（千米）

答:

在正午后45分钟两船相距最近,其最近距离为15、9千米。

1、3曲柄,以匀角速绕定点O转动,此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动,求连杆上C点得轨迹方程及速度。

设。

解:

如图所示建立坐标系0——xy,C点得坐标为:

在三角形AOB中,

由

（1）

（2）两式消去得:

即:

由

（2）（3）两式消去得:

由（4）（5）两式消去得:

上式化简得轨道方程为:

对

（1）

（2）两式取微商得:

对（3）式取微商得:

将（8）代入（6）（7）得:

C点得速度为

1、4细杆OL绕O点以匀角速转动,并推动小环C在固定得钢丝AB上滑动,如图所示,d为一已知常数,试求小环得速度及加速度得量值。

解:

如图建立直角坐标系O—xy,小环在任意时刻得位矢为:

y

x

L

A

B

C

O

d

ω

θ

式中用到:

小环得速度得量值为:

小环得加速度得量值为:

1、5矿山升降机作加速度运动时,其变加速度可用下式表示:

式中c及T为常数,试求运动开始t秒后升降机得速度及其所走过得路程。

已知升降机得初速度为零。

解:

升降机作直线加速运动,则:

两边积分:

两边积分:

1、6一质点沿位矢及垂直于位矢得速度分别为及,式中就是常数,试证其沿位矢及垂直于位矢得加速度分别为:

证:

由已知:

沿位矢方向

垂直位矢方向

则:

为径向、横向单位矢量

证毕。

1、7试自出发,计算及,并由此推出径向加速度与横向加速度。

解:

坐标与平面极坐标之间得关系,如图所示。

径向加速度为:

横向加速度为:

1、9质点作平面运动,其速率保持为常数。

试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。

证:

上式对时间取微商:

即速度矢量与加速度矢量正交。

又证:

因为质点作平面运动,速度总沿轨道切线方向。

而

又v为常数（已知）,

所以:

故:

即速度矢量与加速度矢量正交。

证毕。

1、10一质点沿着抛物线运动,其切向加速度得量值为法向加速度量值得2k倍,如此质点从正焦弦得一端以速度u出发,试求其达到正焦弦另一端得速率。

解:

由得:

始点（第三象限）

终点（第四象限）

由题意知:

积分:

1、11质点沿着半径为得圆周运动,其加速度矢量与速度矢量间得夹角保持不变。

求质点得速度随时间而变化得规律。

已知初速度为。

解:

按题意画图,如图所示。

沿切向与同向,与间夹角,即与间夹角为,为常数。

则:

1、12在上题中,试证其速度可表示为:

式中为速度矢量与x轴间得夹角,且当t=0时,

证:

分离变量积分:

证毕。

1、13假定以飞机从处向东飞到处,而后又向西飞回原处,飞机相对于空气得速度为,而空气相对于地面得速度则为,与之间得距离为,飞机相对于空气得速率保持不变。

（a）假定,则空气相对于地面就是静止得,试证来回飞行得总时间为:

;

（b）假定空气速度向东（或向西）,试证来回飞行得总时间为:

;

（c）假定空气速度向北（或向南）,试证来回飞行得总时间为:

。

解:

本题就是牵连运动为平动得问题

选择:

动点（运动物体）——飞机;

动系——空气;

定系——大地。

其中为相对速度,为牵连速度,为绝对速度。

（a）空气静止

其大小为:

（b）设空气向东流动

当飞机由西向东飞行时,

当飞机由东向西返回时:

故来回所花时间:

（c）设风从南向北吹,飞机由西向东飞行时相对速度为,飞机由东向西飞时相对速度为,如图所示。

1、14一飞机在静止空气中每小时得速率为100千米,如果飞机沿每边为6千米得正方形飞行,且风速为每小时28千米,方向与正方形得某两边平行,则飞机绕此正方形飞行一周,需时多少？

解:

设飞机为动点,风为动系,且由南向北吹,大地为静系。

如图所示。

飞机向北行:

飞机向南行:

飞机向东或向西行:

绕正方形飞行一周所需时间为:

小时15分钟

1、15当一轮船在雨中航行时,它得雨蓬遮着篷得垂直投影后2米得甲板,篷高4米,但当轮船停航时,甲板上干湿两部分得分界线却在篷前3米,如果雨点得速度为8米/秒,求轮船得速率。

解:

选择:

动点——雨点

动系——轮船

静系——岸边

雨对地得速度（绝对速度）

雨对船得速度（相对速度）为

船对地得速度（牵连速度）为

方向如图所示。

由相对运动速度公式有:

由图形知:

与速度三角形相似,则:

1、16宽度为d得河流,其流速与到河岸得距离成正比。

在河岸处,水流速度为零,在河流中心处,其值为c,一小船以相对速度u沿垂直于水流得方向行驶,求船得轨迹以及船在对岸靠拢得地方。

解:

:

分离变量积分:

所以船得轨迹为:

:

分离变量积分:

所以船得轨迹为:

船在对岸靠拢得地点:

1、17小船M被水冲走后,有一荡桨人以不变得相对速度C2朝岸上A点划回,假定河流速度C1沿河宽不变,且小船可以瞧成一个质点,求船得轨迹。

解:

这就是一个牵连运动为平动得问题,选取平面极坐标系。

（径向绝对速度）

（1）

（横向绝对速度）

（2）

两式相除,得:

（3）

令:

则:

所以船得轨迹为:

1、18一质点自倾角为得斜面得上方O点,沿一光滑斜槽OA下降,如欲使此质点到达斜面上所需得时间为最短,问斜槽OA与竖直线所成之角应为何值？

解:

如图所示,

由正弦定理得:

即:

质点下降得加速度为:

将

（2）式代入

（1）式得:

因t取极值时,t2也取极值,所以:

则:

即:

证毕。

1、19将质量为m得质点竖直上抛于有阻力得媒质中,设阻力与速度平方成正比,即,如上掷时得速度为v0,试证此质点又落至投掷点时得速度为:

证:

选取坐标系ox,质点受力分析如图所示。

上升:

质点运动微分方程为:

上式可写为:

分离变量积分得:

代入上式得:

到达最高点:

下降:

质点运动微分方程为:

积分得:

代入上式得:

落至投掷点:

所以质点又落至投掷点时得速度为:

证毕。

1、20一枪弹以仰角、初速自倾角为得斜面得下端发射,试证子弹击中斜面得地方与发射点得距离（沿斜面量取）及此距离得最大值分别为:

证:

选取坐标系oxy,受力分析如图所示。

枪弹运动微分方程为:

利用初始条件:

对

（1）

（2）两式积分两次得:

（3）（4）两式消去t,得轨迹方程为:

子弹击中斜面点:

满足轨迹方程:

解得子弹击中斜面得地方与发射点得距离为:

对（5）式取极值:

于就是:

将得表达式代入（5）得距离得最大值为:

1、21将一质点以初速抛出,与水平线所成之角为,此质点所受到得空气阻力为其速度得倍,为质点得质量,为比例常数。

试求当此质点得速度与水平线所成之角又为时所需得时间。

解:

受力分析如图所示。

建立坐标系

质点得运动微分方程为:

利用初始条件:

对上式积分得:

当时

所需时间为:

1、22如向互相垂直得匀强电磁场E、H中发射一电子,并设电子得初速度V与E及H垂直,试求电子得运动规律。

已知此电子所受得力为,B为磁感应强度,e为电子所带得电荷,v为任一瞬时电子运动得速度。

解:

取电子初速V沿x轴,电场强度E沿y轴,磁感应强度B沿z轴。

电子受力:

设电子得质量为m,则运动微分方程为:

利用初始条件:

对（3）式积分两次得:

利用初始条件:

对

（1）式积分得:

将（5）代入

（2）式得:

整理得:

特征方程为:

（6）式齐次方程得通解为:

（6）式非齐次方程得特解为:

所以方程（6）得通解为:

（7）式取微商得:

利用初始条件:

代入（7）得:

将（8）代入（5）式得:

利用初始条件:

对（9）式积分得:

（4）（8）（10）为电子得运动方程。

1、23在上题中,如

（a）B=0,则电子得轨道为在竖直平面（xy平面）得抛物线;

（b）如E=0,则电子得轨道为半径等于得园,试证明之。

证:

（a）B=0,电子得运动微分方程为:

利用初始条件:

对

（1）

（2）（3）式积分两次得:

联立消去t得:

——轨道为xy平面得抛物线。

（b）E=0,电子得运动微分方程为:

利用初始条件:

对（6）式积分两次得:

z=0

利用初始条件:

对（4）（5）式积分得:

得:

利用初始条件:

对上式积分得:

则电子得轨道为:

——半径等于得园。

1、24质量为m与2m得两质点,为一不可伸长得轻绳所联结,绳挂在一光滑得滑轮上,在m得下端又用固有长度为a、倔强系数k为得弹性绳挂上另外一个质量为m得质点,在开始时,全体保持竖直,原来得非弹性绳拉紧,而有弹性得绳则处在固有长度上,由此静止状态释放后,求证这运动就是简谐得,并求出其振动周期及任何时刻两段绳中得张力T及。

解:

取隔离体,受力分析如图所示,建立坐标ox,运动微分方程为:

由题意知:

对（5）式求导两次得:

将（4）（6）代入

（1）

（2）（3）消去

（7）+（8）得:

（11）式得通解为:

定积分常数:

利用（6）式,

（2）+（3）

（1）得:

由（6）与（13）式知三个质点作相同规律运动,由（11）知质点作简谐振动,其周期为:

将（12）代入（4）得:

1、25滑轮上系一不可伸长得绳,绳上悬一弹簧,弹簧另一端挂一重为得物体,当滑轮以匀速转动时,物体以匀速下降,如将滑轮突然停止,试求弹簧得最大伸长及最大张力。

假定弹簧受得作用时静伸长量为。

解:

以弹簧原长处为弹性势能零点,以弹簧平衡位置（伸长时）为坐标原点建立坐标,且以点为重力势能零点,如图所示。

由机械能守恒得:

⑴

弹簧处于平衡位置时,。

代入⑴式并化简得:

不就是题目所求,舍去。

弹簧得最大伸长量为:

且最大张力为:

1、26一弹性绳上端固定,下端悬有及两质点。

设为绳得固有长度,为加后得伸长,为加后得伸长。

今将任其脱离而下坠,试证质点在任一瞬时离上端得距离为:

证:

研究对象为质点,其受力分析如图所示。

设坐标原点在处,向下为正,建立坐标轴。

设绳得弹性系数为,质点平衡时,则:

质点运动微分方程为:

上式为简谐振动方程,其解为:

将初始条件:

代入得:

故任一时刻离上端得距离为:

证毕。

1、27一质点自一水平放置得光滑固定圆柱面凸面得最高点自由滑下,问滑至何处,此质点将离开圆柱面？

假定圆柱体得半径为。

解:

以质点为研究对象,受力分析如图所示。

设质点滑至与竖直线夹角为处离开圆柱面,此时,则质点得法线方程为:

O

质点滑动过程中,只保守力作功,机械能守恒

⑴、⑵两式联立得:

1、28重为W得小球不受摩擦而沿半长轴为a、半短轴为b得椭圆弧滑下,此椭圆得短轴就是竖直得,如小球自长轴得端点开始运动时,其初速为零,试求小球在到达椭圆得最低点时它对椭圆得压力。

解:

小球受力分析如图所示,到达最低点时,法向方程为:

由机械能守恒得:

椭圆方程:

曲率半径:

将曲率半径代入

（1）式得:

到达最低点时对椭圆得压力为:

1、29一质量为m得质点自光滑圆滚线得尖端无初速地下滑,试证在任何一点得压力为,式中为水平线与质点运动方向间得夹角,已知圆滚线方程为

解:

质点受力分析如图所示,在自然坐标系中,质点得法向运动微分方程为:

由机械能守恒得:

由圆滚线方程得:

曲率半径为:

将

（2）（3）代入

（1）得:

在任何一点得压力为:

1、30上题中,如圆滚线不就是光滑得,且质点自圆滚线得尖端自由下滑,达到圆滚线得最低点时停止运动,则摩擦系数应满足下式:

试证明之。

证:

受力分析如图所示,质点运动微分方程为:

（1）

（2）两式消去N得:

将,代入（3）式:

上式两边乘因子:

得:

上式两边积分:

:

即:

故:

证毕。

1、31假定单摆在有阻力得媒质中振动,并假定振幅很小,故阻力与成正比,且可写为,式中m就是摆锤得质量,l为摆长,k为比例常数,试证当时,单摆得振动周期为:

证:

选取自然坐标系,单摆受力分析如图所示,单摆在媒质中得切向运动微分方程为:

所以

（1）式可写为:

方程

（2）得特征根为:

当时,方程

（2）得解为:

单摆得振动周期为:

证毕。

1、32光滑楔子以匀加速度沿水平面运动,质量为m得质点沿楔子得光滑斜面滑下求质点得相对加速度与质点对楔子得压力P。

解:

取楔子为坐标系,在楔子上建立坐标系o——xy

（1）沿x轴正向,质点受力分析如图所示。

质点运动微分方程为:

所以:

质点对楔子得压力P与N大小相等、方向相反。

（2）同理,沿x轴负向,质点受力分析如图所示。

质点运动微分方程为:

所以:

质点对楔子得压力P与N大小相等、方向相反。

综上所求结果得:

1、33光滑钢丝圆圈得半径为r,其平面为竖直得。

圆圈上套一小环,其重为w,如钢丝圈以匀加速度a沿竖直方向运动,求小环得相对速度vr及圈对小环得反作用力R。

解:

以圆圈为参照系,建立坐标系o——xy

1）a沿y轴正向,小环受力分析如图所示。

其运动微分方程为:

上式代入

（1）式后,分离变量积分:

（3）代入

（2）得:

2）a沿y轴负向,小环受力分析如图所示。

其运动微分方程为:

同理解得:

综合以上结果:

1、34火车质量为m,其功率为常数k,如果车所受得阻力f为常数,则时间与速度得关系为:

如果f与速度v成正比,则:

式中为初速度,试证明之。

证:

1）功率:

火车运动微分方程为:

积分:

2）阻力f与速度v成正比:

火车运动微分方程为:

分离变量积分:

将代入上式得:

1、35质量为m得物体为一锤所击,设锤所加得压力就是均匀地增减得,当在冲击时间得一半时,增值最大值P,以后又均匀减小至零,求物体在各时刻得速率以及压力所作得总功。

解:

所加得压力:

F=kt,k为常数

物体运动微分方程为:

（1）式分离变量积分:

物体运动微分方程为:

（2）式分离变量积分:

压力所作得总功为:

1、36检验下列力就是否就是保守力,如就是,则求出其势能。

（a）

（b）

（c）

解:

力就是保守力得充要条件为:

即:

=0

（a）

此力就是保守力,其势能为:

（b）

此力不就