九年级数学第二轮复习一二次函数综合题.docx

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九年级数学第二轮复习一二次函数综合题

九年级数学第二轮复习一---------二次函数综合题（2019年4月5日）

【类型1】

二次函数与线段最值问题

★满分技法

1、解决线段最值问题的方法：

首先设出关键点的坐标（通常利用函数表达式设点坐标），通过函数和图形的关系，用该点的坐标表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，进而得到线段的最值和对应的点坐标。

2、求线段和的最小值或周长最小值，先根据“对称性质”把两条线段之和转化为一条线的的长，再根据“两点之间线段最短”或“点到直线的距离最短”解决问题。

（1）一线两点型类型--------将军饮马问题。

在l上找一点P，使得PA+PB最短，作对称。

其中BA’就是最短的值

（2）两线一点型

在OA，OB上找点M、N，使得△PMN周长最小，把P关于OA，OB分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P’P’’，

（3）两动点加垂线段最短，

在OA上找一点M，使得M到OB的距离与M到P的距离之和最短。

作P关于OA的对称点，然后在对称点P’上作OB的垂线，交点即为所求，P’N就是最短值。

（4）两定点与两条直线上两动点问题

▲问题:

点C、D在∠AOB的内部，在OA上找点P，在OB上找点Q，使得四边形DCPQ周长最小

▲解决方法：

分别作点C、关于OA、OB的对称点

和

，连接

，交OA、OB于点P、Q。

四边形DCPQ周长转化为CD+

的长

3、定直线与两顶点差的最大值（根据：

三角形任意两边之差小于第三边）

（1）同侧差最大值问题

▲

问题：

两定点A、B位于直线L的同侧，在直线L上找一点P，使得|PA-PB｜的值最大

▲解决方法：

连接AB并延长交直线L于点P，|PA-PB｜的最大值=AB

（2）异侧差最大值问题

▲问题：

两定点A、B位于直线L的同侧，在直线L上找一点P，使得|PA-PB｜的值最大

▲解决办法：

作点关于直线L的对称点

连接A

并延长交直线L于点P，

|PA-PB｜的最大值=A

★典例精讲

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B（1,0）、C（－2，1），交y轴于点M.

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

2、如图，二次函数

的图像与

轴相交于点

，

，与

轴相交于点

.

（1）求该函数的表达式;

（2）点

为该函数在第一象限内的图像上一点，过点

作

，垂足为点

，

连接

.求线段

的最大值;

3、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。

，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

4、抛物线

与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段|PA—PB|的最大值，并求出相应的点P的坐标．

5、如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？

若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

6、如图，直线y=﹣

x+

分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+

经过A，B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

【题型2】二次函数中的面积问题

★满分技法

1、面积最值问题

（1）求有一条边在坐标轴上的三角形面积时，取在坐标轴的线段为底边，过顶点坐坐标轴的垂线（即三角形的高）

（2）求三边均不在坐标轴上的三角形面积时，常过三角形顶点作与坐标轴平行的直线，将三角形分为两个同底的三角形来求解；

（3）四边形有两边在坐标轴轴上，过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线，把四边形的面积分割成两个面积之和（应先判断是不是特殊四边形，是直接用公式）

2．转化为二次函数问题求最大值或最小值------------转化思想

（1）两条基本线段：

竖直线段和水平线段

（2）四个转化：

水平线段转化为竖直线段

斜线段转化为竖直线段

三角形周长转化为竖直线段

三角形面积转化为竖直线段

（3）利用勾股定理、全等、锐角三角函数或相似确定。

3、面积关系是倍数关系

先求出一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形的面积，根据两图形的面积关系列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解

1、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。

，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：

本题中的结果均保留根号）

2、如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B

（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB＝75°，求出此时点P的坐标；（3）当

点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以

每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

3、如图抛物线

与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足

，并求出此时P点的坐标

4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．

（1）求点P，C的坐标；

（2）直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【类型3】

二次函数与特殊三角形

★满分技法