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百师联盟届高三二轮复习联考一全国卷理科数学试题含答案解析

百师联盟2022届高三二轮复习联考

（一）（全国卷）理科数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．集合

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

2．在复平面内，复数

对应的点坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

3．某区创建全国文明城市指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评，工作人员在本区选取了甲，乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下面的茎叶图是两个街道的测评分数（满分100分），下列说法正确的是（       ）

A．甲，乙两个街道的测评分数的极差相等

B．甲，乙两个街道的测评分数的平均数相等

C．街道乙的测评分数的众数为87

D．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数比较大

4．已知

，则

的值为（       ）

A．1B．

C．2D．5

5．如图，在平面五边形

中，

，

，

，

，则五边形

绕直线

旋转一周所成的几何体的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

6．已知圆C的圆心在直线

上，且与直线

相切于点

，则圆C被直线

截得的弦长为（       ）

A．

B．

C．

D．

7．函数

的图象大致为（       ）

A．

B．

C

C．

D．

8．已知函数

．若a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数

有两个极值点的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

9．已知函数

的定义域为

，值域为

，则

的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

10．某社团专门研究密码问题．社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为

的小数点后的前6位数字．编码方式如下；①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插人数值为

的项得到新数列

，即

；若x为奇数．则在正奇数数列中依次插入数值为

的项得到新数列

，即

③N为数列

的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位．所以

．前11项中有

所以有8个奇数．故

，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为（       ）

A．125786B．199600C．200400D．370370

11．已知点P为双曲线

一点（点P在第一象限），点

分别为双曲线的左，右焦点，

的内切圆的半径为1．圆心为点I，若

，则双曲线的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

12．已知函数

，若不等式

对

恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．已知

是夹角为

的两个单位向量，

，若

，则实数

_______．

14．已知

，则

的值为_______．

15．如图，在直三棱柱

中，

是边长为2的正三角形，

，M为

的中点，P为线段

上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）

①

平面

②三棱锥

的体积的最大值为

③存在点P，使得

与平面

所成的角为

④存在点P，使得

与

垂直

16．已知在

中．角

的对边分别为a，b，c，

，且

，若

，则

的最大值为________．

三、解答题

17．为了研究人对红光或绿光的反应时间，某实验室工作人员试验在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，切断计时器，这就能测得反应时间．该试验共测得200次红光．200次绿光的反应时间．若以反应时间是否超过

（s：

秒）为标准，完成以下问题．

（1）完成下面的2×2列联表：

反应时间不超过

次数

反应时间超过

次数

合计

红光次数

150

绿光次数

合计

130

（2）根据

（1）中的2×2列联表，判断是否有

的把握认为反应时间是否超过

与光色有关．

参考公式与数据

，其中

．

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

18．已知数列

满足

．

（1）求数列

的通项公式；

（2）设数列

的前n项和为

，若

，则正整数n的最小值．

19．如图，四棱锥

中，

底面

．底面

为菱形，且

，

，E，M，N分别为棱

的中点．F为

上的动点，

（1）求证：

平面

；

（2）是否存在F，使得平面

与平面

所成锐二面角的余弦值为

，若存在，求出

，若不存在，请说明理由．

20．已知抛物线

的焦点为F，抛物线上一点

到F的距离为3，

（1）求抛物线C的方程和点A的坐标；

（2）设过点

且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若

，

求斜率k的取值范围．

21．已知函数

，其中

．

（1）当

时，求

的单调区间：

（2）当

时，是否存在实数a使得函数

的最小值为

．若存在，求出a的值．若不存在，请说明理由．

22．在直角坐标系

中，曲线C的方程为：

，以O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）直线

的普通方程是

，直线

与曲线C交于O，M两点，与直线

交于点N，求线段

的长．

23．已知函数

．

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若

．使得不等式

成立，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据集合的交集、补集运算即可.

【详解】

，

所以

，

故选：

B

2．A

【解析】

【分析】

由复数的除法运算化简，即可求出复数对应的点的坐标.

【详解】

，

在复平面内对应的点坐标为

．

故选：

A

3．D

【解析】

【分析】

计算甲，乙两个街道的测评分数的极差，判断A;求得两街道测评分数的平均数，判断B;观察得到乙街道测评分数的众数，判断C;求得甲，乙两个街道的测评分数的中位数，判断D.

【详解】

街道甲的测评分数的极差是

，街道乙的测评分数的的极差是

，两者不相等，故A错误;

街道甲的测评分数的平均数为

，街道乙的测评分数的平均数为

，故B错误；

街道乙的测评分数的众数为81，故C错误；

街道甲的测评分数的中位数为

，街道乙的测评分数的中位数为

故D正确，

故选:

D．

4．A

【解析】

【分析】

将

分子分母同除以

，再将

代入，即可求得答案.

【详解】

由题意得：

，

故选：

A．

5．D

【解析】

【分析】

想象出几何体形状，是一个圆柱挖去一个圆锥，根据几何体体积公式求得答案.

【详解】

由图可知，五边形

可看作正方形

切去一个等腰直角三角形

，得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，

设圆柱和圆锥的体积分别为

，

所以五边形

绕直线

旋转一周所成的几何体的体积为:

，

故选:

D．

6．D

【解析】

【分析】

设圆心为

，根据题意建立方程组解出圆心，半径，再求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长间的关系求解即可.

【详解】

设圆心为

，

则有

，解得

．

则圆心为

，半径

，

则圆心到直线

距离

，

则弦长

．

故选：

D

7．C

【解析】

【分析】

判断函数的奇偶性，可排除B,D；将特殊值

代入解析式验证，可排除A,由此可得答案.

【详解】

由

，可知

为奇函数，排除B，D；

又

，排除A，

故选：

C．

8．C

【解析】

【分析】

求出函数

有两个极值点时满足的条件，再列出所有可能的情况，查出满足条件的可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.

【详解】

由题意得

有两个根,则有

，解得

，

a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，表示为

，

有如下

，共

种情况，

其中满足

的有

，共6种情况，

则函数

有两个极值点的概率为

，即

，

故选:

C．

9．C

【解析】

【分析】

由题意可确定

，结合

，从而确定

，解得答案.

【详解】

由

的值域为

可得

，

由

可得

，所以

，

解得

，所以a的取值范围是

，

故选:

C

10．B

【解析】

【分析】

按照所给密码规则，逐条对照计算求解即可.

【详解】

X在26个英文字母中排第24位．所以

，前24项中有

，所以有21个偶数．

故

，

的小数点后的前6位数字为199600．

故选：

B

11．B

【解析】

【分析】

根据内切圆的性质及双曲线的定义可得切点

，利用圆的半径求出a,得出圆心

，由两角和的正切公式建立方程，求出离心率即可.

【详解】

设

的内切圆与

、相切的切点分别为M，N，Q，

，

，

所以

又因为

，所以

，

即

，所以

，

，∴

，

∴

或

（舍），

∴

．

故选：

B

12．D

【解析】

【分析】

根据函数的性质

，原不等式可转化为

，利用函数单调性去掉“

”，分离参数求最值即可.

【详解】

因为

.

则

．

所以

，

易知

在R上单调递增，

所以有

，对

恒成立，即

，

设

，

则

，则当

时，

，

单调递增，当

时，

，

单调递减，则

，

所以有

，即

．

故选：

D

13．1

【解析】

【分析】

根据向量的数量积的运算及运算律，利用垂直建立方程求解即可.

【详解】

已知

是夹角为

的两个单位向量．

所以

，

而

，若

，

则

，

解得

．

故答案为：

1

14．

【解析】

【分析】

根据分段函数及对数的运算求值即可.

【详解】

因为

，

所以

．

故答案为：

15．②③

【解析】

【分析】

①通过

与

不垂直来进行判断.②通过计算三棱锥

的体积来进行判断.③通过线面角的知识进行判断.④通过建立空间直角坐标系，利用向量法来进行判断.

【详解】

由题意得

．则

，易得

，

所以

与

不垂直．故①错误；

，点B到平面

的距离为

，

由

，得

，得

，

又

，则

，故②正确；

与平面

所成的角即为

与平面

所成的角，设为

，

易知当点P与M重合时，

最小，

此时

，当点Р与

重合时，

最大，

此时

，此时

，

故存在点P，使得

与平面

所成的角为

，③正确；

如图建立空间直角坐标系，

，设

．

则有

，

故不存在点P，使得

与

垂直，④错误．

故答案为：

②③

16．6

【解析】

【分析】

由三角恒等变换可得

，再由正弦定理可得

，由向量的中点坐标公式可得出

，利用余弦定理化简可得

，再由均值不等式求最值即可.

【详解】

则有

，

因为

，所以

．由正弦定理得

．

设

中点为M，则

，即

．

在

中，由余弦定理，

可得

在

中，由余弦定理，

可得

，

因为

，所以

，

两式相加，可得

，

因为

，则有

即

，

又因为

，

所以

，当且仅当

时取等号．

故答案为：

6．

17．

（1）表格见解析

（2）有

的把握认为反应时间是否超过

与光色有关．

【解析】

【分析】

（1）根据题目所给数据列出2×2的列联表；

（2）计算

与临界值比较即可得出结论.

（1）

根据题意，可得2×2的列联表：

反应时间不超过

次数

反应时间超过

次数

合计

红光次数

150

50

200

绿光次数

120

80

200

合计

270

130

400

（2）

因为

所以有

的把握认为反应时间是否超过

与光色有关．

18．

（1）

；

（2）11﹒

【解析】

【分析】

（1）利用累乘法可求数列

的通项公式；

（2）利用错位相减法求出

，代入

求解不等式即可.

（1）

当

时，

，

则

，即

，

，

n＝1也满足上式，故

；

（2）

①，

②，

①－②得，

∴

，代入

，

得

，化简得

．

∵

，

∴正整数n的最小值为11．

19．

（1）证明见解析

（2）存在，

【解析】

【分析】

（1）先证明平面

平面

，再由面面平行得出线面平行；

（2）利用向量法求二面角，根据二面角的余弦值求出F坐标即可得解.

（1）

证明：

因为E，M为

的中点，则

，又

平面

，

则

平面

，同理可得

平面

，

又因为

，所以平面

平面

平面

，所以

平面

．

（2）

设

中点为G，易知

，以D为原点，直线

分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则

，

，设

，

则有

平面

的一个法向量

，设平面

的法向量为

由

，得

，可得

则

，化简得

解得

．

所以存在F，满足条件，此时

.

20．

（1）

，

（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解；

（2）设直线

，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出

的范围，

再根据

，求取值范围即可.

（1）

由题意知

，得

，

所以抛物线C的方程为

．

将点

代入

，得

，

所以点A的坐标为

．

（2）

直线

与抛物线

联立，消去y得

，

，解得

或

．

设

，则有

，

则

，即

，又

．

所以

，则

因为

，设

，则

，

因为

，则

所以

因为

或

，所以k的取值范围是

21．

（1）

的单调递减区间为

，单调递增区间

（2）存在，

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，判断导数的正负，从而得到函数的单调区间；

（2）求出函数的导数，分类讨论a的正负，从而确定导数的正负，判断函数的单调性，进而确定最小值，令最小值等于

，再构造函数，利用导数判断新函数的单调性，从而判断结果.

（1）

的定义域为

，

当

时，

当

时

，当

时，

，

则

的单调递减区间为

，单调递增区间

．

（2）

，

，

令

，解得

或

，

若

，由

得

，故当

时，

在

调递减；

当

时，

在

单调递增，

所以

的最小值为

，

令

设

，

因为

，所以

在

上单调递增，

且

，所以当

时满足条件．

②若

，由

得

，

故当

时，

在

单调递减；

当

时，

在

单调递增，

所以

的最小值为

．

令

设

，

因为

，所以

在

单调递减，

所以当

时，

，不存在a使得

．

综上所述，当

时满足条件．

22．

（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）根据极坐标公式与直角坐标转化公式求解即可；

（2）分别求出点M,N的极坐标，利用极径的几何意义求弦长即可.

（1）

因为

，曲线C的方程为：

，

即

，所以曲线C的极坐标方程为

，

即

．

（2）

直线

的极坐标方程是

，

直线

曲线C交于O，M两点，设

，则由

，

解得

，即点M的极坐标为

；

设

，则有

，

解得

，即点N的极坐标为

．

所以线段

的长

．

23．

（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）分段讨论脱掉绝对值符号，解不等式即可得答案；

（2）将

化简，分离参数，将不等式恒成立问题转化为求二次函数的最值问题解决，可得答案.

（1）

当

时，

当

时，

，解得

，此时

；

当

时，

解得

，此时

；

当

时，

，解得

此时

因此，当

时，不等式

的解集为

；

（2）

当

时，

可化为

，

因为

，所以

或

，

即

使得

或

对于

，因为

时，

，所以

，

对于

，因为

时，

的最大值为

，所以

，

因此，实数a的取值范围为

．