专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题解析版.docx
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专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题解析版.docx
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专题12二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题解析版
专题 12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题
思路提示:
二次函数中的面积问题通常用转化的数学思想将面积转化为线段的最值问题求解,常见的是先分割再
用三角形的面积计算方法(“铅垂高、水平宽法”)求解.
题型一、四边形面积最值问题
1.(2019·山东枣庄中考)如图,已知抛物线 y= ax 2 +
3
2
x + 4 的对称轴是直线 x =3,且与 x 轴相交于
A,B 两点(B 点在 A 点右侧)与 y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的解折式和 A、B 两点的坐标;
(2)如图 1,若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点(不与 B、C 重合),是否存在点 P,使四边
形 PBOC 的面积最大?
若存在,求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值;若不存在,试说明理由;
(3)如图 2,若 M 是抛物线上任意一点,过点 M 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于点 N,当 MN=3 时,求
点 M 的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵抛物线的对称轴为 x=3,
3
1
2a4
1
4
3
2
x + 4 ,
1
4
3
2
x + 4 =0,
解得:
x=-2 或 x=8,
即 A(-2,0),B(8,0);
(2)如图,过 P 作 PD⊥x 轴交直线 BC 于点 D,
由题意知,C(0,4),设直线 BC 的解析式为:
y=kx+b,
⎧ b = 4
8k + b = 0k =-
即直线 BC 的解析式为:
y= -
1
2
x+4,
11
22
1311
4224
∴S 四边形 PBOC=4PD+16
= -m2 + 8m + 16
= - (m - 4)2 + 32
∴当 m=4 时,四边形 PBOC 的面积取最大值,为 32,此时 P 点坐标为(4,6);
1
4
3 1 1
2 2 4
∵MN=3,
1
∴| -x2 + 2 x |=3,
4
11
44
解得:
x1=2,x2=6,或 x3=4-2 7 ,x4=4+2 7 ,
综上所述,当 MN=3 时,点 M 的坐标为:
(2,6),(6,4),(4-2 7 , 7 -1),(4+2 7 ,- 7 -1).
2. (2019·四川自贡中考)如图,已知直线 AB 与抛物线 C :
y = ax2 + 2 x + c 相交于点 A(-1,0)和
点 B(2,3)两点.
(1)求抛物线 C 函数表达式;
(2)若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点,以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB,当平
行四边形 MANB 的面积最大时,求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标;
(3)在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F,使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y =
的距离,若存在,求出定点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.
17
4
⎩4a + 4 + c = 3
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)把 A(-1,0),B(2,3)代入抛物线得:
⎧a - 2 + c = 0
⎨
⎧
解得 ⎨a = -1
⎩c = 3
∴抛物线的函数表达式为:
y=-x2+2x+3
(2)∵A(-1,0),B(2,3),
∴直线 AB 的解析式为:
y=x+1,
如下图所示,过 M 作 MN∥y 轴交 AB 于 N,
设 M(m,-m2+2m+3),N(m,m+1),(-1<m<2)
∴MN=-m2+m+2,
1
BA
13127
2228
27271 7
2842 2
(3)存在,点 F (1, 15 )
4
理由如下:
抛物线顶点为 D,则 D(1,4),则顶点 D 到直线 y =
17 1
的距离为 ,
4 4
设 F (1, n) 、 P( x,- x 2 + 2 x + 3) ,设 P 到直线 y =
175
- (- x2 + 2 x + 3) = x2 - 2 x +,
则 PG=
44
∵P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF,
∴当 P 与顶点 D 重合时,也有 PG=PF.
17
4
的距离为 PG.
此时 PG=
1 17 1
,即顶点 D 到直线 y = 的距离为 ,
4 4 4
1
∴PF=DF=,
4
15
∴ F (1,) ,
4
∵PG=PF,
∴PG2=PF2,
153
∵ PF 2 = ( x - 1)2 + (+ x2 - 2 x - 3)2 = ( x - 1)2 + ( x2 - 2 x + )2
44
5
PG 2 = ( x2 - 2 x + )2
4
1535
∴ ( x - 1)2 + (+ x2 - 2 x - 3)2 = ( x - 1)2 + ( x2 - 2 x + )2 = ( x2 - 2 x + )2
444
整理化简可得 0x=0,
∴当 F (1, 15 ) 时,无论 x 取任何实数,均有 PG=PF.
4
3. (2019·甘肃中考)如图,已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0)、B(3,0),
与 y 轴交于点 C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点 P 为抛物线上的一点,点 F 为对称轴上的一点,且以点 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行
四边形,求点 P 的坐标;
(3)点 E 是二次函数第四象限图象上一点,过点 E 作 x 轴的垂线,交直线 BC 于点 D,求四边形 AEBD
面积的最大值及此时点 E 的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0)、B(3,0),
⎧ 1 + b + c = 0
⎩
∴二次函数表达式为:
y=x2﹣4x+3;
(2)①当 AB 为平行四边形一条边时,如图 1 所示,
则 AB=PE=2,
则点 P 坐标为(4,3),
当点 P 在对称轴左侧时,即点 C 的位置,点 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形,
即点 P(4,3)或(0,3);
②当 AB 是四边形的对角线时,如图 2 所示,
AB 中点坐标为(2,0)
设点 P 的横坐标为 m,点 F 的横坐标为 2,其中点坐标为:
m + 2
2
,
即:
m + 2 =2,解得:
m=2,
2
即点 P(2,﹣1);
综上所述,点 P(4,3),(0,3),(2,﹣1);
(3)直线 BC 的表达式为:
y=﹣x+3,
设点 E 坐标为(x,x2﹣4x+3),则点 D(x,﹣x+3),
1⎛3 ⎫29
2⎝2 ⎭4
∵﹣1<0,所以四边形 AEBD 面积有最大值,
当 x=
3 9 3 3
2 4 2 4
3
2
(点 B 在点 A 右侧),与 y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的解析式和 A,B 两点的坐标;
(2)如图 1,若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点(不与 B、C 重合),是否存在点 P,使四边
形 PBOC 的面积最大?
若存在,求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)如图 2,若点 M 是抛物线上任意一点,过点 M 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于点 N,当 MN=3 时,
求点 M 的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵抛物线的对称轴是直线 x=3,
3
1
2a4
∴抛物线的解析式为:
y= -
1 x2+ 3 x+4.
4 2
当 y=0 时, -
1 2 3
4 2
∴点 A 的坐标为(﹣2,0),点 B 的坐标为(8,0).
(2)当 x=0 时,y=4,
∴点 C 的坐标为(0,4),
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k≠0),将 B(8,0),C(0,4)代入得:
⎧1
b = 4
∴直线 BC 的解析式为 y= - 1 x+4,
2
过点 P 作 PD∥y 轴,交直线 BC 于点 D,如图所示,
设点 P 的坐标为(x, -
x + x+4),则点 D 的坐标为(x, - x+4),
4 2 2
则 PD= -x +x+4﹣( -x+4)= -x +2x,(0<x<8),
4224
∴S 四边形 PBOC=
BOC
PBC
1
22
=﹣(x﹣4)2+32,
∴当 x=4 时,四边形 PBOC 的面积最大,最大值是 32,
即存在点 P(4,6),使得四边形 PBOC 的面积最大.
(3)设点 M 的坐标为(m, - 1 m2+ 31 m+4),
422
∴MN=| - 1 m2+2m|,
4
∵MN=3,
∴ - 1 m21 m2+2m=-3,
44
解得:
m1=2,m2=6,m3=4﹣2 7 ,m4=4+2 7 ,
∴点 M 的坐标为(2,6)、(6,4)、(4﹣2 7 , 7 ﹣1)或(4+2 7 ,﹣ 7 ﹣1).
题型二、三角形面积最值问题
5. (2019·海南中考)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+5 经过点 A(-5,0),B(-4,-3)两点,与 x 轴的
另一个交点为 C,顶点为 D,连接 CD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点 P 是该抛物线上一动点(与 B、C 不重合),设点 P 的横坐标为 t,
①当点 P 在直线 BC 的下方运动时,求△PBC 面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点 P,使得∠PBC=∠BCD?
若存在,求出所以点 P 的坐标,若不存在,请说明理
由?
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵抛物线 y=ax2+bx+5 经过点 A(-5,0),B(-4,-3)两点,
⎧ 25a - 5b + 5 = 0
⎩
即抛物线的解析式为:
y=x2+6x+5.
(2)①在 y=x2+6x+5 中,当 y=0 时,x=-1 或 x=-5,
即 C(-1,0),
设直线 BC 的解析式为:
y=mx+n,
⎧ -m + n = 0
⎩
即直线 BC 的解析式为:
y=x+1,
过 P 作 PD∥y 轴交 BC 于点 E,
1
C
B
)
3
=PE
2
设 P 点坐标为(t,t2+6t+5),则 E 点坐标为(t,t+1),
∴PE=t+1-(t2+6t+5)=-t2-5t-4,
3
2
3 (-t 2 - 5t - 4)
2
3 ⎛ 5 ⎫2 27
2 ⎝ 2 ⎭ 8
∴当 t= -
5 27
2 8
②由 y=x2+6x+5=(x+3)2-4 知,D 点坐标为(-3,-4),
∴直线 CD 的解析式为:
y=2x+2,
由 B(-4,-3),C(-1,0)得:
BD2=2,CD2=20,BC2=18,
∴BD2+ BC2=CD
,即CBD 是直角三角形,∠DBC=90°,
(i)过 B 作 BE∥CD,
y
E
C
x
O
B
D
则∠EBC=∠BCD,即点 P 在直线 BE 上,
设直线 BE 的解析式为:
y=2x+k,
将点 B(-4,-3)代入,得:
k=5,
即直线 BE 解析式为:
y=2x+5,
联立 y=2x+5,y=x2+6x+5,并解得:
⎧ x = 0⎧ x = -4
⎨或 ⎨(与 B 点重合,舍),
⎩ y = 5⎩ y = -3
∴P 点坐标为(0,5);
-
(ii)∵∠CBD=90°,取 CD 中点 F,得 F 点坐标为( -1, 2 )连接 BF,
y
C
x
O
F
B
D
则 BF=FC,∠FBC=∠BCD,
点 P 在直线 BF 上,由 B(-4,-3)、F(-2,-2)可得直线 BF 的解析式为:
1
2
1
2
⎪4
x =-
⎧ 3
⎩
(与 B 点重合,舍),
7
-);
24
综上所述,点 P 的坐标为:
(0,5),( -
3 7
- ).
2 4
6. (2019·甘肃兰州中考)二次函数y=ax2+bx+2 的图象交 x 轴于点 A(-1,0),点 B(4,0)两点,
交 y 轴于点 C.动点 M 从点 A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动,过点 M 作 MN⊥x 轴交直线
BC 于点 N,交抛物线于点 D,连接 AC,设运动的时间为 t 秒.
(1)求二次函数 y=ax2+bx+2 的表达式;
(2)连接 BD,当 t=
3
2
时,求△DNB 的面积;
(3)在直线 MN 上存在一点
,当PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时,求此时点 D 的坐标;
(4)当 t= 5
4
时,在直线 MN 上存在一点 Q,使得∠AQC+∠QAC=900,求点 Q 的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)将点 A(-1,0),点 B(4,0)代入 y=ax2+bx+2 中,得:
⎧a - b + 2 = 0
⎨
a =-
3
⎪⎩ 2
⎧ 1
,
二次函数的表达式为:
y=-
1 3
x2+
2 2
x+2.
(2)∵ t=
∴AM=3,
∵OA=1,
∴OM=2,
3
2
,
设直线 BC 的解析式为:
y=kx+b(k≠0),将点 C(0,2)、B(4,0)代入,得:
⎧1
k =-
⎨,解得:
⎨2 ,
⎩4k + b = 0
即直线 BC 的解析式为:
y=-
1
2
x+2.
131
将 x=2 分别代入 y=-x2+x+2 和 y=-x+2 中,得:
D(2,3)、N(2,1)
222
∴DN=2,
∴ S △DNB 1
×2×2=2.
(3)过点 P 作 x 轴的平行线,交 y 轴于点 E,过点 B 作 y 轴的平行线,交 EP 的延长线于点 F,
y
D
C
N
M
B x
A
O
E
P F
⎩n = -1
3
m2+m+2)、E(0,n)、P(m,n)、F(4,n),由题意得:
22
△PEC≌△BFP,
∴PE=BF, CE=PF,
⎧
∴ ⎨4 - m = 2 - n
⎩- n = m
⎧m = 1
∴ ⎨
点 D 的坐标为:
(1,3).
5
时,AM=,此时 M 点在二次函数的对称轴上,
42
以 M 点为圆心,AM 长为半径作圆,交 MN 于 Q1、Q2 两点,
∵C(0,2),M( 3
2
,0),
∴CM= 5
2
=R,
∴C 点在该圆上,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∵∠CQ1A=∠CAB,
∴∠CQ1A+∠CBA=90°,
∠CQ2A+∠CBA=90°,
535
,)或(,-).
2222
7. (2019·山东聊城中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(﹣2,
0),点 B(4,0),与 y 轴交于点 C(0,8),连接 BC,又已知位于 y 轴右侧且垂直于 x 轴的动直线 l,沿 x
轴正方向从 O 运动到 B(不含 O 点和 B 点),且分别交抛物线、线段 BC 以及 x 轴于点 P,D,E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接 AC,AP,当直线 l 运动时,求使得△PEA 和△AOC 相似的点 P 的坐标;
(3)作 PF⊥BC,垂足为 F,当直线 l 运动时,求
PFD 面积的最大值.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)将点 A、B、C 的坐标代入二次函数表达式得:
⎧ 4a - 2b + c = 0⎧a = -1
⎪⎪
⎩⎩
故抛物线的表达式为:
y=﹣x2+2x+8;
(2)∵点 A(﹣2,0)、C(0,8),
∴OA=2,OC=8,
∵l⊥x 轴,
∴∠PEA=∠AOC=90°,
∵∠PAE≠∠CAO,
∴当∠PEA=∠AOC 时,PEA△∽AOC,
PEAEPE
=,即:
=
OCOA82
,
∴AE=4PE,
设点 P 的纵坐标为 y,则 PE=y,AE=4y,
∴OE=4y﹣2,
将点 P 坐标(4y﹣2,y)代入二次函数表达式并解得:
y=0(舍去)或
23
16
,
1523
416
(3)在
PFD 中,∠PFD=∠COB=90°,
∵l∥y 轴,
∴∠PDF=∠COB,
∴
PFD∽
BOC,
S⎛ PD ⎫2
S⎝ BC ⎭
V BOC
⎛ PD ⎫2
⎝ BC ⎭
⎛ PD ⎫21
⎝ 4 5 ⎭2
1
= ⨯ PD2 ,
5
设直线 BC 的解析式为:
y=kx+b,将 B、C 坐标代入并解得,
直线 BC 的表达式为:
y=﹣2x+8,
设点 P(m,﹣m2+2m+8),则点 D(m,﹣2m+8),
则 PD=﹣m2+2m+8+2m﹣8=﹣(m﹣2)2+4,
∴当 m=2 时,PD 的最大值为 4,
∴当 PD=4 时,△PDF 的面积最大,最大值为:
1
5
PD 2 =
16
5
.
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