完整版高等代数多项式习题解答.docx
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完整版高等代数多项式习题解答
第一章多项式习题解答
1.用g(x)除f(x),求商q(x)与余式r(x).
1)f(x)x3
3x2
x1,g(x)3x2
2x
1
3x2
2x1
x3
3x2
x1
1x
7
x3
2
x2
1
x
3
9
3
3
7x2
4x
1
3
3
7x214x
7
3
9
9
26x
2
9
9
1
x
7
r(x)
26
x
2
q(x)
9
9
.
3
9
2)f(x)x4
2x5,g(x)x2
x2
x2
x2x4
0x3
0x2
2x5x2
x1
x4
x3
2x2
x3
2x2
2x
x3
x2
2x
x2
4x
5
x2
x
2
5x
7
q(x)x2
x1,r(x)
5x7.
2.m,p,q合适什么条件时,有
1)x2
mx1|x3
pxq
x2
mx1
x3
0x2
pxq
xm
x3
mx2
x
mx2
(p1)x
q
mx2
m2x
m
(m2
p
1)x(qm)
当且仅当m2
p10,q
m时
x2
mx
1|x3
pxq.
1
此题也可用待定系数法求解
.当x2
mx
1|x3
px
q时,用x2
mx
1去除
x3
pxq,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为
x
q.于是有
x3
px
q
(x
q)(x2
mx
1)
x3
(m
q)x2
(mq
1)x
q.
所以有m2
p
1
0,q
m.
2)x2
mx1|x4
px2
q
由带余除法可得
x4
px2
q(x2
mx1)(x2
mxp1m2)m(2pm2)x(q1pm2)
当且仅当r(x)
m(2
pm2)x(q
1
p
m2)
0时x2
mx
1|x4
px2
q.即
m(2pm2)0
,即
m0,
或
pm2
2,
q1pm2
0
q1p,
q1.
此题也可用待定系数法求解.当x2
mx
1|x4
px2
q时,用x2
mx
1去除
x4
px2
q,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为
x2
ax
q.于是
有
x4
px2
q
(x2
ax
q)(x2
mx
1)
x4
(m
a)x3
(ma
q
1)x2
(a
mq)x
q.
比较系数可得m
a
0,
ma
q
1
p,
a
mq
0.
消去a可得
m
0,
或
p
m2
2,
q1
q
1.
p,
3.求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x).
1)f(x)2x5
5x3
8x,g(x)x3;
解:
运用综合除法可得
32
0
5
0
8
0
6
18
39
117
327
2
6
13
39
109
327
商为q(x)
2x4
6x3
13x2
39x
109,余式为r(x)
327.
2
2)f(x)x3x2x,g(x)x12i.
解:
运用综合除法得:
1
2i1
1
1
0
1
2i
4
2i
9
8i
1
2i
5
2i
9
8i
商为x2
2ix
(5
2i),余式为9
8i.
4.把f(x)表成x
x0的方幂和,即表示成
c0
c1(x
x0)
c2(xx0)2
的形
式.
1)f(x)
x5,x01;
2)f(x)x4
2x2
3,x0
2;
3)f(x)
x4
2ix3
(1
i)x2
3x
7
i,x0
1.
剖析:
假定f(x)
为n次多项式,令
f(x)
c0
c1(x
x0)
c2(x
x0)2
cn(x
x0)n
c0
(xx0)[c1
c2(xx0)
cn(xx0)n1]
c0即为x
x0
除f(x)所得的余式,商为q(x)
c1
c2(x
x0)
cn(xx0)n1.近似
可得c1为x
x0除商q(x)所得的余式,挨次持续即可求得睁开式的各项系数.
解:
1)解法一:
应用综合除法得.
11
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
2
3
4
11
2
3
4
5
1
3
6
11
3
6
10
1
4
11
4
10
1
15
3
f(x)x5
(x1)5
5(x1)4
10(x1)3
10(x1)2
5(x1)1.
解法二:
把x表示成(x1)1,而后用二项式睁开
x5[(x1)1]5(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1
2)仿上可得
21
0
2
0
3
2
4
4
8
21
2
2
4
11
2
8
20
21
4
10
24
2
12
21
6
22
2
1
8
f(x)1124(x
2)
22(x
2)2
8(x
2)3
(x
2)4.
3)由于
i1
2i
1i
3
7i
i
1
1
4i
i1
i
i
4
7
5i
i
0
1
i1
0
i
5
i
1
i1
i
1
i
i
1
2i
f(x)
x4
2ix3
(1
i)x2
3x
7
i
(7
5i)
5(x
i)(1
i)(x
i)2
2i(xi)3
(xi)4.
5.求f(x)与g(x)的最大公因式
1)f(x)x4
x3
3x2
4x1,g(x)x3
x2
x1
解法一:
利用因式分解
f(x)x4
x3
3x2
4x1(x1)(x3
3x1),
4
g(x)x3
x2
x1(x1)2(x1).
所以最大公因式为x
1.
解法二:
运用展转相除法得
q2(x)
1
x
1x3
x2
x1x4
x3
3x2
4x1
xq1(x)
2
4x3
3x2
1x
x4
x3
x2
x
1
2
3
2
r1(x)
2x2
3x
1
8
x
4
q3(x)
2
x
x
1
2x2
2x
3
3
2
2
1x2
3x
1
x
1
2
4
4
x
1
3
3
r2(x)
x
0
4
4
所以最大公因式为x
1.
2)f(x)x4
4x31,g(x)x3
3x21.
解:
运用展转相除法得(注意缺项系数补零)
3
2
4
3
2
x
4x0x
0x1x1q1(x)
q2(x)
1
x
10
x
3x
0x
1
3
9
3
12
2
x
x4
3x3
0x2
x
x
x
3
3
x
3
0x
2
x
1
10x2
2x1
x3
3x2
0x1
3
3
r1(x)
3x2
x
2
10x2
10x
20
27
x
441
3
9
9
3x2
33x
16
256
r2(x)
16
x
11
16
9
9
49
x
2
16
49x
539
16
256
r3(x)
27
256
(f(x),g(x))
1.
3)f(x)x410x2
1,g(x)x4
42x3
6x2
42x1.
g(x)
f(x)42(x
3
22x2
x)
f(x)r(x),
1
f(x)
(x3
2
2x2
x)(x
2
2)
(x2
2
2x
1)
4
1
r1(x)(x
22)r2(x),
2
4
1r1(x)x3
22x2
xx(x2
22x1)
r2(x)x,
2
所以
(
f
(
x
),
g
(
))
x
2
2
2
x
1.
x
5
6.求u(x),v(x)使u(x)f(x)
v(x)g(x)
(f(x),g(x)):
1)f(x)x4
2x3
x2
4x2,g(x)x4
x3
x2
2x2;
解:
运用展转相除法得:
q2(x)x
1x4
x3
x2
2x
2x4
2x3
x2
4x
21
q1(x)
x4
2x2
x4
x3
x2
2x2
x3
x2
2x
r1(x)
x3
2x
x
q3(x)
x3
2x
x3
2x
r2(x)
x2
2
0
所以(f(x),g(x))
r2(x)
x2
2.且有
f(x)g(x)q1(x)r1(x),g(x)r1(x)q2(x)r2(x),r1(x)
r2(x)q3(x).
于是r2(x)g(x)
r1(x)q2(x)
g(x)[f(x)
g(x)q1(x)]q2(x)
q2(x)f(x)[1q1(x)q2(x)]g(x).
u(x)
q2(x)
x1,v(x)1q1(x)q2(x)x2.
2)f(x)
4x4
2x3
16x2
5x
9,g(x)
2x3
x2
5x
4;
解:
运用展转相除法得:
q2(x)
1x
12x3
x2
5x44x4
2x316x2
5x9
2xq1(x)
3
32x3
x2
3x
4x4
2x310x2
8x
2x2
2x4
r1(x)
6x2
3x96x9q3(x)
2x2
x
3
6x2
6x
r2(x)
x1
9x
9
9x
9
0
所以(f(x),g(x))
r2(x)
x
1.且有
f(x)
g(x)q1(x)r1(x),g(x)r1(x)q2(x)r2(x),r1(x)
r2(x)q3(x).
于是r2(x)g(x)r1(x)q2(x)
g(x)[f(x)
g(x)q1(x)]q2(x)
q2(x)f(x)[1
q1(x)q2(x)]g(x)
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