正弦定理和余弦定理知识点总结附答案.docx
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正弦定理和余弦定理知识点总结附答案
高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定
(2)在△ABC中,已知次是.
sinA∶sinB=2∶1,c2=b2+2bc,则三内角A,B,C的度数依
)
例1、
(1)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=45°,则满足条件的三角形有(
1
(3)(2015·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sinB=2,
π
C=π6,则
b=.
答案
(1)B
(2)45°,30°,105°(3)1
解析
(1)∵bsinA=6×22=3,∴bsinA ∴满足条件的三角形有2个. (2)由题意知a=2b,a2=b2+c2-2bccosA, 222 即2b2=b2+c2-2bccosA, 又c2=b2+2bc, 21 ∴cosA=2,A=45°,sinB=2,B=30°,∴C=105 【感悟提升】 (1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法: 根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. ②几何图形法: 根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 变式探究】 (1)已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取 值范围是() A.x>2B.x<2 C.2 (2)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=3,则AB= 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解,则必有a>b,∴x>2, ax2 又由sinA=sinB=×<1, b22 可得x<22, ∴x的取值范围是2 (2)∵A=60°,AC=2,BC=3, 设AB=x,由余弦定理,得 BC=AC+AB-2AC·ABcosA, 化简得x-2x+1=0, ∴x=1,即AB=1. 高频考点二和三角形面积有关的问题 所以-cos2B=sin2C.① π3 又由A=4,即B+C=4π,得 3 -cos2B=-cos2π-C 4 =-cos2π-2C =sin2C=2sinCcosC,② 由①②解得tanC=2. 【感悟提升】 111 (1)对于面积公式S=2absinC=2acsinB=2bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积. 解 (1)由题设A与C互补及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,① BD=AB+DA-2AB·DAcosA=5+4cosC.② 由①②得cosC=2,BD=7, 因为C为三角形内角,故C=60° (2)四边形ABCD的面积 11 S=2AB·DAsinA+2BC·CDsinC 11 =2×1×2+2×3×2sin60° =23. 高频考点三正弦、余弦定理的简单应用 c 例3、 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 b A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形 2Ba+c (2)在△ABC中,cos=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为() 22c A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B 【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC, △ABD面积是△ADC面积的2倍. sinB (1)求; sinC 解 (1)S△ABD=2AB·ADsin∠BAD, 1 S△ADC=2AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. sinBAC1由正弦定理可得sinC=AB=2. (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC=AD+DC-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6, 由 (1)知AB=2AC,所以AC=1. 【感悟提升】 (1)判断三角形形状的方法 ①化边: 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. ②化角: 通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应 用A+B+C=π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理. 【变式探究】 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,若c-acosB =(2a-b)cosA,则△ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 AD (2)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=232,AB=32, =3,则BD的长为. 答案 (1)D (2)3 π (2)sin∠BAC=sin(2+∠BAD)=cos∠BAD, BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD 即BD2=3,BD=3. π 1, 1.已知△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=3,b=2acosB,c=则△ABC的面积等于() c 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=2B,则为() b A.2sinCB.2cosB C.2sinBD.2cosC sinC 解析: 由于C=2B,故sinC=sin2B=2sinBcosB,所以sinC=2cosB,由正弦定理可得sinB sinC==2cosB,故选B。 sinB 答案: B c-bsinA 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=() c-asinC+sinB 答案: C 1 4.在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lgb+c,则A=() b+c A.90°B.60° C.120°D.150° 222sin2B-sin2Aa,b,c.若3a=2b,则sin2A的值为() A. C.1 答案: D sinA+sinB的最大值是() A.1 D.3 解析: 由csinA=3acosC,所以sinCsinA=3sinAcosC,即sinC=3cosC,所以tanC=3,C=3,A=3-B,所以sinA+sinB=sin3-B+sinB=3sinB+6, 2πππ5π ∵0 答案: C 8. 在△ABC中,若a2+b2 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】C 【解析】由余弦定理 222: a+b-2abcosC=c 222 因为a2+b2 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=() A. B. C. D. 答案】C. 10. a,b,c.若C=120°,c=a,则( 在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为>b 答案】A 解析】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,
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