初三数学上学期全套教案.docx
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初三数学上学期全套教案
第1讲:
一元二次方程定义6
第2讲:
一元二次方程解法111
第3讲:
一元二次方程解法218
第4讲:
一元二次方程解法323
第5讲:
一元二次方程的应用129
第6讲:
一元二次方程的应用233
第7讲:
二次函数图像与性质54
第8讲:
二次函数与一元二次方程59
第9讲:
实际问题与二次函数67
第10讲:
旋转71
第11讲:
圆的有关性质181
第12讲:
圆的有关性质290
第13讲:
点和圆、直线和圆的位置关系94
第14讲:
正多边形和圆97
第15讲:
概率初步104
第16讲:
期末检测105
第1讲一元二次方程的定义
一、【教学要求、目标】
1.知道一元二次方程的定义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2bxc0
(a≠0)
2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中
使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。
3.会用试验的方法估计一元二次方程的解。
二、【教学重点、难点】
1.一元二次方程的意义及一般形式,会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2.理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
三、【课堂精讲】
1、一元二次方程的引入建立模型(为什么学?
学了有什么用?
用到哪些地方?
)
建立一元二次方程模型的步骤是:
审题、设未知数、列方程。
注意:
(1)审题过程是找出已知量、未知量及等量关系;
(2)设未知数要带单位;(3)建立一元
二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例如图
(1),有一个面积为150㎡的长方形鸡场,鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,
若竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少?
鸡场
(只设未知数,列出方程,并将它化成一般形式)
2、一元二次方程的定义:
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程称为一元二次方程。
识别一元二次方程必须抓住三个方面:
(1)整式方程
(2)含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2。
注意:
要化成一般式
【例一】下列方程中哪些是一元二次方程?
哪些不是?
说说你的理由.
(1)
x2
16
(2)
x2
5x
12
0
(3)
x2
2y
3
0
(4)
1
x
3
0
(5)
x2
0
(6)
x4
2x2
5
0
x2
【例二】若方程
m
2xm1
0是关于x的一元一次方程,
⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。
课堂练习:
1
、若(k+4)x2-3x-2=0
是关于x的一元二次方程,则
k的取值范围是________.
2
、若(m-2)
x
m
+x-3=0是关于x的一元二次方程,则
m的值是________.
3
、若(m-1)
x2
+
mx=4
是关于x的一元二次方程,则
m的取值范围是().
(A)m≠1
(B)m>1
(C)m≥0且m≠1
(D)任何实数
3、一元二次方程的一般形式ax2
bxc
0(a0)
一般地,任何一个关于
x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下的形式:
ax2
bxc
0(a
0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中
ax2是二次项,a是二
次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项.
【整理后】ax2是二次项,a是二次项系数,
bx
是一次项,b是一次项系数,
c是常数项.
例1
把(x3)(x4)
6
化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和
常数项。
解:
移项,整理,得
x2
x
6
0
二次项系数为1,一次项系数为
1,常数项为
6
。
例2
已知关于x的方程
m
1xm22
m1x
2
0是一元二次方程时,则m
例3
指出mx2-nx-mx+nx
2=p
二次项,一次项,二次项系数,一次项系数,
解:
变形为一般形式为:
(m+n)x2+(-n-m
)x
–p=0
二次项是(m+n)x2,二次项系数是
m+n;
一次项是(-n-m)x,一次项系数是
-n-m;
常数项是–p
课堂练习:
1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数,一次项,常数项。
①xx24x2
3x
2
2
②x8
4x2x1
x2
x1
③3
1
2
2
2
④mxnxmxnxqpmn0
4、方程的解的定义:
使方程两边左右相等的未知数的值,叫做这个方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
例如:
x=2,x=3
都是一元二次方程
x2-5x+6=0
的根。
例1:
已知方程
x2
kx
10
0的一根是
2,则
k为
例2:
若x=1是方程x2+ax+b=0的一个根,b≠0,则a+b的值是().
(A)-1(B)1(C)-3(D)3
例3:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根1和-1,那么a+b+c=_______,a-b+c=
_______.
例4:
已知m是方程x2-x-1=0的一个根,求代数式5m2-5m+2004的值.
例5.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次
方程.
分析:
要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17?
≠0即可.
证明:
m2-8m+17=
(m-4)2+1
∵(m-4)2≥0
∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0
∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
课堂练习:
1.方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?
在什么条件下此方程为一
元一次方程?
2.当m为何值时,方程(m+1)x/4m/-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程
四、【课后作业】
1.下列方程是一元二次方程的是.(只填序号).
(1)x2=5;
(2)x2+xy+3=0
1
;(3)x+
x
=2;(4)mx2+x+1=0(m≠0);(5)ax2+bx+c=0;
2
2
+3x+1=0
2
+1=0
;(8)2
x4
(6)
x
;(7)x
+x=0.
3
2.试写出一个含有未知数x的一元二次方程________.
3.若关于x的方程mx2+nx+p=0是一元二次方程,则m_______,n_______,p_____.
a21
4.若关于x的方程x+3x+5=0是一元二次方程,则a应满足________.
5.若(k+1)x2+(k-1)x+2=0是关于x的一元二次方程,则k________.
6.若关于x的方程(m2-1)x2+(m+1)x+3=0是一元二次方程,则m______;?
若是一元二次
方程,则m_______.
7.一元二次方程(2x+1)(x-1)=3x+1化为一般形式是________,二次项是______,一次项是
_______,常数项是_________
1
8.一元二次方程x2=7的二次项系数是_____,一次项系数是______,?
常数项是_______.
3
9.方程x+1=0的根是.
10.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则有________成立.
11.若x=-1是方程(a2-1)x2+x+1=0的解,则a=_________.
12.m满足什么条件时,方程mx2+4x+3=0的根是1?
13、若px2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程,则().
A.p=1B.p>0C.p0D.P为任意实数
14、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别是1和2,则b=c=_________
15、方程2(x+2)+8=3x(x-1)的一般形式是,二次项系数是_________,一次项
系数是_________,常数项是_________.
16、已知一元二次方程的两根分别为x1=3,x2=-4,则这个方程为()
A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0C.(x+3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0
17、已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是__________只(需写出一个过程)
k2
18.关于x的方程(k-2)x+8kx+1=0,当k满足什么条件时:
(1)它是一元二次方程?
(2)它是一元一次方程?
19.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)-c=0化成一般形式为4x2+3x+1=0,试求(2a+b)·3c
的值.
20.已知关于x的方程(m-3)x2+4x+m2-9=0的一个根是零,求m的值.
家长建议及评价:
家长签名:
第2讲一元二次方程的解法1
一、【教学要求、目标】
1、了解形如(xm)2=n(n≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法
2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程,进一步体会配方法是一种重要的数学方法
3、在用配方法解方程的过程中,体会转化的思想
二、【教学重点、难点】
学习重点:
会用直接开平方法解一元二次方程
使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
学习难点:
理解直接开平方法与平方根的定义的关系
2
把一元二次方程转化为的(xh)=k(k≥0)形式
三、【课堂精讲】
1、直接开平方法
什么叫直接开平方法?
像解x2=4,x2-2=0这样,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明:
运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程,就是把方程化为形如x2=a(a≥
0)或(x+h)2=k(k≥0)的形式,然后再根据平方根的意义求解
例1已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解,且有两个实数根,
则m、n必须满足的条件是()
A.n=0B.m、n异号C.n是m的整数倍D.m、n同号
典型例题:
例2解下列方程
(1)x2-1.21=0
(2)4x2-1=0
解:
(1)移向,得x2=1.21
(2)移向,得4x2=1
∵x是1.21的平方根
1
两边都除以4,得x2=
4
∴x=±1.1
∵x是1
的平方根
4
即x1=1.1,x2=-1.1
∴x=
1
1
1
即x1=
,x2=
2
2
2
例3解下列方程:
⑴(x+1)2=2⑵(x-1)2-4=0
⑶12(3-2x)2-3=0
解:
(1)∵x+1是2的平方根
(2)移项,得(x-1)2=4
∴x+1=2∵x-1是4的平方根
即x1=-1+2,x2=-1-2∴x-1=±2即x1=3,x2=-1
(3)移项,得12(3-2x)2=3
两边都除以12,得(3-2x)2=0.25
∵3-2x是0.25的平方根
5
7
∴3-2x=
±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x1=
4
,x2=
4
课堂练习:
(1)x2
225;
(2)y21440
(3)解方程(2x-1)2=(x-2)2
(4)(x
1)2
9;
(5)(2x1)2
3;
(6)(6x1)2
250.
2、配方法解方程
(1).什么是配方法?
什么是平方根?
什么是完全平方式?
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配
方法(solvingbycompletingthesquare)用配方法解一元二次方程的方法的助手:
如果x2=a,那么x=a.x就是a的平方根
式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2
(2)用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-16=0
;
(2)x2+3x-2=0;
(3)请你思考方程
2
-
5
与方程
2x
2
-5x+2=0
有什么关系?
x
x+1=0
2
后一个方程中的二次项系数变为
1,即方程两边都除以
2就得到前一个方程
,这样就转化为学过的方程
的形式,用配方法即可求出方程的解
问题1:
如何用配方法解方程2x2-5x+2=0呢?
解:
两边都除以
2,得x2-
5
x+1=0
系数化为1
2
移项,得x2-
5
x=-1
移项
2
2
2
2
配方,得x2-
5
x+
5
1
5
即x
5
9
配方
2
4
4
4
16
开方,得x
5
3
开方
4
4
1
定根
∴x1=,x2=2
2
对于二次项系数不为1的一元二次议程,我们可以先将两边都除以二次项系数,再利用配方法求解
配方法归纳
1一元二次方程x2+px+q=0用配方法求解时,转化为x2px(p)2(p)2q,然后用开平方法
22
求解。
2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)用配方法求解时,首先将二次项系数化为1,即转化为
x2bx
c
0,再配成x2bx
(b)2
(b)2
c,最后用开平方法求解。
a
a
a
2a
2a
a
课堂练习:
(1)x2+2x-35=0
(2)2x2-4x-1=0
(3)x2-8x+7=0(4)(1+x)2+2(1+x)-4=0
(5)用配方法求2x2-7x+2的最小值?
(6)用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0?
四、【课后作业】
1、解下列方程:
(1)(x1)29;
(2)(2x1)23;(3)(6x1)2250.
2、解方程81(x2)216.
3、用直接开平方法解下列方程:
(1)5(2y1)2
180;
(2)
1(3x1)2
64;
4
4、填空
(1)x28x
(2)x22x3
(3)y2bya
()(x)2.
()=(x)2.
()=(y)2.
5.用配方法解方程3x2
6x10.
2x2
3x10.
6.解方程:
2x25x40.
7.用配方法证明:
(1)a2a1的值恒为正;
(2)9x28x2的值恒小于0.
家长建议及评价:
家长签名:
第3讲一元二次方程的解法2
一、【教学要求、目标】
1、会用公式法解一元二次方程
2、学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,明确运用公式求根的前提条件是b2-4ac≥0
3、能用△=b2-4ac的值判别一元二次方程根的情况
4、用公式法解一元二次方程的过程中,进一步理解代数式
△=2
-4
ac
对根的情况的判断作用
b
二、【教学重点、难点】
学习重点:
掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程
一元二次方程的根的情况与系数的关系(韦达定理)
学习难点:
求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值
三、【课堂精讲】
1、求根公式法解方程
如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)?
回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流,达成共识:
解:
因为a
0,所以方程两边都除以
a,得
x2b
x
c
0
a
a
移项,得
x2
bx
c
a
a
配方,得
x2
2
b
x
(b)2
c
(b)2
2a
2a
a
2a
即
(x
b)2
b2
4ac
2a
4a2
(这样原方程就化成了(x+h)2=k的形式)能用直接开平方解吗?
什么条件下就能用直接开平方
解了?
当b2
4ac
0,且a
0时,b2
4ac
大于等于零吗?
4a2
让学生思考、分析,发表意见,得出结论:
因为a
0,所以4a2
0,从而b2
4ac
0
4a2
当b2
4ac
0时,得x
b
b2
4ac
2a
2a
所以
b
b2
4ac
即
bb2
4ac
x
2a
x
2a
2a
到此,你能得出什么结论?
一般地,对于一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0),
当b2
4ac0时,它的根是x
bb2
4ac(b2
4ac
0)
2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公式解一元二次方程的方法叫
做公式法。
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的,利用这个公
式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解。
(1)为什么在得出求根公式时有限制条件b2-4ac≥0?
(2)在一元二次方程ax2bxc0(a0)中,如果b2-4ac<0,那么方程有实数根
吗?
为什么?
在用配方法求ax
2
b
)
2
b2
4ac
,因为负数没有平方
bxc0(a0)的根时,得(x
4a2
2a
根,所以b2
4ac
0
在一元二次
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