初高中数学衔接二次函数.docx
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初高中数学衔接二次函数
第三讲一元二次方程与二次函数
知识清单
1、二次方程
(1)一般形式是:
ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)二次方根(实数根)的求法
根的个数
两个
一个
无
判别式△
方法
常用:
①求根公式
②十字因式分解法
③配方法(常用)
(3)公式记忆
①△=
②求根公式
③根与系数(韦达定理)
2、二次函数的概念、图象和性质
(a>0)
二次函数图像
注意
①(0,c)
②对称轴:
③顶点()
判别式
二次不等式口诀:
二次函数的形式:
①一般式:
②顶点式:
③两根式:
问题一:
二次方程根的求法
例1:
用适当的方法解方程:
(1)2(x+2)2-8=0
(2)x(x-3)=x
(3)
x2=6x-
(4)(x+3)2+3(x+3)-4=0
点评:
写出每个分解的方法
变式1:
判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根。
(1)x2-3x+3=0;
(2)x2-ax+(a-1)=0;
点评:
当二次方程系数含参数求根时,需注意什么:
________
问题二:
韦达定理的应用
例2:
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。
点评:
要用两种以上的方法求解:
变式1:
已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大于21,求m的值。
变式2:
.若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的两个根,试求下列各式的值:
(1)
+
;
(2)
+
;
(3)(x1-5)(x2-5);(4)
.
问题三:
二次函数解析式的求法
例3:
已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式。
变式1、已知二次函数的图象过点(-3,0),(1.0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式。
变式2、已知二次函数的图像过点
,求此函数的表达式
变式3、把二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到函数y=x2的图象,求b,c的值。
点评:
当选择二次函数解析式的形式时,应该注意的条件式什么。
请总结:
问题4、二次函数最值的应用
例4:
当x≥0时,求函数y=-x(2-x)的取值围。
变式1:
当1≤x≤2时,求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值。
变式2(拓展):
当t≤x≤t+1时,求函数y=
的最小值(其中t为常数)。
问题5、二次不等式的求解
例5:
已知二次函数y=x2-x-6,当取x何值时,y=0?
当取x何值时,y<0?
点评:
怎样解关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)呢?
变式1:
解下列不等式:
(1)x2-2x-8<0;
(2)x2-4x+4≤0;(3)x2-x+2<0.
变式2:
已知对于任意实数x,kx2-2x+k恒为正数,数k的取值围。
变式3(拓展):
解关于x的不等式x2-x-a(a-1)>0
问题6、二次函数的实际应用
例6:
某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,30≤x≤54.
(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式;
(2)若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定位多少最合适?
最大销售利润为多少?
巩固扩展
1.选择题:
(1)方程x2-2
kx+3k2=0的根的情况是()
A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根D.没有实数根
(2)若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值围是()
A.m<
B、m>-
C、m<
,且m
0D、m>
,且m
0
2.填空:
(1)若a为方程x2+x-5=0的解,则a2+a+1的值为_____。
(2)方程mx2+x-2m=0(m
0)的根的情况是_____。
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根?
有两个相等的实数根?
没有实数根?
4.用适当的方法解下列一元二次方程;
(1)x2-5x+1=0;
(2)3(x-2)2=x(x-2);
(3)2x2-2
x-5=0;(4)(y+2)2=(3y-1)2
5、已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是()
A.-3B.3C.-2D.2
6、下列四个说法:
方程x2+2x-7=0的两个根之和为-2,两根之积为-7;
方程x2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
方程3x2-7=0的两根之和为0,两根之积为-
④方程3x2+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确的说法的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7、关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()
A.0B.1C.-1D.0或-1
8、填空
(1)方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k=____
(2)方程2x2-x-4=0的两根为α,β,则α2+β2=____
(3)已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2.则它的另一个根是____
(4)方程2x2+2x-1=0的两个根为x1和x2,则
____
9、求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数。
10、关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x1和x2满足
2,数m的值。
11、函数y=-x2+x-1的图象与x轴的交点个数是()
A.0个B.1个C.2个D.无法确定
12、函数y=-
+2的顶点坐标是()
A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)
13、已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a_____(a≠0)
14、二次函数y=-x2+2√3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为____。
15、根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式。
(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1),B(1,0),C(-1,2);
(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1);
(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0),(5,0),且与y轴交于点(0,-3);
(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点的距离为4.
16、抛物线y=x2-(m-4)x+2m-3,当m=_____时,图象的顶点在y轴上;当m=____时,图象的顶点在x轴上;当m=___时,图象过原点。
17、用一长度为L米的铁丝围成一个长方形或形,则其中所围成的最大面积为____。
18、设a>0,当-1≤x≤1时,函数y=-x2-ax+b+1的最小值是-4,最大值是0,求a,b的值。
19、已知函数y=x2+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值为4,求a的值。
20、解下列不等式;
(1)2x2+x<0;
(2)x2-3x-18≤0
(3)-x2+x≥3x+1;(4)x(x+9)>3(x-3).
21、已知关于x的不等式mx2-x+m<0的解是一切实数,求m的取值围。
22、解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0.
23、、已知不等式
的解是
,求不等式
的解。
24、某种产品的成本是120元∕件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示:
x∕元
130
150
165
y∕件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?
此时每天的销售利润是多少?
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