数学建模入门基本知识.docx
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数学建模入门基本知识.docx
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数学建模入门基本知识
数学建模知识
——之新手上路
一、数学模型定义
现在数学模型还没有一个统一准确定义,因为站在不同角度可以有不同定义。
不过我们可以给出如下定义:
“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目而作一个抽象、简化结构。
”具体来说,数学模型就是为了某种目,用字母、数学及其它数学符号建立起来等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物特征及其内在联系数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明:
数学是在实际应用需求中产生,要解决实际问题就必需建立数学模型,从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如,欧几里德几何就是一个古老数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模一个光辉典范。
今天,数学以空前广度和深度向其它科学技术领域渗透,过去很少应用数学领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起,计算机普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要意义。
二、建立数学模型方法和步骤
1.模型准备
要了解问题实际背景,明确建模目,搜集必需各种信息,尽量弄清对象特征。
2.模型假设
根据对象特征和建模目,对问题进行必要、合理简化,用精确语言作出假设,是建模至关重要一步。
如果对问题所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳行为,所以高超建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化。
3.模型构成
根据所作假设分析对象因果关系,利用对象内在规律和适当数学工具,构造各个量间等式关系或其它数学结构。
这时,我们便会进入一个广阔应用数学天地,这里在高数、概率老人膝下,有许多可爱孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天。
不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值。
4.模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统和近代数学方法,特别是计算机技术。
一道实际问题解决往往需要纷繁计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
5.模型分析
对模型解答进行数学上分析。
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,能否对模型结果作出细致精当分析,决定了你模型能否达到更高档次。
还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析。
例题:
一个笼子里装有鸡和兔若干只,已知它们共有8个头和22只脚,问该笼子中有多少只鸡和多少只兔?
解:
设笼中有鸡x只,有兔y只,由已知条件有
x+y=8
2x+4y=22
求解如上二元方程后,得解x=5,y=3,即该笼子中有鸡5只,有兔3只。
将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。
根据例题可以得出如下数学建模步骤:
1)根据问题背景和建模目做出假设(本题隐含假设鸡兔是正常,畸形鸡兔除外)
2)用字母表示要求未知量
3)根据已知常识列出数学式子或图形(本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有2只脚,兔有4只脚)
4)求出数学式子解答
5)验证所得结果正确性
这就是数学建模一般步骤
三、数模竞赛出题指导思想
传统数学竞赛一般偏重理论知识,它要考查内容单一,数据简单明确,不允许用计算器完成。
对此而言,数模竞赛题是一个“课题”,大部分都源于生产实际或者科学研究过程中,它是一个综合性问题,数据庞大,需要用计算机来完成。
其答案往往不是唯一(数学模型是实际模拟,是实际问题近似表达,它完成是在某种合理假设下,因此其只能是较优,不唯一),呈报成果是一篇论文。
由此可见“数模竞赛”偏重于应用,它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章写作能力为辅综合能力竞赛。
四、竞赛中常见题型
赛题题型结构形式有三个基本组成部分:
1.实际问题背景
涉及面宽——有社会,经济,管理,生活,环境,自然现象,工程技术,现代科学中出现新问题等。
一般都有一个比较确切现实问题。
2.若干假设条件
有如下几种情况:
1)只有过程、规则等定性假设,无具体定量数据;
2)给出若干实测或统计数据;
3)给出若干参数或图形;
4)蕴涵着某些机动、可发挥补充假设条件,或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。
3.要求回答问题
往往有几个问题,而且一般不是唯一答案。
一般包含以下两部分:
1)比较确定性答案(基本答案);
2)更细致或更高层次讨论结果(往往是讨论最优方案提法和结果)。
五、提交一篇论文,基本内容和格式是什么?
提交一篇论文,基本内容和格式大致分三大部分:
1.标题、摘要部分
题目——写出较确切题目(不能只写A题、B题)。
摘要——200-300字,包括模型主要特点、建模方法和主要结果。
内容较多时最好有个目录。
2.中心部分
1)问题提出,问题分析。
2)模型建立:
①补充假设条件,明确概念,引进参数;
②模型形式(可有多个形式模型);
③模型求解;
④模型性质;
3)计算方法设计和计算机实现。
4)结果分析及检验。
5)讨论——模型优缺点,改进方向,推广新思想。
6)参考文献——也有特定格式。
3.附录部分
计算程序,框图。
各种求解演算过程,计算中间结果。
各种图形、表格。
(论文有其严格格式,这里只是一点挂一漏万表述,详细内容留有下期,敬请观看)
六、参加数学建模竞赛是不是需要学习很多知识?
没有必要很系统学很多数学知识,这是时间和精力不允许。
很多优秀论文,其高明之处并不是用了多少数学知识,而是思维比较全面、贴合实际、能解决问题或是有所创新。
有时候,在论文中可能碰见一些没有学过知识,怎么办?
现学现用,在优秀论文中用过数学知识就是最有可能在数学建模竞赛中用到,你当然有必要去翻一翻。
具体说来,大概有以下这三个方面:
第一方面:
数学知识应用能力
归结起来大体上有以下几类:
1)概率及数理统计
2)统筹及线轴规划
3)微分方程;
相关数学基础知识包括
1、线性规划6、最优化理论
2、非线性规划7、管理运筹学
3、离散数学8、差分方程
4、概率统计9、层次分析
5、常微分方程
还有及计算机知识交叉知识:
计算机模拟。
上述内容有些同学完全没有学过,也有些同学只学过一点概率及数理统计,微分方程知识怎么办呢?
一个词“自学”,记得数模评卷负责教师曾经说过“能用最简单浅易数学方法解决了别人用高深理论才能解决答卷是更优秀答卷”。
第二方面:
计算机运用能力
一般来说凡参加过数模竞赛同学都能熟练地应用字处理软件“Word”,掌握电子表格“Excel”使用;“Mathematica”软件使用,最好还具备语言能力。
这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习。
第三方面:
论文写作能力
前面已经说过考卷全文是论文式,文章书写有比较严格格式。
要清楚地表达自己想法并不容易,有时一个问题没说清楚就又说另一个问题了。
评卷教师们有一个共识,一篇文章用10来分钟阅读仍然没有引起兴趣话,这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。
七、如何从建模例题中学习解题方法
在看例题时候,要看例题是如何作,即是如何切入,如何选择合理假设,如何分析建立模型等。
数学建模方法常见有:
一、机理分析法从基本物理定律以及系统结构数据来推导出模型。
1.比例分析法--建立变量之间函数关系最基本最常用方法。
2.代数方法--求解离散问题(离散数据、符号、图形)主要方法。
3.逻辑方法--是数学理论研究重要方法,对社会学和经济学等领域实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用。
4.常微分方程--解决两个变量之间变化规律,关键是建立"瞬时变化率"表达式。
5.偏微分方程--解决因变量及两个以上自变量之间变化规律。
二、数据分析法从大量观测数据利用统计方法建立数学模型
1.回归分析法--用于对函数f(x)一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数表达式,由于处理是静态独立数据,故称为数理统计方法。
2.时序分析法--处理是动态相关数据,又称为过程统计方法。
三、仿真和其他方法
1.计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验。
①离散系统仿真--有一组状态变量。
②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2.因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需模型结构。
八、小组中应该如何分工?
传统标准答案是——数学,编程,写作。
其实分工不用那么明确,但有个前提是大家关系很好。
不然话,很容易产生矛盾。
分工太明确了,会让人产生依赖思想,不愿去动脑子。
理想分工是这样:
数学建模竞赛小组中每一个人,都能胜任其它人工作,就算小组只剩下她(他)一个人,也照样能够搞定数学建模竞赛。
在竞赛中分工,只是为了提高工作效率,做出更好结果。
具体建议如下:
一定要有一个人脑子比较活,善于思考问题,这个人勉强归于数学方面吧;一定要有一个人会编程序,能够实现一些算法。
另外需要有一个论文写比较好,不过写不好也没关系,多看一看别人优秀论文,多用几次Office就成了。
数学建模是一种科研工作,需要研究、讨论团队思维模式。
要分析、争论、相互启发、集思广义。
每个同学都要积极参及,积极思维。
若三人之间配合不好,会降低效率,导致整个建模学习失败。
数学建模知识
———之论文写作
一、写好数模答卷重要性
1.评定参赛队成绩好坏、高低,获奖级别,数模答卷,是唯一依据。
2.答卷是竞赛活动成绩结晶书面形式。
3.写好答卷训练,是科技写作一种基本训练。
二、答卷基本内容,需要重视问题
1.评阅原则
假设合理性,建模创造性,结果合理性,表述清晰程度。
2.答卷文章结构
1)摘要。
2)问题叙述,问题分析,背景分析等。
3)模型假设,符号说明(表)。
4)模型建立(问题分析,公式推导,基本模型,最终或简化模型等)。
5)模型求解计算方法设计或选择;算法设计或选择,算法思想依据,步骤及实现,计算框图;所采用软件名称;引用或建立必要数学命题和定理;求解方案及流程。
6)结果表示、分析及检验,误差分析,模型检验。
7)模型评价,特点,优缺点,改进方法,推广。
8)参考文献。
9)附录、计算框图、详细图表。
3.要重视问题
1)摘要。
包括:
a.模型数学归类(在数学上属于什么类型);
b.建模思想(思路);
c.算法思想(求解思路);
d.建模特点(模型优点,建模思想或方法,算法特点,结果检验,灵敏度分析,模型检验……);
e.主要结果(数值结果,结论;回答题目所问全部“问题”)。
▲注意表述:
准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮;打印最好,但要求符合文章格式。
务必认真校对。
2)问题重述。
3)模型假设。
根据全国组委会确定评阅原则,基本假设合理性很重要。
a.根据题目中条件作出假设
b.根据题目中要求作出假设
关键性假设不能缺;假设要切合题意。
4)模型建立。
a.基本模型:
ⅰ)首先要有数学模型:
数学公式、方案等;
ⅱ)基本模型,要求完整,正确,简明;
b.简化模型:
ⅰ)要明确说明简化思想,依据等;
ⅱ)简化后模型,尽可能完整给出;
c.模型要实用,有效,以解决问题有效为原则。
数学建模面临、要解决是实际问题,不追求数学上高(级)、深(刻)、难(度大)。
ⅰ)能用初等方法解决、就不用高级方法;
ⅱ)能用简单方法解决,就不用复杂方法;
ⅲ)能用被更多人看懂、理解方法,就不用只能少数人看懂、理解方法。
d.鼓励创新,但要切实,不要离题搞标新立异。
数模创新可出现在:
▲建模中,模型本身,简化好方法、好策略等;
▲模型求解中;
▲结果表示、分析、检验,模型检验;
▲推广部分。
e.在问题分析推导过程中,需要注意问题:
ⅰ)分析:
中肯、确切;
ⅱ)术语:
专业、内行;
ⅲ)原理、依据:
正确、明确;
ⅳ)表述:
简明,关键步骤要列出;
ⅴ)忌:
外行话,专业术语不明确,表述混乱,冗长。
5)模型求解。
a.需要建立数学命题时:
命题叙述要符合数学命题表述规范,尽可能论证严密。
b.需要说明计算方法或算法原理、思想、依据、步骤。
若采用现有软件,说明采用此软件理由,软件名称。
c.计算过程,中间结果可要可不要,不要列出。
d.设法算出合理数值结果。
6)结果分析、检验;模型检验及模型修正;结果表示。
a.最终数值结果正确性或合理性是第一位;
b.对数值结果或模拟结果进行必要检验;
结果不正确、不合理、或误差大时,分析原因,对算法、计算方法、或模型进行修正、改进。
c.题目中要求回答问题,数值结果,结论,须一一列出;
d.列数据问题:
考虑是否需要列出多组数据,或额外数据对数据进行比较、分析,为各种方案提出提供依据;
e.结果表示:
要集中,一目了然,直观,便于比较分析。
▲数值结果表示:
精心设计表格;可能话,用图形图表形式。
▲求解方案,用图示更好。
7)必要时对问题解答,作定性或规律性讨论。
最后结论要明确。
8)模型评价
优点突出,缺点不回避。
改变原题要求,重新建模可在此做。
推广或改进方向时,不要玩弄新数学术语。
9)参考文献
10)附录
详细结果,详细数据表格,可在此列出,但不要错,错宁可不列。
主要结果数据,应在正文中列出,不怕重复。
检查答卷主要三点,把三关:
a.模型正确性、合理性、创新性
b.结果正确性、合理性
c.文字表述清晰,分析精辟,摘要精彩
三、关于写答卷前思考和工作规划
答卷需要回答哪几个问题――建模需要解决哪几个问题;
问题以怎样方式回答――结果以怎样形式表示;
每个问题要列出哪些关键数据――建模要计算哪些关键数据;
每个量,列出一组还是多组数――要计算一组还是多组数。
四、答卷要求原理
1.准确――科学性;
2.条理――逻辑性;
3.简洁――数学美;
4.创新――研究、应用目标之一,人才培养需要;
5.实用――建模、实际问题要求。
五、建模理念
1.应用意识
要解决实际问题,结果、结论要符合实际;
模型、方法、结果要易于理解,便于实际应用;站在应用者立场上想问题,处理问题。
2.数学建模
用数学方法解决问题,要有数学模型;
问题模型数学抽象,方法有普适性、科学性,不局限于本具体问题解决。
3.创新意识
建模有特点,更加合理、科学、有效、符合实际;更有普遍应用意义;不单纯为创新而创新。
数学建模知识
——之参赛秘诀
1.时间和体力问题
竞赛中时间分配也很重要,分配不好可能完不成论文,所以开始时要大致做一下安排,不必分太细,比如第一天做第一小题,第二天做第二小题,这样反而会有压力。
开始阶段不忙写作,可以将一些小组讨论要点记录下来,不要太工整,随便一下,到第三天再开始写论文也不迟。
另外要说就是体力要跟上,三天一般睡眠只有不到10个小时。
建议是赛前熬夜编程几次,但比赛前一天可不许熬呀,呵呵。
2.团队合作是能否获奖关键
三天比赛中,团队交流所占用时间可能会超过一半。
当出现分歧时候应当如何解决是很关键,甚至直接决定你是否可以获奖,我建议是“妥协”,不要总认为自己观点是正确,多听听别人观点,在两者之间谋求共同点。
合作在竞赛前就应当培养,比如一块儿做一道题什么,充分利用每个人优点,也可以张三准备图论,李四准备最优化方法,然后几天后大家一块交流,这些都是可以磨合团队之间关系。
3.重视摘要
摘要首先不要写废话,也不要照抄题目一些话,直奔主题,要写明自己怎样分析问题,用什么方法解决问题,最重要是结论是什么要说清楚,在中国竞赛中不写结论话是一定不会得奖。
摘要至少需要琢磨两个小时,不要轻视了它重要性。
多看看优秀论文摘要是如何去写很有必要,并要作为赛前准备课题之一。
4.论文写作要正规
论文一定要大致按照摘要、问题重述、模型假设、符号说明、问题分析、(建立、分析、求解模型)、……、参考文献、附录等等方式来写。
一般初评会先淘汰一些结构失败文章,如果没有论文结构,内容再好也没有用。
论文前面结构一般都不会变,后面可以按照实际情况来安排自己结构,省略部分可以有结果说明、灵敏度分析、其他模型、模型扩展、优缺点分析等等东西,多看些优秀论文就知道还有哪些形式了,附录可以贴一些算法流程图或比较大结果或图表等等。
5.模型假设及模型建立
评委看完摘要后紧接着就是看模型假设了,有一个万能方法就是可以抄题目中可以作为假设几句话,这样会给人留下好印象,毕竟说明你审题了。
但不能全抄,要加上自己论文中一些假设,最好不要太具体了,一些重要参数不要被定死只能取某些值,这样会让人感觉到论文局限性较强。
模型建立是根据你对问题分析而来,提出数学符号和建立模型最好要比较接近,在同一页最好,以便评委可以对照符号来看,数学公式要严谨,推导要严密,这些都反映了一个人数学素质和能力,即使你推导不对,别人看到你阵势也首先会误以为你是对。
6.图文表并茂可以增色
我听说一个不确切信息是评委老师喜欢用Matlab编程论文,不知道有没有这回事,但这说明了老师需要看一个具有图或表在其中论文,一篇如果像政治书那样写论文估计没有人会对它感兴趣,尤其是科技论文。
Matlab编程之所以受到青睐是因为Matlab提供图形处理能力很强大,图表说明性特别强,如果结论有很多数据话,最好做成图表形式加以说明,会令你论文更有说服力,也更加会受到评委好评。
数学建模知识
——之参考资料
一、数学建模竞赛中应当掌握十类算法
1.蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型正确性,是比赛时必用方法。
2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量数据需要处理,而处理数据关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。
3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现。
4.图论算法
这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论问题可以用这些方法解决,需要认真准备。
5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用方法,很多场合可以用到竞赛中。
6.最优化理论三大非经典算法:
模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难最优化问题算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法实现比较困难,需慎重使用。
7.网格算法和穷举法
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。
8.一些连续离散化方法
很多问题都是实际来,数据可以是连续,而计算机只认是离散数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要。
9.数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程话,那一些数值分析中常用算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10.图象处理算法
赛题中有一类问题及图形有关,即使及图形无关,论文中也应该要不乏图片,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决问题,通常使用Matlab进行处理。
二、数学软件主要分类有哪些?
各有什么特点?
数学软件从功能上分类可以分为通用数学软件包和专业数学软件包,通用数学包功能比较完备,包括各种数学、数值计算、丰富数学函数、特殊函数、绘图函数、用户图形届面交互功能,及其他软件和语言接口及庞大外挂函数库机制(工具箱)。
常见通用数学软件包包括Matlab和Mathematica和Maple,其中Matlab是一个高性能科技计算软件,广泛应用于数学计算、建模、仿真和数据分析处理及工程作图,Mathematica是数值和符号计算代表性软件,Maple以符号运算、公式推导见长。
专用数学包包括绘图软件类MathCAD,Tecplot,IDL,Surfer,Origin,SmartDraw,DSP2000),数值计算类:
(Matcom,IDL,DataFit,S-Spline,Lindo,Lingo,O-Matrix,Scilab,Octave),数值计算库(linpack/lapack/BLAS/GERMS/IMSL/CXML),有限元计算类(ANSYS,MARC,PARSTRAN,FLUENT,FEMLAB,FlexPDE,Algor,COSMOS,ABAQUS,ADINA),计算化学类(Gaussian98,Spartan,ADF2000,ChemOffice),数理统计类(GAUSS,SPSS,SAS,Splus,statistica,minitab),数学公式排版类(MathType,MikTeX,ScientificWorkplace,ScientificNootbook)。
三、关于数模竞赛几本好书
▲姜启源,《数学模型(第二版)》,高等教育出版社
▲姜启源、谢金星、叶俊《数学建模(第三版)》,高等教育出版社
▲萧树铁等,《数学实验》,高等教育出版社
▲马新生,《高等数学实验》,科学出版社
▲朱道元,《数学建模案例精选》,科学出版社
▲雷功炎,《数学模型讲义》,北京大学出版社
▲叶其孝等,《大学生数学建模竞赛辅导教材
(一)~(四)》,湖南教育出版社
▲江裕钊、辛培清,《数学模型及计算机模拟》,电子科技大学出版社
▲杨启帆、边馥萍,《数学模型》,浙江大学出版社
▲赵静等,《数学建模及数学实验》,高等教育出版社,施普林格出版社
四、基础学科
1.数学分析
2.高等代数
3.概率及数理统计
4.最优化理论
5.图论
6.组合数学
7.微分方程稳定性分析
8.排队论
五、常用网站和ftp
▲全国大学生数模竞赛官方网站
▲http:
//www.shumo.org中国数学建模网站
▲中科大数模网站
▲浙江大学数模网
▲哈工大数模网站
▲http:
//bbs.dartmouth.edu/~fangq/wiki/?
MathTools_FAQ数学工具FAQ
▲ftp:
//
▲ftp:
//202.198.71.195
▲ftp:
//166.111.8.229
▲ftp:
//166.111.30.174
▲ftp:
//166.111.68.183
▲ftp:
//166.111.158.102
▲ftp:
//166.111.163.248:
40021
▲ftp:
//166.111.172.77
六、历年试题
1.MCM(美国大学生数学建模竞赛)
1985A题动物群体管理
1985B题战略物资存储管理
1986A题水道测量数据
1986B题应急设施位置
1987A题盐贮存
1987B题停车场
1988A题确定走私船位置
1988B题两辆铁路平板车装货问题
1989A题蠓分类
1989B题飞机排队
1990A题药物在大脑中分布
1990B题扫雪问题
1991A题估计水箱流水量
1991B题最小费用极小生成树
199
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