人教版小学数学第十二册总复习统筹问题同步练习题.docx
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人教版小学数学第十二册总复习统筹问题同步练习题
统筹问题
例1.妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟.洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟.小明估算了一下,完成这些工作要20分钟.为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了
【分析与解】:
本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》.首先向华老致敬。
开水要烧,开水壶要洗,茶壶茶杯要洗,茶叶要取.怎样安排工作程序最省时间呢
办法甲:
洗好开水壶,灌上凉水,放在火上,在等待水开的时候,洗茶杯,拿茶叶,等水开了,沏茶喝.
办法乙:
先做好一切准备工作,洗开水壶,洗壶杯,拿茶叶,灌水烧水,坐等水开了沏茶喝.
办法丙:
洗开水壶,灌上凉水,放在火上坐待水开,开了之后急急忙忙找茶叶,洗壶杯,沏茶喝.
谁都能一眼看出第一种办法好,因为后两种办法都“窝了工”.
开水壶不洗,不能烧开水,固为洗开水壶是烧开水的先决条件,没开水、没茶叶、不洗壶杯,我们不能沏茶,因而这些又是沏茶的先决条件.它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示.
箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间,例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟.从图上可以一眼看出,办法甲总共要16分钟,而办法乙、丙需20分钟.
洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系,而且是由同一个人来做,因此可以将上图合并成下图.
先洗开水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,在等待水开的过程中,同时洗壶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,总共用了16分钟.又因为烧开水的15分钟不能减少,烧水前必须用1分钟洗开水壶,所以用16分钟是最少的.
例2.5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头,试问怎样适当安排他们的打水顺序,才能使每个人排队和打水时间的总和最小并求出最小值.
【分析与解】:
5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序,把所有情形的时间总和都计算出来,就太繁琐了.凭直觉,应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.考虑用“逐步调整”法来严格求解.
首先证明要使所费总时间最省,应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置.假如第一位置的人打水时间要a分钟(其中2≤a≤5),而打水需1分钟的人排在第b位(其中2≤b≤5).我们将这两个人位置交换,其他三人位置不变动.这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同,并且前b个人每人打水所费时间也未受影响,但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了(a-1)分钟,这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之,把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省.
其次,根据同样道理,再将打水需2分钟的人调整到第二位置;将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位.所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队,所费时间最省.这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35(分钟).
例3.有一条可坐20人的木船要载40名学生从湖边到湖中A、B两岛参观.从湖边驶船到A岛需10分钟,到B岛需12分钟.A、B两岛之间船行需6分钟.A岛的参观时间需30分钟,B岛的参观时间需25分钟.问40名学生全部参观完两岛后返回湖边的最少用时是多少(学生上下船的时间忽略不计)
【分析与解】:
由题设40名学生要分两批乘船,这样我们将40名学生分成两组.由于乘船时间与参观时间都是固定的,所以要想节约时间只能是尽量减少学生“等船”的时间.由此分析,第一组学生应先去A岛参观,因为A岛比B岛近“2分钟”的路程,这样第二组学生等船的时间为20分钟(木船往返湖边与A岛所用时间),接下去是第二组学生去A岛还是去B岛参观的问题,我们分两种情况讨论:
(1)第二组学生也去A岛参观。
当第二组学生到达A岛时,时间已经过去了30分钟(等船20分钟,乘船10分钟).第二组开始参观A岛,此时第一组已经在A岛参观了20分钟,10分钟后第一组参观完A岛,乘船去B岛参观,木船将第一组送到B岛后立即返回A岛,由A岛与B岛之间乘船为6分钟,所以木船往返时间为12分钟.当木船回到A岛时,第二组在A岛已参观了22分钟.8分钟后第二组参观完A岛,立即到B岛.第二组到达B岛时,第一组已参观了20分钟(木船从B岛返回A岛的时间和等待第二组学生的时间以及再从A岛到B岛的时间总和).第二组到达B岛后开始参观.5分钟后第一组参观完B岛,乘船返回湖边,木船将第一组送到湖边后又立即返回B岛接第二组,当木船到达B岛时,距木船把第二组送上B岛相隔了29分钟(木船等待第一组5分钟,往返B岛与湖边24分钟).此时第二组已参观完B岛并且已等候了4分钟.当第二组乘船返回湖边时,整个参观过程一共用时(等于第二组参观共用的时间)为:
等候乘船共(20+4)分钟;两岛的参观时间共(30+25)分钟;乘船时间共(10+6+12)分钟。
总和为(20+4)+(30+25)+(10+6+12)=107(分钟)。
(2)第二组学生去B岛参观。
木船将第一组送到A岛后,返回湖边接第二组去B岛,当木船到达B岛时,时间已经过去了32分钟(等候船20分钟,乘船12分钟).木船立即去A岛接第一组.船到A岛时,第一组已参观了28分钟(木船从A岛到湖边的时间与从湖边到B岛的时间以及从B岛到A岛的时间总和).2分钟后,第一组参观完A岛乘船到B岛.到达B岛时,第二组已在B岛上参观了14分钟(木船往返A、B岛的时间与等待第一组的时间总和).第一组开始参观B岛.11分钟后第二组参观结束乘船到A岛参观.木船又返回B岛,到达B岛时,第一组已参观了23分钟(木船等待第二组11分钟,往返A、B岛12分钟).2分钟后,第一组参观结束乘船返回湖边.木船送完第一组立即到A岛接第二组.木船到达A岛时,第二组刚好参观完A岛(船从A岛到B岛6分钟,等第一组2分钟,送第一组到湖边12分钟,从湖边再到A岛10分钟).即刻乘船返回湖边.整个参观过程一共用时(等于第二组参观一共用的时间)为:
等候乘船共20分钟;两岛的参观时间共(30+25)分钟;乘船时间共(12+6+10)分钟。
总和为20+(30+25)+(12+6+10)=103(分钟)
两种方案比较,显然第二种方案较好.故应让第一组先参观A岛,第二组先参观B岛,总用时为103分钟。
例4.郝老师被误抓进了北京市安定精神医院,你能帮助他在层层看守下逃出生天吗最少需要几步(挪动图中的人物块,给郝老师清出一条路来)。
保安
郝老师
保安
季医生
陆院长
王护士
空地
保安
保安
刘门卫
杨前台
大门
例5.东升乡有八个行政村,如图分布.点表示村庄,线表示道路.图中的数字表示道路的长.现在这个乡要建立有线广播网,沿道路架设电线,问怎样的架线方案能使电线最省
【分析与解】:
要在全乡建立广播网,显然整个线路应该是连通的,并且每个村都有广播线,要使电线最省,即整个广播网络用线最短.因此架线时不能出现“环路”(闭合线路),而乡村分布图是有“环路”的,则需要将环路“破坏”掉,使得架线方案中只有7条线将8个村庄连通,井且这7条线的总长最短。
在破坏环路时,我们将环路时较长的路线去掉,当所有的环路都不存在时,剩下来的线路必是最短的。
首先破坏环路AGEFA,因为AF最长,故去掉AF.下面依次:
在AGHBA中去掉AB;在BCHB中去掉BC;在CDHC(中去掉CD;在CEHD中去掉HD;在HEGH中去掉EG;到此为止,所有的环路都破坏掉了,剩下来的便是我们所需的架线路线图(如图4所示),即最佳架线方案.
例6.现有2.8米长的方木条原料,要截成1.2米、0.9米两种长度的木条作镜框(每个镜框要用长、短木条各两根).要做30个镜框,如何下料可以最省
【分析与解】:
这是个节约用料的问题.如果不精打细算就会简单的用一根原料截长短木条各一根,就样就需要60根原料.而这样就会造成很大的浪费.因为每根原料剩下的残料为(米),60根原料所剩的残料则是很大的一个数字,显然这不是最佳的方案。
如果我们考虑用一根原料分别截取长短木条,则:
(1)可截1.2米木条两根,余料0.4米;
(2)可截0.9米木条三根,余料0.1米。
现设取x根原料用于截法
(1):
取y根原料用于截法
(2).则有
故需要原料50根即可制成30个镜框。
例7.有157吨货物要从甲地运往乙地,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是2吨,大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升.问如何选派车辆才能使运输耗油量最少这时共需用油多少公升
【分析与解】:
依题意,大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升);小卡车每吨耗油量为5÷2=(公升).为了节省汽油应尽量选派大卡车运货,又由于157=5×31+2,因此,最优调运方案是:
选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完,且这时耗油量最少,只需用油10×31+5×1=315(公升)
说明:
本题是1960年上海市数学竞赛试题.上述解法是最朴素的优化思想——选派每吨耗油量较少的卡车.下面用代数的知识来解题:
设选派大卡车a车次,小卡车b车次,依题意:
5a+2b=157,即10a=314-4b.于是总耗油量为:
W=10a+5b=314=4b+5b=314+b.显然,当b越小时,W也越小.又由5a+2b=157易知,b最小值是1,故W的最小值是314+1=315(公升).若取b=0,则需派32车次大卡车,耗油量则需320公升.
例8.40名师生参加义务植树活动,他们的任务是挖树坑和运树苗.经过上午的劳动实践,40名师生大致可分成甲、乙、丙三类人员.每类人员的劳动效率见表.下午给他们分配的任务是:
挖树坑30个,运树苗不限,如何安排人员能使树苗运得最多
【分析与解】:
这个问题是当劳动力一定的条件下如何发挥最大效力的问题.要想发挥劳动力的最大效力,首先要知道劳动人员的工作效率(已知)和“相对工作效率”(劳动人员做两项工作时的效率之比).由相对效率可以得出劳动人员做哪项工作发挥的效力更大。
由此可知:
乙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员和丙类人员都大.故应让乙类人员挖树坑,即可以挖树坑:
×15=18(个)。
现在离任务要求还相差“12个树坑”,需要由剩下的人员中再挑选一些人挖树坑.因为丙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员大,故应优先选丙类人员挖树坑,可挖:
×10=8(个).最后再由2名甲类人员也参加挖树坑,即可完成任务,其余的13名甲类人员运树苗,可运:
20×13=260(棵)。
即最佳方案为:
由13名甲类人员运树苗,其余所有人都去挖树坑。
注:
同学们可以尝试其他任何分配方案,一定都会比我们上述的方案劣。
例9.北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台,除本地应用外,北京可以支援外地10台,上海可以支援外地4台,杭州可以支援外地6台。
现在决定给汉口6台,重庆8台,深圳6台。
若每台计算机的运费如右表,表中运费单位是“万元”。
上海、北京和杭州制造的机器完全相同,应该怎样调运,才能使总的运费最省,最省运费是多少万元
【分析与解】:
按照如图所示的方式调运物品即可。
总计:
118万元
随堂练习
1.妈妈杀好鱼后,让小明帮助烧鱼.他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧,各道工序共花了17分钟(如下图),请你设计一个顺序,使花费的时间最少.
2.用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼.如果煎一个饼需要4分钟(假定正、反面各需2分钟),问煎m个饼至少需要几分钟
3.小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病.小明打针要5分钟.小华换纱布要3分钟,小强点眼药水要1分钟.问张大夫如何安排治病次序,才能使他们耽误上课的时间总和最少并求出这个时间.
4.赵师傅要加工某项工程急需的5个零件,如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、4分钟、7分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工,使工程各部件组装所耽误的时间总和最少这个时间是多少
5.山区有一个工厂.它的十个车间分散在一条环行的铁道上.四列货车在铁道上转圈,货车到了某一车间,就要有装卸工装上或卸下货物.当然,装卸工可以固定在车间等车(各车间所需装卸工人数如图所示);也可以坐在货车到各车间去;也可以一部分装卸工固定在车间,另一部分坐车.问怎样安排才能使装卸工的总人数最少最少需多少名工人
6.有七个村庄A1,A2,…,A7分布在公路两侧(见上图),由一些小路与公路相连,要在公路上设一个汽车站,要使汽车站到各村庄的距离和最小,车站应设在哪里
随堂练习答案
1.12分钟.
2.若m=1时,至少需要4分;若m≥2时,至少需要2m分钟.
3.按小强、小华、小明的顺序安排,耽误上课的时间总和为:
1×3+3×2+5=14(分钟).
4.按B、C、A、E、D的顺序加工,耽误最少为:
3×5+4×4+5×3+6×2+7=65(分钟).
5.46×4+4+2+6+11=207(人).
千米。
架设的线路如下图。
课后练习
1.早饭前妈妈要干好多的事:
烧开水要15分钟,擦桌椅要8分钟,准备暖瓶要1分钟,灌开水要2分钟,买油条要10分钟,煮牛奶要7分钟。
如果灶具上只有一个火,那么全部做完这些工作最少需要多少时间怎样安排
2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件,各零件加工所需时间分别为4,5,6,6,8,9,9分钟,三人同时开始工作。
问:
加工完七个零件最少需多长时间
3.车间里有5台车床同时出现故障。
已知第一台至第五台修复的时间依次为15,8,29,7,10分钟,每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
问:
(1)如果只有一名修理工,那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少
(2)如果有两名修理工,那么修复时间最少需多少分钟
4.下页左上图是一张道路图,每条路上的数是小王走这段路所需的时间(单位:
分)。
小王从A到B,最快需要几分钟
5.致德乡有8个行政村。
分布如右上图所示,点表示村庄,线表示道路,数字表示道路的长(单位:
千米)。
现在这个乡要建立有线广播网,沿道路架设电线。
问:
电线至少要架多长
6.有一个水塔要供应某条公路旁的A~F六个居民点用水(见下图,单位:
千米),要安装水管,有粗细两种水管,粗管足够供应6个居民点用水,细管只能供应1个居民点用水,粗管每千米要7000元,细管每千米要2000元,粗细管怎样互相搭配,才能使费用最省费用应是多少
课后练习答案
分。
提示:
先烧开水后煮牛奶共需22分,其它事情可以在这个期间做,顺序是买油条,准备暖瓶,擦桌椅(水开时暂停,煮上奶),灌开水,继续擦桌椅。
分。
3.
(1)780元;
(2)36分。
提示:
(1)按修复时间需7,8,10,15,29分的顺序修理;
(2)一人修需7分和29分的,另一人修需8,10,15分的。
分。
提示:
A→E→O→G→B。
。
提示:
本题可简化为“B,C,D,E,F处分别站着1,1,2,2,1个人(见下页图),求一点,使所有人走到这一点的距离和最小”。
6.从水塔到C点铺粗管,最后三个居民点铺细管,总费用为297000元。
提示:
当长度相同时,四根细管的费用超过一根粗管,所以最后三个居民点用细管。
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