函数导数不等式doc.docx
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函数导数不等式doc
函数导数不等式
一、考试范围与要求
1.了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.
要点通解:
鲜见单独以1为知识背景的试题.以2为知识背景的题仅限于选择题、填空题或解答题的某个环节,主要形式为求过某点的切线的方程.
3.能根据导数的定义求函数y=C(C为常数Xy=xyy=-9y=x\y=x\y=^的导数.
X
4.
能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并
要点通解:
鲜见单独以3或4为知识背景的试题.但在用导数研究函数的过程中首要的步骤就是求函数的导数,因而对4理解和掌握十分重要.
5.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).
6.了解函数在某点去取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).要点通解:
此处历年常考,且常和其他知识有机整合.此题属于压轴题,解题过程中往往首先构造函数,再运用导数法探究函数的单调性、极值或最值,常有较大难度.
7.会用导数解决实际问题.
要点通解:
尚没有考及,但应关注.
8.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
9.了解微积分基本定理的含义.
要点通解:
基本命题形式为计算定积分,题型为选择题或填空题.
考向预测:
选择题、填空题、解答题皆有出现,但以解答题为主,作为必考的最后一题,有较大的难度,主要考查利用导数求曲线在(过)某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性,极值与最值,函数的零点,恒成立以及导数与其他知识的综合等问题.
二、导数的综合应用
1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)问题.
2.利用导数研究曲线的切线问题.
3.利用导数研究不等式证明问题.
4.利用导数研究函数的恒成立及范围问题.
1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)问题
例1.求函数f(x)=x2-2(a+l)x+2aInx+单调区间.
%1求定义域;②求导数;③求导函数的根;④求广⑴分子部分的图像;⑤求出广⑴的符号;
⑥求出/(x)的单调性.
x>0例2.x>0
广(尤)二火一1)3一^
两个讨论点:
1.根与区间的位置关系;2.两根的大小关系
设函数/(x)=^lnx+—-2x,。
20.试求函数/(X)的单调区间.
"/、CIX-2x4-6/
讨论点:
方程的类型、判别式的符号
(1)。
=0
(2)。
>0①OVqVI
%1a=1
®a>\
2.利用导数研究曲线的切线问题.
%1切点在切线上
%1切点在曲线上
%1切点处的导数就是切线的斜率
例1.己知函数/(x)=2x3-3x.若过P(l,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.
切点(工0,)‘0)
广(易)=6£-3
<光=广(易)(工0-1)=>4"-6"+r=3=0
%=/⑴to
问题转化为:
己知函数》=4疽_6亍+i3中含有3个零点,求t取值范围
例2.设/为曲线C:
y=—在点(1,0)处的切线.
X
⑴求/的方程;
(II)证明:
除切点(1,0)之外,曲线C在直线/的下方.
I:
y=x-\y(x)=x-1
/W匕g⑴
n
f⑴-g⑴VO
n
虹尤+M0
X
i/、Inx,
ln(x)=1
x
>nV)max<0
ln'(x)=iFnx
X
m(x)=1-x"-Inx
m\x)=-2x-—<0
x
曲线的位置关系
不等式恒成立
求导以后出现超越方程
可以考虑“去分母”等手段规避超越方程
“二次求导”
单调性(图像的变化走势)
极值(图像的变化界限)
在平面直角坐标系xoy中,已知点P是函^f(x)=x\nx-x的图像上的动点,该曲线在点
P处的切线/交y轴与点M(0,皿),过点P作/的垂线交y轴于点N(0”,n),则业的取值范围
是(―8,—1]D[3,+8)
/'(工)=\nxP(x0,y0)Vo=工。
ln-尤。
I-y-yo=(x-x0)-lnx0yM=-x0
k,=Inx0k=--—IWCq
1z、
y-y。
=(xr())
mxQ
_工0_^o(ln2x0-lnx0+1)
Vn—)'o+:
一
Inx0iwc0
业=-InF+lnx。
-1=_[5+i__L
yMIn工0皓0
当x()>Llnx()>0
当0 II1 —InXq1=—(InXqh InxGInx0 —+1>3 lnx° 3.利用导数研究不等式证明问题.利用导数证明不等式的基本步骤: (1)作差或变形 ⑵构造新的函数h(x) (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值 (4)根据单调性及最值,得到所证的不等式 例].巳知=(其中届Rg=2.71828…是自然对数的底数,歆⑴=0,试证明: 对 任意*>0,ff(x)<+1恒成立. 广⑴=0,得k=1,f(x)=— e x+[ g(x)=(X2+x),/z(x)=(1-x-xlnx)(x>0) ex v--1-1 等价(1-x-xlnx)+i ex X l-x-x\nx<——(e~2+1) x+1 /? (%)=]-x-x\nx(x>0),h\x)=-In%-2(x>0) (0,/)T(e~2,+8)Ih(e'2)=/+1 I-x-x\nx 设°(x)=/_(尤+1) (p\x)=ex-1x>0低"⑴>0,伊⑴有(0,+8)个 (p(x)>9(0)=0 x>0,(p(x)=ex一(x+1)>0>1 x+1 X : .I-x-xinx 对任意工>0,f(x)<恒成立 +x A (1)不等式证明问题转化成最值问题 (2)等价变形构造函数,而不是直接构造 (3) 分析法 证明: 玉+易2”a]f(x)=lnx+x2+x X]>0,x2>0,/(x,)+/(x2)+x}x2=0 Inx}+x}+玉+Inx2+x2+x2+xtx2=0(x{+x2)+(X)+x2)=XjX2一ln(x,x2) 目标等T不等X]+切转化羽工2构造函数(p(t)=t-lnt(t>0) 。 '⑴=— (x}+x2)2+(%! +x2)>1 例3. (1)尤>0H寸,证明— 1 (2)设c>0时,an n+c _p.、〒12tl+1+C 求证: In n+c +X111—++•••+ 〃+1+C〃+〃+C 2n+c H-1+C x l+x n 1…1、1 1〃+l+c,八1、1 In=ln(l+)< n+cn+cn+c i〃+2+c-11 In=ln(l+)< 〃+1+C〃+1+C72+1+C 〃+1+〃+C.1、1 In=ln(l+)< n+n+c〃+〃+c〃+〃+c 11 1 〃+c〃+1+c 1,〃+l+c,乃+2+c,〃+3+c,2〃+l+c i2n+1+c =In /? +c 例4顶(x)=J+》ln(x+1),其啊。 o. (1)当》时,判断函数⑴在定义域上的单调性2 ⑵求函数八工)的极值点 (3)证明: 对任意的正整数〃,不等式ln(l+l)>-L-4都成立•nnrr (2)&<0,唯一极小值点"— 0 极大彳如,极小彳靛 b>^,/,⑴无极值点 (3>=-1,f(x)=x2-ln(l+x) h(x)=x3-/'(%)+ln(l+x)Ji(x)=3-‘"——>0x+1 [0,+8)Th(x)"(0)=0 ln(l+x)〉・x 令x=L(0,+8),则有: imi+L)〉-^—-^nnrr〃 7 例5(2006年四川)已知函数f(x)=x2+-+czlnx(x>0),对任意两个不相等的正数尤「 X 2 (II)当6Z<4时,|f'(Xi)-f’(X2)|>X,-x2. ⑴分析法些严2>y(守) ft (I)当。 "时,f⑴+您2)*(心1); 1(*+对)+公互++小应;>(宜互)2+」_+血4 2xxx22Xj+x22 三对三式看能否一对一 (2心)=2厂况 要证l/Vi)-f\x2)|>|x,-x2 \f\x\)~f'(x2)|=(2工]一M~(2易~~T+—) xfx{x2x2 =kf|2+缉牛-工 xi+工2XlX2 只须证2+20+: )__>1 (xtx2yx}x2 55+2(xi+x2)+23+D 尤1x2~x}x2 X]=Lx2=2不成立 a -XjX2 二元变成一元 c/2(x.+x? )4 %! +x2>l^XxX2x{x2+——>x{x2+] *1尤2J尤1尤2 .4 令t-A/xIx2h(t)-12+—(r>0) /z(0=2/-4r=V2w(r)>3V4=V108>4>6/ 分析法证明不等式(叠加) 导数证明不等式为实质是转化求函数的最值(减元)例6.(2005年湖南卷)已知函数/(x)=lnx,g(x)=—ox2+bx,a^O. (I)若b=2,且/2(X)=/3)—g(X)存在单调递减区间,求。 的取值范围; (II)设函数7U)的图象G与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作*轴的垂线分别交G,C2于点M、N,证明0在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.(Z)/Z(x)v0,总有尤>0的解,(—1,0)u(0,+8) 设P(X],'。 ,。 (易况),贝化、易是方程上杯+版=lnx的丰艮 设0<为<、2,G在M的切线与C2在N的切线不平行«广(且二)丰g'(W旦) 反证法: 假设平行 2x.+x7, =——ci.b %)+x22 2(工|—工2)。 /21\1\z—K ]=—(x;+bx2)-(―x;+版])=In名-Inx,① 尤]+尤22」22(% X]-1 2(-1) 1+r %1代数恒等变形 %1 尸⑺在[1,+8)T r(t)>r(l)=0 即1混>四二口等值r+1 导数证明(不等,单调性) %1反证法 例7.己知函数/'⑴=ax2-bx+\nx9a,beR ⑴当力=2。 +1时,讨论函数“对的单调性; (2)当1=1,人>3时,记函数的导函数的两个零点分别是¥1和尤2(尤1<尤2), 求证: /(x1)-/(x2)>--ln2. 4 减元 -(X]2-xf)+ln—x2 二x}-—v~ln(2x2) 入2 x2>1,令,=2%2E(2,+8) Z>2H寸,如)=("叮〉02-r ・・.9。 )在(2,4-oc)? 3 (p(t)>(p (2)=--\n2 4 3 ・,・f(x\)_f(x2)〉»-In2 例8.己知函^{g(x)=xlnx,h(x)=-—x+—-l(aeR)9且函数f(x)=g(x)+x/心)有两个不同的2x 极值点X],工2. ⑴求实数。 的取值范围; (2)证明: lnXj+lnx2>2
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