121全等三角形习题.docx
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121全等三角形习题
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第十二章全等三角形
12.1 全等三角形
自学目标:
1.理解全等三角形的概念.
2.能识别全等三角形中的对应边、对应角。
3.掌握全等三角形的性质。
考点分类精讲
考点1全等形及全等三角形的概念
核心总结
知识.能力聚焦
1.全等形的定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等形的特征:
全等图形的形状相同、大小相同。
3.全等三角形的定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
[点拨]
1、全等形研究两个图形的大小、形状,而不是它们所在的位置。
当把其中一个图形通过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
全等三角形是全等形中非常重要的一种。
2、全等图形的周长相等、面积相等
3、全等三角形具有传递性
真题诠释
[例1](2007,河北省)下列四个图形与所给图形全等的是()
[解析]单从外观上不好区分,但旋转之后能够与所给图形完全重合的只有C
[答案]C
[例2](上海)下列命题中,真命题是().
(A)周长相等的锐角三角形都全等;(B)周长相等的直角三角形都全等;
(C)周长相等的钝角三角形都全等;(D)周长相等的等腰直角三角形都全等.
[解析]根据全等图形的定义,两个能够重合的图形是全等图形,因此全等图形要求形状、大小都要相同,等腰直角三角形保证了三角形的形状相同,而周长相同能够保证三角形的大小相同。
【答案】D
思维.延伸拓展
学习图形的全等,可以提高我们的辨别能力,可以解决很多巧分图形的问题。
[例]青岛动物园里有4只熊猫(如图所示),你能不能给他们在这块地上各修一间大小形状完全相同的房子,各自有一个门?
[解析]图中有16个小方格,平均分成4份后,每份应有4个小方格,且每份中应有一只熊猫,因此必须经过正方形的中心点,中间4个小方格应分开.
[答案]解:
如图所示,能分割成大小形状完全相同的房子,门的位置用“||”表示.
考点2全等三角形的对应边、对应角及全等三角形的表示
核心总结
知识.能力聚焦
1.全等三角形的对应边、对应角:
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角。
2.全等三角形的表示:
全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。
如△ABC与△DEF全等,可用表达式记作△ABC≌△DEF,读作△ABC全等于△DEF。
3、全等的顺序性:
记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,所以当两个全等三角形已经用“≌”记号表示出来时,可以利用字母的顺序确定对应元素.
[点拨]
(1)对应边与对边的区别:
对应边是指分别在两个三角形中的边,而对边是指在一个三角形中,某顶点所对的边或某角所对的边。
(2)对应角与对角的区别:
对应角是指分别在两个三角形中的角,而对角是指在一个三角形中,某边所对的角。
(3)两个全等图形中重合的顶点不一定是对应顶点。
能重合的两个角的顶点才是对应顶点。
如图,两全等的三角形中,顶点C与点B′重合,但顶点C与点B′不是对应顶点。
而是△ABC沿直线BC平移到△A′B′C′处,所以点A对应点A′,点B对应点B′,点C对应点C′,记作△ABC≌△A′B′C′
真题诠释
[例1](2011,连云港)两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点。
不重叠的两部分△AOF与△DOC全等。
你能写出全等的表达式吗?
指出对应边与对应角。
[解析]由两块纸板完全相同并结合图形知,∠A与∠D能完全重合,所以∠A与∠D是对应角;又∠AOF与∠DOC是对顶角可知∠AOF与∠DOC是对应角,所以∠A与∠AOF的夹边AO和∠D与∠DOC的夹边DO就是对应边;AO与DO的对角分别是∠AFO与∠DCO,所以∠AFO与∠DCO是对应角,问题迎刃而解。
[答案]△AOF≌△DOC;对应边:
AO与DO,AO与DO,AO与DO;对应角:
∠A与∠D,∠AOF与∠DOC,∠AFO与∠DCO
[例2](?
)如图,两块完全相同的三角形纸板,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点。
不重叠的两部分△AOB与△DOC也全等。
你能写出两块纸板、△AOB与△DOC全等的表达式吗?
指出对应边与对应角。
[解析]因为两块三角形纸板完全相同,因此它们全等。
观察图形得AB与DC、∠A与∠D分别重合,因此应该点B与点C重合,即△ABC≌△DCB,
对应边:
AB与DC、BC与CB、AC与DB对应角:
∠A与∠D、∠ABC与∠DCB、∠ACB与∠DBC。
因为两块三角形纸板完全相同,去掉重叠部分,则不重叠的部分重合情况与两纸板相同,即AB与DC、∠A与∠D分别重合,而∠AOB与∠DOC是对顶角,是对应角,因此△ABO≌△DCO。
对应边:
AB与DC、BO与CO、AO与DO对应角:
∠A与∠D、∠ABO与∠DCO、∠AOB与∠DOC。
思维.延伸拓展
1.两个全等的三角形中,公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角
2.寻找全等三角形对应边、对应角常用的方法
(1)全等三角形较长边对应较长边,较短边对应较短边,较大角对应较大角,较小角对应较小角;
(2)全等三角形对应角的对边是对应边,对应边所对的角是对应角;
(3)全等三角形两对应角夹边是对应边,两对应边夹角是对应角
[例]如图:
AD∥BC,AB∥CD,△ABD与△CDB全等,△ABO与△CDO全等,请用全等符号把这两个全等关系表示出来,并且写出对应角,对应边。
[解析]在公共顶点处的角不一定是对应角。
相等的角才一定是对应角,因此由题中的两个平行条件可以找到对应角:
∠ABD与∠BDC,∠ADB与∠DBC;公共边是对应边,公共边的对角是对应角,故有∠BAD与∠BCD是对应角;对应角的对边是对应边,如∠ABD与∠BDC的对边分别是AD、CB,故AD与CB是对应边。
在△ABO与△CDO中,对顶角∠AOB与∠COD是对应角,大边BO对应大边DO,对顶角的对边AB、CD是对应边。
[答案]解:
△ABD≌△CDB,
对应角:
∠ABD与∠BDC,∠BAD与∠BCD,∠ADB与∠DBC
对应边;AB与CD,AD与CB,BD与DB。
△ABO≌△CDO,
对应角:
∠ABO与∠BDO,∠BAO与∠DCO,∠AOB与∠COD
对应边;AB与CD,AO与CO,BO与DO。
考点3全等三角形的性质
核心总结
知识.能力聚焦
全等三角形的性质:
1、全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等
2、全等三角形具有传递性:
三角形1与三角形2全等,三角形2与三角形3全等,则三角形1与三角形3也全等。
3、全等三角形面积相等,周长相等
[点拨]
1.运用全等三角形的性质时,一定要结合图形及表达式中字母的对应位置,判断出对应边和对应角。
2.两个三角形全等,周长、面积一定相等,但周长、面积相等的两三角形不一定全等。
如图,△ABC和△ABD的底相同,高相等,因此面积相等,但两三角形不全等。
真题诠释
[例](2010,济南)如图所示,△DEF是△ABC沿水平方向向右平移后的对应图形,若∠B=31°,∠C=79°,则∠D的度数是_______度
[解析]由三角形内角和为180°可求∠A的度数;又△DEF是△ABC平移后得到的,故△DEF≌△ABC,由全等三角形的对应角相等可得∠D的度数.
[答案]在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-31°-79°=70°.∵△DEF是△ABC平移后得到的∴△DEF≌△ABC,∴∠D=∠A=70°.
[例2](?
)如图:
△ADC≌△BFE,AB=7,DF=3,求AF的长?
[解析]现在已经知道线段AB、DF的长度,想要求线段AF的长度,只要知道线段BD的长度就可以了,但是根据给定的已知条件没有办法直接求出线段BD的长度,因此可以考虑其他的办法,于是想到,如果现在知
道线段AF与BD的关系也能够求出AF,这由△ADC≌△BFE可以得出。
[答案]解:
∵△ADC≌△BFE,∴AD=BF(全等三角形对应边相等),∴AD-DF=BF-DF,即:
AF=BD,∴AF=
(AB-FD)=
(7-3)=2
[例3](?
)如图,已知:
BE是△ABC的高,点F是AB上一点,点P为BE延长线上一点,点Q为直线CF上一点,△PAB≌△AQC,则AP与AQ有怎样的关系?
请说明理由。
[解析]本题全等三角形的对应点情况不好辨别,我们可以从表达式入手。
根据表达式可得:
点P与点A对应,点A与点Q对应,所以有PA与AQ是对应边,PA=AQ;∠APB=∠QAC,因为BE是△ABC的高,故有∠PEA=90°=∠APB+∠PAC=∠QAC+∠PAC=∠QAP,所以AP⊥AQ.
[答案]解:
PA=AQ,AP⊥AQ,理由是:
△PAB≌△AQC,PA=AQ;∠APB=∠QAC,∵BE是△ABC的高,∴有∠PEA=90°=∠APB+∠PAC=∠QAC+∠PAC=∠QAP,∴AP⊥AQ.
思维.延伸拓展
1.全等三角形的性质是证明两条线段相等和两个角相等的重要方法,所以证线段相等、角相等的习题,首先考虑线段和角所在的三角形是否全等,如果全等则由性质可得线段相等、角相等,命题得以解答。
2.由全等三角形的性质可以引申到对应角平分线相等,对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等,同时还可以求线段的长和角的度数及判定两直线的位置关系。
[例]已知,△ABC与△DFE全等,∠B与∠F,∠C与∠E是对应角,那么①BC=EF,②∠C的平分线与∠E的平分线相等,③AC边上的高与DE边上的高相等,④AB边上的中线与DF边上的中线相等,其中正确的结论有()个
A、1B、2C、3D、4
[解析]由∠B与∠F,∠C与∠E是对应角可知BC与EF是对应边,所以相等;由∠C与∠E是对应角可知它们的角平分线是对应角平分线,所以相等;由∠B与∠F是对应角可知它们的对边AC与DE是对应边,所以这两边上的高是对应高,所以相等;由∠C与∠E是对应角可知它们的对边AB与DF是对应边,所以这两边上的中线是对应中线,所以相等。
故选D。
[答案]D
[例2]如图,△ABE与△ADC是△ABC分别沿着AB、AC翻折到同一平面内形成的,若∠1:
∠2:
∠3=28:
5:
3,则∠4=()
[解析]已知的三个角与所求的∠4不在一起,没有直接的联系,如果我们能证出三角形全等,则∠4有可能与∠1、∠2、∠3就取得联系。
而已知中,△ABE与△ADC是△ABC分别沿着AB、AC翻折到同一平面内形成的,所以有△ABC≌△ABE△ABC≌△ADC,则∠ACD=∠3,∠ABE=∠2,于是有∠DCB=2∠3,∠CBE=2∠2,根据∠4是△MBC的外角可得∠4=∠DCB+∠CBE=2∠3+2∠2。
又因为∠1:
∠2:
∠3=28:
5:
3,所以根据三角形的内角和为180°可求得∠2=25°,∠3=15°。
所以∠4=80°。
[答案]80°
考点整合精训
(测试时间:
30分钟 满分:
50分) 基础能力精训
一、选择题()
1、[考点1]下列命题正确的是:
()
A.形状相同的两个图形叫做全等形
B.大小相同的两个四边形叫做全等四边形
C.“△ABC≌△DEF“说明点A与点D是对应点,点B与点F是对应点,点C与点E是对应点
D.全等三角形是能够完全重合的两个三角形
[答案]D
2.[考点3]如果两个三角形全等,则不正确的是()
A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等
C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等
[解析]根据全等三角形的性质,两三角形全等,对应边、对应角相等,但不一定是两个直角三角形。
[答案]C
3.[考点2]如图,△ABC与△ABD全等,∠D=∠C,∠DAB=∠ABC,将对应顶点写在对应位置上,则正确的写法是()
A.△ABD≌△BACB.△BDA≌△CAB
C.△ABD≌△ABCD.△ADB≌△CBA
[解析]全等三角形的对应顶点写到对应位置上
[答案]A
4、[考点3]如图,
≌
,则对于结论①
;②
;③
;④
,其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
[解析]:
由
≌△AEF知对应边、对应角相等,所以有AC=AF,EF=BC,∠EAF=∠BAC,都减去公共区域∠BAF,故④正确
[答案]C
二、填空题()
5、[考点3]已知:
△ABC≌△A′B′C′,∠A=60°,∠B=70°,AB=20cm,则∠C′=,A′B′=cm.
[解析]根据全等三角形的性质及三角形内角和定理.[答案]50°20
6、[考点1]如图,△BDC/是将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠得到的,已知△ADB≌△CBD。
则图中共有全等三角形()对
[解析]△BDC/是由△CBD折叠得到的,所以△CBD≌△C/BD,又因为△ADB≌△CBD,所以由全等三角形的传递性可知:
△ADB≌△CBD≌△C/BD,△ADB与△C/BD去掉公共部分后剩下的部分也全等。
[答案]4.
7、[考点3]如图,△ABC与△DEF全等,AC∥DF,BC∥EF,则线段AD=线段()
[解析]△ABC与△DEF全等可知对应边、对应角相等。
由AC∥DF得∠A=∠EDF,由BC∥EF得∠E=∠ABC,所以有AB=DE,问题得解。
[答案]BE.
8、[考点3]如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为()
[解析]∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠EDB=∠DEC=90°∴∠ADB=∠BDE=∠EDC=60°,∴∠C=90°-∠EDC=30°
[答案]30°.
9、[考点3]如图,已知,△ABE≌△ACF,∠E=∠F=90°,∠CMD=70°,则∠2的度数为()
[解析]∵△ABE≌△ACF∴∠EAB=∠FAC∴∠1=∠2∵∠CMD=70°∴∠EMA=70°∵∠E=∠F=90°∴∠1=20°∴∠2=∠1=20°
[答案]20°
10、[考点3]如图,△ABC≌△DEF,则DE边上的高为()
[解析]用全等三角形的面积相等得解。
[答案]4.8
三、解答题
11.[考点1]如图,∠BAD=90°,AC⊥BD于点C,∠B=60°,△ABC与△ADC不可能全等.说明理由.
[解析]根据定义,能互相重合的两个图形是全等形。
[答案]由于AC为公用边,若△ABC与△ADC全等,只能按AC翻折180°,∠B与∠D重合.而∠BAD=90°,∠B=60°,则∠D=30°,即∠B≠∠D.故△ABC与△ADC不可能全等.
12、[考点3]已知:
如图,△ABC≌△DEF,A与D,B与E是对应顶点。
求证:
AB∥ED.
[解析]两线平行的判定方法与角有关,而全等三角形的对应角是相等的,故本题可证。
[答案]∵△ABC≌△DEF,∴∠D=∠A(全等三角形的对应角相等),∴AB∥ED.(内错角相等,两直线平行)
13、[考点2]如图,点O左右两边对应的三角形重合,请找出全等三角形。
[解析]根据能重合的顶点才是对应顶点,所以只要看清楚能重合的顶点就能写出答案。
写答案时要注意把对应的顶点写在对应的位置上。
[答案]△AOD≌△BOC,△AOF≌△BOE,△DOF≌△COE。
10、[考点1]如图,顺着虚线,用实线把图形分割成四个全等的图形。
[解析]先数出小三角形的个数12个,则各块只有3个小三角形。
再尝试着分。
[答案]
(测试时间:
30分钟 满分:
50分) 中考能力精训
一、选择。
1、[考点1]
[解析]先数出小三角形的个数12个,则各块只有3个小三角形。
再尝试着分。
2和5;6和9
[答案]C
2、[考点3]给出下列命题:
①面积相等的两个几何图形必全等。
②两个全等图形的面积必相等。
③面积不相等的两个几何图形必不全等。
④不全等的两个几何图形的面积必不相等,其中正确的有()个
A1B2C3D4
[解析]先数出小三角形的个数12个,则各块只有3个小三角形。
再尝试着分。
能完全重合的图形才全等,全等图形一定能完全重合。
但面积相等的图形不一定能完全重合,面积不相等的图形更不可能完全重合。
如图正方形ABCD和平行四边形ABFE面积相等,但不全等。
[答案]B
二、填空。
3、[考点3]已知△ABC≌△DEF. △ABC的周长为24cm,且AB=10cm,BC=8cm.则△DEF各边的长为().
【解析】由△ABC≌△DEF,可知△ABC与△DEF对应边相等,即AB=DE,BC=EF,AC=DF. 在这里AB、BC已知,AB=10cm,BC=8 cm,所以AB=DE=10 cm,BC=EF=8cm,AC未知,但题中又给出了△ABC的周长,又因为△ABC的周长=AB+BC+AC=10+8+AC=24cm,这样可求AC,AC=6 cm.从而DF可求.所以DF=6 cm。
所以△DEF的各边长为:
10 cm,8 cm,6 cm.
【答案】10 cm,8 cm,6 cm.
4、[考点3]如图,把直角三角形ABC(∠C=90°),沿CB向右平移4cm,可得直角三角形DEF。
若AC=8cm,FH=3cm,则S阴FHBE=()
[解析]△DEF是△ABC沿边CB平移得来的,故△ABC≌△FED,则AC=FD=8cm,S△ABC=S△FED,,S阴FHBE=S△FED-S△HBD,S梯形ACDH=S△ABC-S△HBD,故有S阴FHBE=S梯形ACDH,而S梯形ACDH=
(HD+AC)•CD=
(8-3+8)×4=26(cm2)。
故阴影面积为26cm2
[答案]26cm2.
5、[考点3]如图,△ABC中,在高AD上有一点E,连接BE若△BDE≌△ADC,则AC与BE的关系为()
[解析]延长BE交AC于点P。
由△BDE≌△ADC得BE=AC,∠1=∠2,由对顶三角形知∠5=∠2+∠4,∠5=∠1+∠3,所以有∠3=∠4=90°,故得解。
[答案]BE=AC、BE⊥AC
[点拨]线段之间的关系包括数量关系和位置关系,思考问题时一定要考虑全面。
6、[考点3]如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线过点E,∠ACB=∠AED=110°,∠CAD=20°,
∠B=50°,则∠DEF=()
[解析]由三角形内角和得∠CAB=20°,又由△ABC≌△ADE得∠CAB=∠EAD=20°,因为∠CAD=20°所以∠EAB=60°,由三角形内角和得∠AEB=70°,∠DEF=110°-70°=40°
[答案]40°
7、[考点2]两个完全相同的含45°角的三角板如图放置,其中一个三角板的45°角的顶点在另一块三角板的斜边上,则表达式为△ABC≌△()
[解析]45°的角都相等,所以有∠A=∠D=∠CBE,所以点A与点D是对应点;∠CBD=∠A+∠ACB,∠CBD=∠CBE+∠DBE,所以∠ACB=∠DBE,所以点C与点B是对应点;则第三个顶点B与E是对应点。
对应顶点应该写在对应位置上。
故得解。
[答案]DEB
二、解答题
8、[考点3]已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长.
[解析]由三角形的内角和求出∠ACB,再由△ABC≌△DEF,知△ABC和△DEF的对应边相等,对应角相等,从而求出∠DFE的度数和EC的长.
[答案]∵∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°,
又∵△ABC≌△DEF,
∴∠DFE=∠ACB=100°,
EF=BC,
∴EC=EF-CF=BC-CF=BF=2,
即∠DFE的度数为100°,EC的长为2.
9、[考点3]如图所示,△ABD≌△ACE,且E在BD上,,若∠EAD=20O,求∠DEC的度数。
[解析]由图知∠DEC=∠AEC+∠AED,△ABD≌△ACE,∠AEC=∠D,∠DEC=∠D+∠AED,由三角形内角和得解
[答案]∵△ABD≌△ACE∴∠AEC=∠D
又∵∠DEC=∠AEC+∠AED∴∠DEC=∠D+∠AED
又∵△AED中,∠AED+∠D+∠EAD=180O
且∠EAD=20O
∴∠DEC=180O-∠EAD=180O-20O=160O
10、[考点3]如图,已知在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两条边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG,若△ABD≌△GCA,则AG与AD有何关系?
试证明你的结论.
[解析]因为全等三角形的对应边、对应角相等,所以由已知可得BD与AC、CG与AB分别是对应边,则第三条边AD与GA是对应边,AD=AG,BD与AD的夹角∠BDA和GA与CA的夹角∠GAC是对应角,∠BDA=∠GAD,∠BDA=∠BEA+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,∠BEA=∠GAD=90O,AG⊥AD.
[答案]AD=AG,AG⊥AD
证明:
∵△ABD≌△GCA,BD=AC,CG=AB
∴第三条边AD与GA是对应边,AD=AG
BD与AD的夹角∠BDA和GA与CA的夹角∠GAC是对应角,∠BDA=∠GAD,
∵∠BDA=∠BEA+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,
∴∠BEA=∠GAD,∵BE、CF分别是AC、AB两条边上的高
∴∠BEA=90O,∴∠BEA=∠GAD=90O∴AG⊥AD.
11、[考点3]如图,将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在边DC上的点F处,若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3,求长方形ABCD的周长为和DF的长。
[解析]由折叠知△ABE≌△AFE,所以有AB=AF,EF=EB,所以有AD+DF+AB=9,CF+CE+EB=3,AB+AD+DF+CF+CE+EB=12,所以有即长方形ABCD的周长为12;而长方形的对边是相等的,AB+DF-CF=CD+DF-CF=2DF=6,得DF=3
[答案]∵△AFE是由△ABE折叠而得,∴△ABE≌△AFE,∴AB=AF,EF=EB,∵△AFD的周长为9,△ECF的周长为3,∴AD+DF+AB=AD+DF+AB=9,CF+CE+EB=CF+CE+EB=3,∴AB+AD+DF+CF+CE+EB=12,∴即长方形ABCD的周长为12;∵长方形的对边是相等的,∴AB+DF-CF=CD+DF-CF=2DF=6,得DF=3
12、[考点1]你能把图中的正方形分成四个全等的图形吗?
至少给出4种分法。
[答案]能。
动手作一作,你就能得到答案。
(答案不唯一)
中考调研
中考命题解读
全等三角形的性质是中考的热点内容,在历届中考试题中难度并不大,单独命题较少,多与全等三角形的判定及图形变换知识综合起来成为今后中考命题的趋势。
如单独命题多以填空、选择、开放探究和实际应用题出现
中考名题诠释
1、(2012,攀枝花)如图,△ABC≌△ADE,
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