离散数学第2章习题解答.docx
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离散数学第2章习题解答
离散数学第2章习题解答
习题2.1
1.将下列命题符号化。
(1)4不是奇数。
解:
设A(x):
x是奇数。
a:
4。
“4不是奇数。
”符号化为:
¬A(a)
(2)2是偶数且是质数。
解:
设A(x):
x是偶数。
B(x):
x是质数。
a:
2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为:
A(a)∧B(a)
(3)老王是山东人或河北人。
解:
设A(x):
x是山东人。
B(x):
x是河北人。
a:
老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为:
A(a)
B(a)
(4)2与3都是偶数。
解:
设A(x):
x是偶数。
a:
2,b:
3。
“2与3都是偶数。
”符号化为:
A(a)∧A(b)
(5)5大于3。
解:
设G(x,y):
x大于y。
a:
5。
b:
3。
“5大于3。
”符号化为:
G(a,b)
(6)若m是奇数,则2m不是奇数。
解:
设A(x):
x是奇数。
a:
m。
b:
2m。
“若m是奇数,则2m不是奇数。
”符号化为:
A(a)→A(b)
(7)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解:
设C(x,y):
直线x平行于直线y。
设D(x,y):
直线x相交于直线y。
a:
直线A。
b:
直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为:
C(a,b)↔¬D(x,y)
(8)小王既聪明又用功,但身体不好。
解:
设A(x):
x聪明。
B(x):
x用功。
C(x):
x身体好。
a:
小王。
“小王既聪明又用功,但身体不好。
”符号化为:
A(a)∧B(a)∧¬C(a)
(9)秦岭隔开了渭水和汉水。
解:
设A(x,y,z):
x隔开了y和z。
a:
秦岭。
b:
渭水。
c:
汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为:
A(a,b,c)
(10)除非小李是东北人,否则她一定怕冷。
解:
设A(x):
x是东北人。
B(x):
x怕冷。
a:
小李。
“除非小李是东北人,否则她一定怕冷。
”符号化为:
B(a)→¬A(a)
2.将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1)有些实数是有理数。
解:
设R(x):
x是实数。
Q(x):
x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为:
(∃x)(R(x)∧Q(x))
它的真值为:
真。
(2)凡是人都要休息。
解:
设R(x):
x是人。
S(x):
x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为:
(∀x)(R(x)→S(x))
它的真值为:
真。
(3)每个自然数都有比它大的自然数。
解:
设N(x):
x是自然数。
G(x,y):
x比y大。
“每个自然数都有比它大的自然数。
”符号化为:
(∀x)(N(x)→(∃y)(N(y)∧G(y,x)))
它的真值为:
真。
(4)乌鸦都是黑的。
解:
设A(x):
x是乌鸦。
B(x):
是黑的。
“乌鸦都是黑的。
”符号化为:
(∀x)(A(x)→B(x))
它的真值为:
真。
(5)不存在比所有火车都快的汽车。
解:
设A(x):
x是汽车。
B(x):
是火车。
K(x,y):
x比y快。
“不存在比所有火车都快的汽车。
”符号化为:
¬(∃x)(A(x)∧(∀y)(B(y)→K(x,y)))
它的真值为:
真。
(6)有些大学生不佩服运动员。
解:
设S(x):
x是大学生。
L(x):
是运动员。
B(x,y):
x佩服y。
“有些大学生不佩服运动员。
”符号化为:
(∃x)(S(x)∧L(y)∧¬B(x,y))
它的真值为:
真。
(7)有些女同志既是教练员又是运动员。
解:
设W(x):
x是女同志。
J(x):
x是教练员。
L(x):
x是运动员。
“有些女同志既是教练员又是运动员。
”符号化为:
(∃x)(W(x)∧J(x)∧L(x))
它的真值为:
真。
(8)除2以外的所有质数都是奇数。
解:
设A(x):
x是质数。
B(x):
x是奇数。
C(x,y):
x不等于y。
“除2以外的所有质数都是奇数。
”符号化为:
(∀x)(A(x)∧C(x,2)→B(x))
它的真值为:
真。
3.指出一个个体域,使下列被量化谓词的真值为真,该个体域是整数集合的最大子集。
在以下各题中,A(x)表示:
x>0,B(x)表示:
x=5,C(x,y)表示:
x+y=0
(1)(∀x)A(x)
解:
正整数集合Z+。
(2)(∃x)A(x)
解:
整数集合Z。
(3)(∀x)B(x)
解:
集合{5}。
(4)(∃x)B(x)
解:
整数集合Z。
(5)(∀x)(∃y)C(x,y)
解:
整数集合Z。
4.分别在全总个体域和实数个体域中,将下列命题符号化。
(1)对所有的实数x,都存着实数y,使得x-y=0
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x-y=0。
在实数个体域符号化为:
(∀x)(∃y)B(x,y)
在全总个体域符号化为:
(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y)))
(2)存在着实数x,对所有的实数y,都有x-y=0
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x-y=0。
在实数个体域符号化为:
(∃x)(∀y)B(x,y)
在全总个体域符号化为:
(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y)))
(3)对所有的实数x和所有的实数y,都有x+y=y+x
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x=y。
在实数个体域符号化为:
(∀x)(∀y)B(x+y,y+x)
在全总个体域符号化为:
(∀x)(R(x)→(∀y)(R(y)→B(x+y,y+x)))
(4)存在着实数x和存在着实数y,使得x+y=100
解:
设R(x):
x是实数。
B(x,y):
x+y=100。
在实数个体域符号化为:
(∃x)(∃y)B(x,y)
在全总个体域符号化为:
(∃x)(R(x)∧(∃y)(R(y)∧B(x,y)))
习题2.2
1.指出下列公式中的约束变元和自由变元。
(1)(∀x)(P(x)→Q(y))
解:
约束变元:
x,自由变元:
y
(2)(∀x)(P(x)∧R(x))→((∃x)P(x)∧Q(x))
解:
约束变元:
x,自由变元:
x
(3)(∀x)(P(x)∧(∃x)Q(x))∨((∀x)R(x,y)∧Q(z))
解:
约束变元:
x,自由变元:
y,z
(4)(∃x)(∀y)(R(x,y)∧Q(z))
解:
约束变元:
x,y,自由变元:
z
(5)(∀z)(P(x)∧(∃x)R(x,z)→(∃y)Q(x,y))∨R(x,y)
解:
约束变元:
x,y,z,自由变元:
x,y
2.对下列谓词公式中的约束变元进行换名。
(1)(∃x)(∀y)(P(x,z)→Q(x,y))∧R(x,y)
解:
将约束变元x换成u:
(∃u)(∀y)(P(u,z)→Q(u,y))∧R(x,y)
将约束变元y换成v:
(∃x)(∀v)(P(x,z)→Q(x,v))∧R(x,y)
(2)(∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀z)S(x,z)
解:
将前面的约束变元x换成u,后面的约束变元x换成v:
(∀u)(P(u)→(R(u)∨Q(u,y)))∧(∃v)R(v)→(∀z)S(x,z)
将约束变元z换成w:
(∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀w)S(x,w)
3.对下列谓词公式中的自由变元进行代入。
(1)((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
解:
将自由变元z用u代入:
((∃y)Q(u,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,u)
将自由变元y用v代入:
((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,v))∨(∃x)S(x,v,z)
(2)(∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,y)
解:
将自由变元x用u代入:
(∀y)P(u,y)∧(∃z)Q(u,z)↔(∃x)R(x,y)
将自由变元y用v代入:
(∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,v)
4.利用谓词公式对下列命题符号化。
(1)每列火车都比某些汽车快。
解:
设A(x):
x是火车。
B(x):
x是汽车。
C(x,y):
x比y快。
“每列火车都比某些汽车快。
”符号化为:
(∀x)(A(x)→(∃y)(B(y)∧C(x,y)))
(2)某些汽车比所有火车慢。
解:
设A(x):
x是火车。
B(x):
x是汽车。
C(x,y):
x比y快。
“某些汽车比所有火车慢。
”符号化为:
(∃x)(B(x)∧(∀y)(A(y)→C(y,x)))
(3)对每一个实数x,存在一个更大的实数y。
解:
设R(x):
x是实数。
G(x,y):
x比y大。
“对每一个实数x,存在一个更大的实数y。
”符号化为:
(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧G(y,x)))
(4)存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积。
解:
设R(x):
x是实数。
G(x,y):
x比y大。
“存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积。
”符号化为:
(∃x)(∃y)(∃z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz))
(5)所有的人都不一样高。
解:
设R(x):
x是人。
G(x,y):
x和y一样高。
“所有的人都不一样高。
”符号化为:
(∀x)(∀y)(R(x)∧R(y)→¬G(x,y))
5.自然数一共有下述三条公理:
a)每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
b)没有一个数使数1是它的后继数。
c)每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
用两个谓词表达上述三条公理。
注:
设n是不等于1的自然数,则n+1是n的后继数,n-1是n的先驱数。
解:
设A(x):
x是数。
B(x,y):
x是y后继数(根据定义,也可理解为y是x先驱数)。
a)“每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
”符号化为:
(∀x)(A(x)→(∃y)(A(y)∧B(y,x))∧((∃z)(A(z)∧B(z,x))→(z=y)))
b)“没有一个数使数1是它的后继数。
”符号化为:
¬(∃x)(A(x)∧B(1,x))
c)“每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
”符号化为:
(∀x)(A(x)∧¬(x=1)→(∃y)(A(y)∧B(x,y))∧((∃z)(A(z)∧B(x,z))→(z=y)))
6.取个体域为实数集R,函数f在a点连续的定义是:
对每个ε>0,存在一个δ>0,使得对所有x,若|x-a|<δ,则|f(x)-f(a)|<ε。
试把此定义用符号化的形式表达出来。
解:
(∀ε)((ε>0)→(∃δ)((δ>0)∧(∀x)((|x-a|<δ)→(|f(x)-f(a)|<ε))))
7.若定义惟一性量词(∃!
x)为“存在惟一的一个x”,则(∃!
x)P(x)表示“存在惟一的一个x使P(x)为真”。
试用量词,谓词及逻辑运算符表示(∃!
x)P(x)。
解:
(∃!
x)P(x)⇔(∃x)P(x)∧((∃y)P(y)→(y=x))
习题2.3
1.设个体域为D=⎨1,2,3⎬,试消去下列各式的量词。
(1)(∀x)P(x)
解:
(∀x)P(x)⇔P
(1)∧P
(2)∧P(3)
(2)(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)
解:
(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)⇔(P
(1)∧P
(2)∧P(3))→(Q
(1)∨Q
(2)∨Q(3))
(3)(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)
解:
(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)⇔(P
(1)∧P
(2)∧P(3))∨(Q
(1)∨Q
(2)∨Q(3))
(4)(∀x)(P(x)↔Q(x))
解:
(∀x)(P(x)↔Q(x))⇔(P
(1)↔Q
(1))∧(P
(2)↔Q
(2))∧(P(3)↔Q(3))
(5)(∀x)⌝P(x)∨(∀y)Q(y)
解:
(∀x)¬P(x)∨(∀y)Q(y)⇔(¬P
(1)∧¬P
(2)∧¬P(3))∨(Q
(1)∧Q
(2)∧Q(3))
2.求下列各式的真值。
(1)(∀x)(∃y)H(x,y)其中H(x,y):
x>y,个体域为D=⎨4,2⎬
解:
(∀x)(∃y)H(x,y)⇔(∃y)H(2,y)∧(∃y)H(4,y)
⇔(H(2,2)∨H(2,4))∧(H(4,2)∨H(4,4))
⇔(0∨0)∧(1∨0)⇔0∧1⇔0
(2)(∃x)(S(x)→Q(a))∧p其中S(x):
x>3,Q(x):
x=5,a:
3,p:
5>3,个体域为D=⎨-1,3,6⎬
解:
(∃x)(S(x)→Q(a))∧p⇔((S(-1)→Q(3))∨(S(3)→Q(3))∨(S(6)→Q(3)))∧(5>3)
⇔((0→0)∨(0→0)∨(1→0))∧1
⇔(1∨1∨0)∧1⇔1∧1⇔1
(3)(∃x)(x2-2x+1=0)其中个体域为D=⎨-1,2⎬
解:
(∃x)(x2-2x+1=0)⇔(((-1)2-2×(-1)+1=0)∨(22-2×2+1=0)
⇔((4=0)∨(1=0)⇔0∨0⇔0
3.证明下列各式。
其中:
B是不含变元x的谓词公式。
(1)(∃x)(S(x)→R(x))⇔(∀x)S(x)→(∃x)R(x)
证明:
(∃x)(S(x)→R(x))⇔(∃x)(¬S(x)∨R(x))
⇔(∃x)¬S(x)∨(∃x)R(x)
⇔¬(∀x)S(x)∨(∃xR(x)
⇔(∀x)S(x)→(∃x)R(x)
(2)(∀x)(∀y)(S(x)→R(y))⇔(∃x)S(x)→(∀y)R(y)
证明:
(∀x)(∀y)(S(x)→R(y))⇔(∀x)(∀y)(¬S(x)∨R(y))
⇔(∀x)¬S(x)∨(∀y)R(y)
⇔¬(∃x)S(x)∨(∀y)R(y)
⇔(∃x)S(x)→(∀y)R(y)
(3)(∃x)(A(x)→B)⇔(∀x)A(x)→B
证明:
(∃x)(A(x)→B)⇔(∃x)(¬A(x)∨B)⇔(∃x)¬A(x)∨B
⇔¬(∀x)A(x)∨B⇔(∀x)A(x)→B
(4)(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)
证明:
(∀x)(B→A(x))⇔(∀x)(¬B∨A(x))⇔¬B∨(∀x)A(x)⇔B→(∀x)A(x)
(5)(∀x)(A(x)→B(x))⇒(∀x)A(x)→(∀x)B(x)
证明:
因为(∀x)(A(x)→B(x)),所以对于任意个体c,A(c)→B(c)和A(c),从而有B(c),由c的任意性有(∀x)B(x),根据cp规则,(∀x)(A(x)→B(x))⇒(∀x)A(x)→(∀x)B(x)
(6)(∀x)(A(x)↔B(x))⇒(∀x)A(x)↔(∀x)B(x)
证明:
(∀x)(A(x)↔B(x))⇔(∀x)((A(x)→B(x))∧(B(x)→A(x)))
⇔(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))
(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))⇒(∀x)(A(x)→B(x))⇒(∀x)A(x)→(∀x)B(x)
同理,(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))⇒(∀x)B(x)→(∀x)A(x)
所以,(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))⇒((∀x)A(x)→(∀x)B(x))∧((∀x)B(x)→(∀x)A(x))
而((∀x)A(x)→(∀x)B(x))∧((∀x)B(x)→(∀x)A(x))⇔(∀x)A(x)↔(∀x)B(x)
故有(∀x)(A(x)↔B(x))⇒(∀x)A(x)↔(∀x)B(x)
4.判断下列证明是否正确。
(∀x)(A(x)→B(x))⇔(∀x)(¬A(x)∨B(x))⇔(∀x)⌝(A(x)∧¬B(x))
⇔¬(∃x)(A(x)∧¬B(x))⇔¬((∃x)A(x)∧(∃x)¬B(x))
⇔¬((∃x)A(x)∧¬(∀x)B(x))⇔¬(∃x)A(x)∨(∀x)B(x))
⇔(∃x)A(x)→(∀x)B(x))
解:
下列的推理是错的:
¬(∃x)(A(x)∧¬B(x))⇔¬((∃x)A(x)∧(∃x)¬B(x))
习题2.4
1.求下列各式的前束范式。
(1)(∀x)P(x)∧⌝(∃x)Q(x)
解:
(∀x)P(x)∧⌝(∃x)Q(x)⇔(∀x)P(x)∧(∀x)⌝Q(x)⇔(∀x)(P(x)∧⌝Q(x))
(2)(∀x)P(x)∨⌝(∃x)Q(x)
解:
(∀x)P(x)∨⌝(∃x)Q(x)⇔(∀x)P(x)∨(∀x)⌝Q(x)
⇔(∀x)P(x)∨(∀y)⌝Q(y)
⇔(∀x)(∀y)(P(x)∧⌝Q(y))
(3)(∀x)(∀y)(((∃z)A(x,y,z)∧(∃u)B(x,u))→(∃v)B(x,v))
解:
(∀x)(∀y)(((∃z)A(x,y,z)∧(∃u)B(x,u))→(∃v)B(x,v))
⇔(∀x)(∀y)((∃z)(∃u)(A(x,y,z)∧B(x,u))→(∃v)B(x,v))
⇔(∀x)(∀y)(∀z)(∀u)(∃v)((A(x,y,z)∧B(x,u))→B(x,v))
(4)(∀x)(∀y)((∃z)(A(x,z)∧B(x,z))→(∃u)R(x,y,u))
解:
(∀x)(∀y)((∃z)(A(x,z)∧B(x,z))→(∃u)R(x,y,u))
⇔(∀x)(∀y)(∀z)(∃u)((A(x,z)∧B(x,z))→R(x,y,u))
(5)⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃x)(∀y)(B(x,y)∧(∀y)(A(y,x)→B(x,y))))
解:
⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃x)(∀y)(B(x,y)∧(∀y)(A(y,x)→B(x,y))))
⇔⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃x)(∀y)(B(x,y)∧(∀z)(A(z,x)→B(x,z))))
⇔⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃u)(∀v)(∀z)(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
⇔⌝(∀x)(∀y)(∃u)(∀v)(∀z)(A(x,y)→(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
⇔(∃x)(∃y)(∀u)(∃v)(∃z)⌝(A(x,y)→(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
2.求下列各式的前束合取范式。
(1)(∀x)(P(x)∨(∀z)Q(z,y)→⌝(∀y)R(x,y))
解:
(∀x)(P(x)∨(∀z)Q(z,y)→⌝(∀y)R(x,y))
⇔(∀x)((∀z)(P(x)∨Q(z,y))→(∃y)⌝R(x,y))
⇔(∀x)((∀z)(P(x)∨Q(z,y))→(∃u)⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)((P(x)∨Q(z,y))→⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)(⌝(P(x)∨Q(z,y))∨⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)((⌝P(x)∧⌝Q(z,y))∨⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)((⌝P(x)∨⌝R(x,u))∧(⌝Q(z,y))∨⌝R(x,u)))
(2)(∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))∨(∀x)R(x,y)
解:
(∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))∨(∀x)R(x,y)
⇔(∃x)(∀u)(P(x,u)∧Q(u,z))∨(∀v)R(v,y)
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∧Q(u,z))∨R(v,y))
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∨R(v,y))∧(Q(u,z))∨R(v,y)))
(3)((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
解:
((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔((∃u)Q(z,u)→(∀x)R(x,y))∨(∃v)S(v,y,z)
⇔(∀u)(∀x)(∃v)((Q(z,u)→R(x,y))∨S(v,y,z))
⇔(∀u)(∀x)(∃v)(⌝Q(z,u)∨R(x,y)∨S(v,y,z))
3.求下列各式的前束析取范式。
(1)(∀x)(P(x)→(∀y)((∀x)Q(x,y)→⌝(∀z)R(x,y,z)))
解:
(∀x)(P(x)→(∀y)((∀x)Q(x,y)→⌝(∀z)R(x,y,z)))
⇔(∀x)(P(x)→(∀y)((∀x)Q(x,y)→(∃z)⌝R(x,y,z)))
⇔(∀x)(P(x)→(∀y)(∃u)(∃z)(Q(u,y)→⌝R(x,y,z)))
⇔(∀x)(∀y)(∃u)(∃z)(P(x)→(Q(u,y)→⌝R(x,y,z)))
⇔(∀x)(∀y)(∃u)(∃z)(⌝P(x)∨⌝Q(u,y)∨⌝R(x,y,z))
(2)(∃x)(∀y)(P(x,y)∨Q(y,z))∧(∀x)R(x,y)
解:
(∃x)(∀y)(P(x,y)∨Q(y,z))∧(∀x)R(x,y)
⇔(∃x)(∀u)(P(x,u)∨Q(u,z))∧(∀v)R(v,y)
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∨Q(u,z))∧R(v,y))
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∧R(v,y))∨(Q(u,z))∧R(v,y)))
(3)((∃y)Q(z,y)∧(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
解:
((∃y)Q(z,y)∧(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔((∃u)Q(z,u)∧(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔(∃u)(∀x)(Q(z,u)∧R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔(∃u)(∀x)(Q(z,u)∧R(x,y))∨(∃v)S(v,y,z)
⇔(∃u)(∀x)(∃v)((Q(z,u)∧R(x,y))∨S(v,y,z))
习题2.5
1.证明下列各式。
(1)(∀x)(F(x)→(G(y)∧R(x))),(∃x)F(x)⇒(∃x)(F(x)∧R(x))
证明:
⑴(∃x)F(x)P
⑵F(c)ES⑴
⑶(∀x)(F(x)→(G(y)∧R(x)))P
⑷F(c)→(G(y)∧R(c))US⑶
⑸G(y)∧R(c)T⑵⑷假言推理
⑹R(c)T⑸化简律
⑺F(c)∧R(c)T⑵⑹合取引入
⑻(∃x)(F(x)∧R(x))EG⑺
(2)(∀x)(F(x)→G(x)),(∀x)(R(x)→⌝G(x))⇒(∀x)(R(x)→⌝F(x))
证明:
⑴(∀x)(R(x)→⌝G(x))P
⑵R(c)→⌝G(c)US⑴
⑶(∀x)(F(x)→G(x))P
⑷F(c)→G(c)US⑶
⑸⌝G(c)→⌝F(c)T⑷假言易位式
⑹R(c)→⌝F(c)T⑵⑸假言三段论
⑺(∀x)(R(x)→⌝F(x))UG⑹
(3)(∀x)(F(x)∨G(x)),(∀x)(G(x)→⌝R(x)),(∀x)R(x)⇒(∀x)F(x)
证明:
⑴(∀x)R(x)P
⑵R(c)US⑴
⑶(∀x)(G(x)→⌝R(x))P
⑷G(c)→⌝R(c)US⑶
⑸⌝G(c)T⑵⑷拒取式
⑹(∀x)(F(x)∨G(x))P
⑺F(c)∨G(c)US⑹
⑻F(c)T⑸⑺析取三段论
⑼(∀x)F(x)UG⑻
(4)(∃x)F(x)→(∀y)((F(y)∨G(y))→R(y)),(∃x)F(x)⇒(∃x)R(x)
证明:
⑴(∃x)F(x)P
⑵F(c)ES⑴
⑶(∃x)F(x)→(∀y)((F(y)∨G(y))→R(y))P
⑷(∀y)((F(y)∨G(y))→R(y))T⑴⑶假言推理
⑸(F(c)∨G(c))→R(c)US⑷
⑹F
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