平行四边形典型例题.docx
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平行四边形典型例题.docx
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平行四边形典型例题
GB8878185555334563BT9125XW
创作編号丄
创作肴:
凤呜大王*
平行四边形典型例题
1.已知如图12-1-19,所示口ABCD的对角线AC、BD相交于点6OE上AD于E,OF丄BC于F.
求证:
四边形AECF是平行四边形
错证:
^EAAOE和厶COF中
VOE丄AD,OF丄BCAZAEO=ZCFO=90°
・.•四边形ABCD为平行四边形
•••OA=OC,AD〃BC•••ZEAC=ZACF
•••AAOE^ACOF(AAS)•••OF=OE
・••四边形AECF是平行四边形
错误分析:
上而证明由OF=OE,OA=OC不能说明EF与AC互相平分,因为原题设中没有说明E、O、F三点共线,因此先证E、O、F三点共线・
正确证明:
在AAOE和ACOF中
VOE丄ADOF丄BCZAEO=ZCFO=90°
•••四边形ABCD为平行四边形
•••OA=OC,AD〃BC•••ZEAC=ZACF
•••△A0E9ACOF(AAS):
.OF=OE
又•••AD〃BC,OE丄AD,OF丄BC
・・.E、O、F三点共线
.・.四边形AECF是平行四边形
2.如图12・1・22所示,现有一块等腰直角三角形的铁板,通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形,请你设计一种最简单的方案,并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形.
分析:
运用三角形全等,平行四边形的识别方法来解答,在证明时不要忽略证明F,E,D共线.
解:
取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来,如图使点E不变,点C与点A重合,再焊接上去最简单.
证明:
在RtZXABC中VAC=BCAZB=45°
又TE、D分别为AC、BC的中点
AEC=DCAZCED=ZCDE=45°
.\ZAEF=ZCED=45°AZAEF+ZAED=ZCED+ZAED=180°
•••F、E、D在一条直线上VZEAF=ZC=90°AAF^CD
又VAF=CD=DB•••四边形AFDB是平行四边形,且ZB=45°
3.如图12-1-23,在口ABCD的对角线上取两点E、F,且BF=DE,请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形.并指岀哪种方法最简便.
图12-1-23
分析:
可证两组对边分別相等,也可证对角线互相平分.
证明方法
(一)在△ABF和△CDE中,AB=CD,BF=DE,ZABF=ZCDE・
AAABF^ACDE.\AF=CE
同理可证AE=CF,故四边形AECF是平行四边形
方法
(二)
连AC交BD于0
在GABCD中,OA=OC,OB=OD
VBF=DEAOE=OF•••四边形AECF为平行四边形
4.如果一块木板两边是线段,把两把曲尺的一边紧靠木板边缘,再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等,就可以判断木板的两个边缘是否平行,这是为什么?
分析:
这是一道生活实践题,运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题,此题就是运用平行四边形的识別方法来判断两边是否平行.
解:
如果曲尺的刻度相等,则木板的两个边缘就平行,因为,两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形,当曲尺的刻度相等,则四边形中就有一组对边平行且相等,所以四边形为平行四边形,则木板的两边缘平行・
如果曲尺的刻度不相等,则木板的两个边缘就不平行,因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形.
5.已知如图12-1-4所示,口ABCD中,AB的延长线上取一点E,使BE=AB,在CE上取一点M使CM=CD,连结DM并延长交AE的延长线于点F
求证:
BD=BF
0912-1-4
分析:
由于BD,BF是ABDF的两边,所以要证BD=BF,可由证Z\BDF中ZBDF=ZF入手,易知ZF=ZCDM=ZCMD=ZEMF,故只要证BD〃CE,由此由证法一又注意到BF=BE+EF,易知BE=AB=CD=CM,EF=EM,故BF=CE,从而只要证BD=CE,由此有证法二.
证法
(一):
•••四边形ABCD为平行四边形AABTTcD
又TE点在AB延长线上,且BE=AB••.ABTFcD
•••四边形BECD是平行四形•••BD〃CEZ.ZBDF=ZEMF
IZEMF=ZCMD•••ZBDF=ZCMD
又VCM=CD•••ZCMD=ZCDM:
.ZBDF=ZCDM
创作編号上
GB8878185555334563BT9125XW
创作者:
凤呜大王*
•••AF〃CDAZCDM=ZFABDF=ZF
即BD=BF
证法
(二):
•••四边形ABCD为平行四边形.\ABTTcD
又TE点在AB延长线上且BE=ABZ.BETTcD
•••四边形BECD是平行四边形•••BD=CE,BE=CD
又•••ZEMF=ZCMD.CD=CM:
.ZCMD=ZCDM
AZEMF=ZCDMVBE//CDAZF=ZEMFAEF=EMABF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD
即BF=BD
习题精选
一、填空题
1.过口ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线,垂足为E、F,
则四边形AECF是.
2.延长AABC的中线AD到E,使DE=AD则四边形ABEC
是四边形.
3.在四边形ABCD中ZA=50°欲使四边形为平行四边形,则Z
B二,ZC=,Z
D=.
4.在四边形中,任意相邻两个内角互补,则这个四边形
是四边形.
5.如图12-1-29,在口ABCD中,E、F为AB、CD的中点,连结DE、EF、BF则图中共有
个平行四边形.
6.在6BCD中连结BD作AE丄BD,CF丄BD,垂足分别为E、F,连结CE、AF,点P、Q在线段BD上,且BP=DQ,连结AP、CP、AQ、CQ,MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC,那么图中平行四边形(除6BCD外)有个,它们是.
二、判断题
1.平行四边形的对边分别相等()
2.平行四边形的对角线相等()
3.平行四边形的邻角互补()
4.平行四边形的对角相等()
5.平行四边形的对角线互相平分一组对角()
6.对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等()
三、选择题
1.能判断四边形是平行四边形的条件是(
A.一组对边平行,另一组对边相等
B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对边平行,一组邻角互补
D.一组对边相等,一组邻角相等
2.能确定平行四边形的大小和形状的条件是()
A.已知平行四边形的两邻边
B.已知平行四边形的两邻角
C.已知平形四边形的两对角线
D.已知平行四边形的两边及夹角
3.平行四边形一边为32,则它的两条对角线长不可能为()
A.20和
18
B.40和50
C.60和
30
D.32和50
4.如图12-1-30所示,已知口ABCD的对角线的交点是0,直线EF过0
点且平行于BC,直线GH过0且平行AB,则图中有()个平行四边形.
A.5个B.6个C.7个D.10个
5.能判定四边形为平行四边形的是()
A.一组对角相
等
B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相平
分D.一对邻角
互补
6.以下结论正确的是()
A.对角线相等,且一组对角也相等的四边形是平行四边形.
B.—边长为5,两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形.
C.一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形.
D.对角线相等的四边形是平行四边形.
7.在OABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,如果点E,F分别由下列各种情况得到的,那么四边形AECF不一定是平行四边形的是()
A.AE、CF分别平分ZDAB、ZBCD
B.AE,CF使ZBEA=ZCFD
C.E、F分别是BC、AD的中点
32
D.BE=5BC,AF=5AD
8.6BCD对角线交点为0,A0BC的周长为59cm,且AD=28cm,两对角线之差为14cm,则对角线长为()
A-12cm和
9cm
B.24cm和38cm
C.8.5cm和
22.5cm
•15.5cm和29.5cm
四、解答题
1・如图12-1-31所示,在口ABCD中,AE平分ZBAD,CF平分ZBCD,四边形AECF是平行四边形吗?
2.如图12-1-32所示,四边形ABCD中ZB=ZD,Z1=Z2,则四边形ABCD是平行四边形吗?
为什么?
3-如图12-1-33所示,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E、F分别是0D、0B上一点,若ZECD=ZFAB,EC=AF,则四边形AECF是平行四边形吗?
为什么?
GB8878185555334563盯9125XW
nC
创作編号上
创作肴:
凤呜大王*
5.如图12-1-35所示,AABC中DE在BC边上,N、M在AB、AC上,且EN与DM互相平分,MD〃AB,NE/7AC求证:
BD=DE=CE
图12-1-35
五、证明题
1.已知:
如图12-1-18,在6BCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE二DF.
求证:
(1)AE=CF
(2)AE//CF
2.已知:
如图12-1-19,四边形ABCD为平行四边形,E、F是直线BD延长线上的两点,且DE=BF,求证AE=CF
参考答案
一、填空题
1.平行四边形点拨:
由一组对边平行且相等,即可判断
2.平行四边形
3.130°,50°,130°
4.平行四边形点拨:
由题意可得两组对边分别平行
5.4个点拨:
6BCD,6DFE,口EFCB,DEDFB
6.3个6ECF,6PCQ,口AMCN
二、判断题
1.V2.X点拨:
对角线不一定相等,但互相平分
3.V4.J
5.X点拨:
对角线不平分一组对角,只是自己互相平分6.V
三、选择题
1.B2.D3.A4.D5.C6.C7.B8.B
四、解答题
1.解:
四边形AECF是平行四边形
点拨:
由6BCD知ZBCD=ZBAD,乂AE平分ZBAD,CF平分ZBCD,故ZEAF=ZECF,乂ZAF〃EC,故ZAEC+ZEAF=180°,即ZAEC+ZECF=180°,所以AE〃CF,故四边形AECF是平行四边形.
2.解:
四边形ABCD是平行四边形
由Z1=Z2得DC〃AB,所以ZD+ZDAB=180°,乂ZB=ZD,所以ZDAB+ZB=180°,所以AD/7BC,即四边形ABCD为平行四边形.
3.解:
是平行四边形
点拨:
AB〃CD,故ZACD=ZCAB,又ZECD=ZFAB,故ZACD-ZECD=ZCAB-ZFAB,即ZACE=ZCAF,所以CE二AF,CE=AF,故AFCE是平行四边形.
4.证明:
VBD1ADAZBDA=90°
VZDBC=90°,DC=AB,DB=DB
AAADB^ACBDAAD=BC
・•・四边形ABCD是平行四边形
5.证明:
TNE,MD互相平分
・•・四边形MNDE为平行四边形・・・MN®E
乂・.・MD〃AB,NE/7AC四边形MNBD、MNEC为平行四边形
•・・MN=BD,MN=CEABD=DE=CE
五、证明题
1.证明:
•・•四边形ABCD为平行四边形
aabILdcAZABE=ZCDF
在Z\ABE和Z\CDF中
「AB=DC(已证)
{ZABE=ZCDF(已知)
LZBE=DF(已知)
AAABE^ACDF(SAS)AAE=CFAZAEB=ZCFD
・・・ZAED=ZBFC(等角的补角相等)・・・AE〃CF
2.证明:
如图(3)所示
(2)
•・•四边形ABCD是平行四边形
・・・AD〃BC,AD=BCAZ1=Z2
•・・BD是直线・・・Z1+Z3=18O°,Z2+Z4=180°
・・・Z3=Z4
rAD=CB
在AaDE和厶CBF•电IZ3=Z4
DE=BF
AAADE^ACBFAAE=CF
创作编号丄
GB8878185555334563BT9125XW
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