高三数学第一轮复习数列知识点很全.docx
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高三数学第一轮复习数列知识点很全
高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1.数列的定义:
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式:
如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即anf(n).
3.递推公式:
如果已知数列an的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an1(或前几
项)间的关系可以用一个式子来表示,即列an的递推公式.如数列an中,公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
anf(an1)或anf(an1,an2),那么这个式子叫做数
a11,an2an1,其中an2an1是数列an的递推
①Sna1a2an;
S1(n1)
②an1.
SnSn1(n2)
5.数列的表示方法:
解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类:
有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.
①递增数列:
对于任何nN,均有an1an.
②递减数列:
对于任何nN,均有an1an.
③摆动数列:
例如:
1,1,1,1,1,.
④常数数列:
例如:
6,6,6,6,⋯⋯.
⑤有界数列:
存在正数M使anM,nN.
⑥无界数列:
对于任何正数M,总有项an使得anM.
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列,常数d称为等差数列的公差.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式ana1(n1)d,a1为首项,d为公差.
n(aa)1
⑵前n项和公式Sn1n或Snna1n(n1)d.
22
3.等差中项
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
即:
A是a与b的等差中项2Aaba,A,b成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法:
an1and(nN,d是常数)an是等差数列;
⑵中项法:
2an1anan2(nN)an是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列an是等差数列,则数列anp、pan(p是常数)都是等差数列;
⑵在等差数列an中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,ank,an2k,an3k,为等
差数列,公差为kd.
2
⑶anam(nm)d;ananb(a,b是常数);Snan2bn(a,b是常数,a0)
⑷若mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq;
⑸若等差数列an的前n项和Sn,则Sn是等差数列;n
⑹当项数为2n(nN),则S偶S奇nd,
偶奇S奇an
等比数列
1.
q(q0),这个数列叫做等比数
等比数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数列,常数q称为等比数列的公比.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式:
ana1qn1,a1为首项,q为公比.
⑵前n项和公式:
①当q1时,Snna1
②当q1时,Sna1(1q)a1anq.
1q1q
3.等比中项
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:
G是a与b的等差中项a,A,b成等差数列G2ab.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法:
an1q(nN,q0是常数)an是等比数列;
an
⑵中项法:
an12anan2(nN)且an0an是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列an是等比数列,则数列pan、pan(q0是常数)都是等比数列;
⑵在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2k,an3k,为等
比数列,公比为qk.
⑶anamqnm(n,mN)
⑷若mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq;
⑸若等比数列an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.
二、典型例题
A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)
1)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知Sn为等差数列an的前n项和,a49,a96,Sn63,求n;
2、等差数列an中,a410且a3,a6,a10成等比数列,求数列an前20项的和S20.
3、设an是公比为正数的等比数列,若a11,a516,求数列an前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间
两数之和为36,求这四个数.
2)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知Sn为等差数列an的前n项和,a6100,则S11;
S7n2a
2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和,Sn7n2,则a5.
Tnn3b5
3、设Sn是等差数列an的前n项和,若a55,则S9()
a39S5
4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若Sn2n,则an=()
nnnnTn3n1bn
5、已知Sn为等差数列an的前n项和,Snm,Smn(nm),则Smn.
6、在正项等比数列an中,a1a52a3a5a3a725,则a3a5__。
7、已知数列an是等差数列,若
a4a7a1017,a4a5a6a12a13a1477且ak13,则k
8、已知Sn为等比数列an前n项和,Sn54,S2n60,则S3n
给出前几项,求通项公式
1)
1,0,1,0,⋯⋯
1,3,6,10,15,21,,
3,-33,333,-3333,33333
2)给出前n项和求通项公式
1、⑴Sn2n23n;⑵Sn3n1.
2、设数列an满足a13a232a3⋯+3n-1ann3(nN*),求数列an的通项公式
3)给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式an1anf(n),可利用迭加法或迭代法;
an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1
例:
已知数列an中,a12,anan12n1(n2),求数列an的通项公式;
b、已知关系式an1anf(n),可利用迭乘法.ananan1an2a3a2a1
an1an2an3a2a1
例、已知数列an满足:
ann1(n2),a12,求求数列an的通项公式;
an1n1
c、构造新数列
1°递推关系形如“an1panq”,利用待定系数法求解
例、已知数列an中,a11,an12an3,求数列an的通项公式.
2°递推关系形如“,两边同除pn1或待定系数法求解例、a11,an12an3,求数列an的通项公式
3°递推已知数列an中,关系形如“an2pan1qan”,利用待定系数法求解例、已知数列an中,a11,a22,an23an12an,求数列an的通项公式
4°递推关系形如"anpan1qanan(1p,q0),两边同除以anan1
例1、已知数列an中,anan12anan(1n2),a12,求数列an的通项公式
例2、数列an中,a12,an12an(nN),求数列an的通项公式4an
d、给出关于Sn和am的关系
例1、设数列an的前n项和为Sn,已知a1a,an1Sn3n(nN),设bnSn3n,
求数列bn的通项公式.
1
例2、设Sn是数列an的前n项和,a11,Sn2an
12(n2).⑴求an的通项;
⑵设bnSn,求数列bn的前n项和Tn.
2n1
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
1
a1=.
12
例1、已知Sn为等差数列an的前n项和,bnSn(nN).求证:
数列bn是等差数列n
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),
1
求证:
{S1n}是等差数列;
2)证明数列等比
1an
例1、设{an}是等差数列,bn=,求证:
数列{bn}是等比数列;
nn2n
例2、数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,若an+Sn=n.设cn=an-1,求证:
数列{cn}是等比数列;
例3、已知Sn为数列an的前n项和,a11,Sn4an2.
⑴设数列bn中,bnan12an,求证:
bn是等比数列;
⑵设数列cn中,cnann,求证:
cn是等差数列;⑶求数列an的通项公式及前2n
n项和.
例4、设Sn为数列an的前n项和,已知ban2b1Sn
⑴证明:
当b2时,ann2n1是等比数列;
⑵求an的通项公式
例5、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).
⑴证明:
数列an1an是等比数列;
⑵求数列an的通项公式;
⑶若数列bn满足4b114b21...4bn1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列
D、求数列的前n项和
基本方法:
1)公式法,
2)拆解求和法.例1、求数列{2n2n3}的前n项和Sn.
1111
例2、求数列1,2,3,,(nn),的前n项和Sn.
2482nn
例3、求和:
2×5+3×6+4×7+⋯+n(n+3)
例1、求和:
S=1+
12123
例3、求和:
.
213243n1n
3)倒序相加法,
2
x
例、设f(x)2,求:
1x
⑴f(14)f(13)f(12)f
(2)f(3)f(4);
⑵f(20110)f(20109)f(31)f(12)f
(2)f(2009)f(2010).
4)错位相减法,
例、若数列an的通项an(2n1)3n,求此数列的前n项和Sn.
5)对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.
E、数列单调性最值问题
例1、数列an中,an2n49,当数列an的前n项和Sn取得最小值时,n.
例2、已知Sn为等差数列an的前n项和,a125,a416.当n为何值时,Sn取得最大值;
例4、数列an中,an3n228n1,求an取最小值时n的值.
例5、数列an中,annn22,求数列an的最大项和最小项
例5、设数列an的前n项和为Sn.已知a1a,an1Sn3n,nN(Ⅰ)设bnSn3n,求数列bn的通项公式;
*
(Ⅱ)若an1≥an,nN*,求a的取值范围.
例6、已知Sn为数列an的前n项和,a13,SnSn12an(n2).
⑴求数列an的通项公式;
⑵数列an中是否存在正整数k,使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立?
若存在,求最小的正整数k,若不存在,说明理由.
12
例7、非等比数列{an}中,前n项和Sn1(an1)2,
4
(1)求数列{an}的通项公式;
1
(2)设bn(nN*),Tnb1b2bn,是否存在最大的整数m,使得对任意
n(3an)
m;若不存在,请说明理由。
的n均有Tnm总成立?
若存在,求出
32
F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,⋯
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用
了多少块?
例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%,从2003年开始,计划每年将非绿化
面积的
8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2%被非绿化.4
⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1,经过n年后绿化的面积为an1,试用
10
an表示
an1;
⑵求数列an的第n1项an1;
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:
lg20.3010,lg30.4771)
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