11三角形.docx
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11三角形
11.1.1三角形的边
教学目标
知识与技能
1.学会三角形的表示及掌握对边与对角的关系;
2.掌握三角形三条边之间关系.
过程与方法
通过具体实例,掌握三边关系的应用。
情感态度价值观
通过观察、操作、想像、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和表达能力。
重点:
了解三角形定义、三边关系.
难点:
理解"首尾相连"等关键语句.
教学准备
教师:
三角尺、屋顶架结构图等.
学生:
三角尺、铅垂纸、小刀.
教学过程
一、提出问题
展示实物,特别突出屋顶结构图,问题:
1.请仔细观察实物,找出不同的三角形.
2.与同伴交流各自找到的三角形.
3.这些三角形有什么特点?
设计意图:
通过观察实物,尤其是屋顶的框架结构图实例,使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程,认识三角形要素.
二、探究质疑
1.三角形的概念:
(1)通过学生间交流,师生共同得出:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
(2)三角形有哪些基本要素,师生共同得出:
边、角、顶点.
2.三角形表示:
(1)教师强调,为了简单起见:
三角形用符号"△"表示,如三角形ABC就表示成△ABC,三个顶点为:
A、B、C,三边分别为:
AB,BC,AC,三角为∠A、∠B、∠C 。
通常顶点A所对的边BC用a表示,顶点B所对的边AC用b表示,顶点C所对的边AB用c表示。
.
(2)请同学们找出图3中的三角形,并用符号表示出来,同时说出各个三角形要素,并指出AD是哪些三角形的边.
3.动手操作:
请小组同学们画一个△ABC,分别图3量出AB,BC,AC的长,并比较下列各式大小:
AB+BC_AC;AB+AC_BC; AC+BC_AB,
从中你有何启发?
小组合作后,对你们的结论加以解释.
师生共同得出结论:
三角形任意两边之和大于第三边.
设计意图:
在识别中加深认识,巩固对三角形概念及三角形要素的理解,更加深刻理解三角形表示的必要性.
三、巩固新知
1.有两根长度分别为5cm,8cm的木棒,用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?
为什么?
长度为13cm的木棒呢?
设计意图:
(1)是巩固三角形的表示方法;
(2)渗透反证法思想,借助小组操作讨论,得出组成三角形的条件.
四、练习:
教材第4页
五、归纳小结
1.请你谈谈本堂课的收获.
2.你有什么困惑?
3.你对老师有什么要求?
通过小组讨论,完善学生对知识的梳理.
六、布置作业 :
教材第8页习题11.1第1、6、7题;
教学反思 :
本课设计通过观察、操作、想像、推理、交流等活动,发展学生的归纳、抽象及有条理的推理、表达能力,结合具体实例,引导学生探究新知,充分体现了合作学习、自主探究、动手实践的学习方式,为学生提供了探索与交流的时间与空间,同时注重数学的实际应用,在总结出任意三角形三边关系后,提供了与生活联系的练习,使学生体会到数学的应用价值及其学习数学的重要性、必要性,更加激发了学生求知欲.
11.1.2三角形的高 、中线与 角平分线
教学目标
1、知识与技能:
通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程,认识三角形的高线、角平分线、中线;会画出任意三角形的高线、角平分线、中线,通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点.
2、过程与方法:
经历画、折等实践操作活动过程,发展学生的空间观念,推理能力及创新精神.学会用数学知识解决实际问题能力,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力.
3、情感与态度价值观:
通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心.
重点 :
能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”,并理解它们概念的含义、联系和区别.
难点 :
在钝角三角形中作高.
教学过程
(一)创设情境,引入新课
1.让学生回忆过直线外的一点作已知直线的垂线的画法,提问:
你能从ΔABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线吗?
今天这节课我们学习三角形的高、中线与角平分线。
(设计说明:
从学生已有的过直线外的一点作已知直线的垂线的知识经验出发引入课题,易于学生接受,为画出三角形的高线做准备,并在下面的活动中发挥积极的作用。
)
(二)合作交流,解读探究
1.三角形的高
(1)概念
如图111-3,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
.
几何语言:
∵AD是△ABC的边BC上的高,(AD⊥BC于D)
∴∠ADB=∠ADC=90°.
②画法
用同样方法,让学生在练习本上分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,并画出这三个三角形的高。
教师引导学生画钝角三角形的高.
观察你所画三角形,你发现:
(i)锐角三角形的三条高在三角形的__(填“内部”、“外部”);直角三角形的两条高是三角形的__;另一条高在三角形的__(填“内部”、“外部”);钝角三角形的两条高在三角形的__(填“内部、“外部”);另一条高在三角形的__(填“内部”、“外部”);
(ii)锐角三角形的三条高交于三角形的__;直角三角形的三条高交于____;钝角三角形的三条高交于三角形的__(填“内部”、“外部”);
(亲手操作寻求数学结论,有利于激发学生的兴趣,通过填空的方式给出答案,使学生们有成就感)
我们再来看两种与三角形有关的线段。
2.三角形的中线
如图111-4,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
几何语言:
∵AD是△ABC的边BC上的中线,
∴BD=CD;BD=BC;CD=BC;BC=2__;__=2CD.
用同样方法,你能画出△ABC的另两条边上的中线吗?
类似的,试着画一画直角三角形ABC和钝角三角形ABC的三条中线.
(学生自己动手画三角形中线,教师加以引导,学生合作交流归纳)
归纳:
任何三角形都有三条中线,这三条中线相交于三角形内部一点
3.三角形的角平分线
如图111-5,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线.
几何语言:
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC
或∠1=∠__, ∠1=∠__, ∠2=∠BAC,
∠BAC=2∠__,∠BAC=2∠2
用同样方法,你能画出△ABC的另两条角平分线吗?
类似的,试着画一画直角三角形ABC和钝角三角形ABC的三条角平分线。
(学生自己动手画三角形角平分线,教师加以引导,学生合作交流归纳)
归纳:
任何三角形有三条角平分线,并且都交于三角形的内部一点。
(三)应用迁移,巩固提高
1.三角形的三条高在( )
A.三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的边上 D.三角形的内部,外部或边上
2.下列说法正确的是( )
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线;②三角形的中线,角平分线都是线段,而高是直线;③每个三角形都有三条中线,高和角平分线;④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线。
A.③④ B.③ C.②③ D.①④
3、课本第五页练习题
(四)学习心得:
说说你的收获?
(引导学生进行本节课知识的小结,先让学生归纳、补充,然后老师补充有关的知识点。
)
五、课后作业:
课本第8页3、4、8、9 题
课后反思
(1)首先引导学生复习过直线外的一点作已知直线的垂线的画法,提出问题,引出课题。
如此,可以较好地激起学生对三角形高的探索兴趣。
(2)在教学过程中,从以前学过的高、中线、角平分线的知识出发,逐渐深化,不断完善,让学生感受到知识的形成是由自然到必然的过程。
,
11.1.3三角形的稳定性
教学目标
知识与技能
1.通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.
2.体会稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用.
过程与方法
让学生在实践中进行探索,通过动手操作体会三角形的稳定性,并用生活中的实例让学生感受数学在生活中应用.
情感态度价值观
体会三角形的稳定性在生产和生活中的应用.
重点:
了解三角形的稳定性及其在生产、生活是实际应用.
难点:
三角形稳定性的得出.
教学过程
一.回顾旧知提出问题
问题1:
如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE=CE,AF是三角形的角平分线.那么三角形的三边有什么关系?
根据上述条件,你还能得到什么结论?
学生回答:
三角形两边之和大于条三边,还可以得到AD是三角形BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠BAF=∠CAF,S△ABE=S△ACE.
问题2:
在我们的生产和生活中哪里用到了三角形?
二、探索新知解决问题
1.通过实际操作探索三角形的稳定性
问题1:
如图,在盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条.为什么要这样做?
学生讨论,得出各种结论.
问题2:
用三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
学生动手操作,通过实验得出结论:
它的形状不会改变.
问题3:
用四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
学生动手操作,通过实验得出结论:
它的形状会改变.
问题4:
在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?
学生动手操作,通过实验得出结论:
它的形状不会改变.
问题5:
经过以上三次实验,你发现了什么规律?
学生讨论回答:
可以发现,三角形不会变形,即三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性.
(教学说明:
三角形的稳定性是在学生观察、实验的过程中体会出的,不必经过证明)2.通过生活中的实例感受数学知识在生产和生产中的应用
问题:
三角形的稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用?
学生回答:
桥梁、起重机、自行车架、衣服挂架、放缩尺等.
(教学说明:
让学生发现生产和生活中利用三角形稳定性及四边形不稳定性的例子,体会数学知识在生活中的应用,培养学生探索生活,发现数学的能力.)
三、巩固训练熟练技能
练习:
下列图形中哪些具有稳定性?
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
11.2.1三角形的内角
(1)
教学目标
知识与技能
1、学会三角形的内角和定理及其证明。
2、能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。
过程与方法
经历实验活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理。
情感态度价值观
经历分析、观察、操作,培养学生的应用能力和合作交流能力。
重点:
三角形内角和定理
难点:
三角形内角和定理的推理的过程
课前准备
每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形
教学过程
一、做一做
1在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码
2让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出
的度数,可得到
3剪下
,按图
(2)拼在一起,从而还可得到
图2
4把
和
剪下按图(3)拼在一起,用量角器量一量
的度数,会得到什么结果。
学生猜想结果:
三角形的内角和等于180°
二、想一想
如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?
已知
,说明
,你有几种方法?
结合图
(1)、图
(2)、图(3),
能不能用图(4)也可以说明这个结论成立?
教师引导,学生回答,共同完成。
三、例题:
如图,C岛在A岛的北偏东
方向,B岛在A岛的北偏东
方向,C岛在B岛的北偏西
方向,从C岛看A、B两岛的视角
是多少度?
四、练习:
1、课本P80练习1,2
2、补充练习
(1)三角形中最大的角是
,那么这个三角形是锐角三角形()
(2)一个三角形中最多只有一个钝角或直角()
(3)一个等腰三角形一定是锐角三角形()
(4)一个三角形最少有一个角不大于
()
五、小结:
本节课你有什么收获?
六、作业:
1、P13第1,2题
11.2.1三角形的内角
(2)
教学目标
知识与技能
1、体验直角三角形应用的广泛性,进一步认识直角三角形.
2、学会用符号和字母表示直角三角形.
过程与方法
1、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨,掌握直角三角形两个锐角互余的性质.
2、会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
情感态度价值观
经历讨论、交流,培养学生的合作能力。
重点:
“直角三角形的两个锐角互余”的性质的应用
难点:
.用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
教学过程
一、引入:
相传在很久很久以前,生活在岭南一带的傣族祖先为了躲避禽兽侵 袭和瘴气危害,将自己的屋舍建在树上,随着时间的推移和工艺的改进,就出现了我们今天的傣族干栏房.这种古老而精致的建筑中含有丰富的几何图形,你能从图中找出形状为直角三角形的部分吗?
二、新课教学:
1.由复习得出直角三角形的概念。
板书:
有一个角是直角和三角形叫做直角三角形.
直角三角形表示方法:
Rt⊿.
认识一下直角三角形的三条边
2.合作学习:
请同学们在长方形的纸上剪出一个直角三角形。
想想它们除了形状不一样外,有没有相 同的地方?
1. 一个内角为90。
2. 两个锐角互余。
生讨论后,小结得出:
(板书)直角三角形的两个锐角互余.
反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?
学生思考,回答理由,教师引导。
结论解释,与判定、性质相联系。
3、例题
三、、练一练:
课本第14页练习1、2
四、、小结:
请学生归纳回答。
11.2.2三角形的外角
教学目标
知识与技能
1、了解三角形外角的概念。
2、能利用三角形外角的性质解决简单问题。
过程与方法
探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
情感态度价值观
通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心.
重点:
能利用三角形外角的性质解决简单问题.
难点:
了解“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的应用范围,并能解决简单问题.
教学方法
在学生自主探索的基础上加以引导,培养学生的逻辑思维及发现问题和解决问题的能力.
教学过程
一、回顾旧知提出问题
(设计说明:
利用问题回顾三角形内角和定理,并利用旧知识,发现新知识.)
问题1:
如图,已知BD//CE,∠A=45°,∠C=65°,求∠1和∠2的度数.
学生回答:
由BD//CE可知,∠1=∠C=65°,由三角形内角和等于180°可得,∠2的邻补角等于70°,所以∠2=110°.
问题2:
在问题1中,∠2被称为三角形的外角,根据∠2的构成,你能说明什么叫三角形的外角吗?
学生讨论回答,教师归纳:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
二、探索新知解决问题
1.根据定义探索三角形外角的个数
问题1:
根据定义,画出三角形的外角.你能画出多少个?
学生回答:
如图,可以画出6个外角.
问题2:
这6个角有什么关系?
(位置关系和数量关系)
学生回答:
∠1和∠2是对顶角,∠3和∠4是对顶角,∠5和∠6是对顶角,所以有∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.
教师说明:
由于三角形这6个外角是三对对顶角,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,所以当我们说三角形的外角时,一般是从这三对对顶角的每一对中取出一个,组成三个角.因此,我们说三角形有三个外角.
2.手脑并用探索三角形外角的性质及外角和
问题1:
如图,在△ABC中,∠ABC=65°,∠ACB=40°,求∠BAC的度数及三角形的外角∠1,∠2,∠3的度数.
学生回答:
∠BAC=75°,∠1=105°,∠2=115°,∠3=140°.
问题2:
观察你的结论,你能发现三角形的三个内角及它的外角有什么关系吗?
三个外角又有什么关系?
学生讨论回答,教师总结:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③三角形的外角和等于360°.
问题3:
试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知:
在△ABC中,∠1是三角形的一个外角.
求证:
∠1=∠A+∠B.
问题4:
试证明三角形的外角和等于360°.
已知:
在△ABC中,∠1,∠2,∠3都是三角形的外角.
求证:
∠1+∠2+∠3=360°.
(教学说明:
在学生的自主探究过程中,教师要关注学生之间的交流合作)
三、巩固训练熟练技能
课本15页练习题
四、反思总结情意发展
问题1:
本节课你学习了什么?
问题2:
本节课你有哪些收获?
五、课堂小结
本节主要学习三角形的外角的概念及性质.
六、布置作业
1、课本16页习题8、11
11.3.1 多边形
教学目标
1.了解多边形及有关概念,理解正多边形及其有关概念.
2.区别凸多边形与凹多边形.
重点:
(1)了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念.
(2)区别凸多边形和凹多边形.
难点:
多边形定义的准确理解.
教学过程
一、新课讲授
见课本P19图.
你能从图片里找出几个由一些线段围成的图形吗?
这些线段围成的图形有何特点。
学生思考、讨论,教师引导归纳:
(1)它们在同一平面内.
(2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的.
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗?
1.在平面内,由一些线段____________________组成的图形叫做多边形.
如果一个多边 形 由n条线段组成,那么这个多边形叫做__________边形.
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的________,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的_________.
3.多边形的对角线连接多边形的________________的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
画出五边形的所有对角线,并要求学生找出对角线的规律。
4.凸多边形与凹多边形
在图
(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做_____四边形,这样的多边形称为_____多边形;而图
(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为_________多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.
5.正多边形
______________________________的多边形叫做正多边形.
二、课堂练习
1、 课本P86练习1.2.
2、判断题.
(1).由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.( )
(2).由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形.( )
(3).由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形,且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧,叫做四边形.( )
(40.在同一平面内,四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形.( )
三、作业:
教材24页1、2题
11.3.2多边形的内角和
教学目标
知识与技能
了解多边形的内角和与外角和公式,进一步进行应用。
过程与方法
1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程,发展学生的合情推理能力和语言表达能力,。
2、通过把多边形转化为三角形,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
情感态度价值观
通过学生间交流、探索,进一步激发学生的学习热情,求知欲望。
重点:
探索多边形的内角和及外角和公式
难点 :
如何把多边形转化成三角形,用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和。
教学过程
一、引入:
你知道三角形的内角和是多少度?
(三角形的内角和等于180°)
引出课题:
您想知道任意一个多边形的内角和吗?
今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和。
二、新授
活动1:
你知道任意一个四边形的内角和是多少吗?
学生展示探究成果:
将四边形分成2个三角形,180°×2=360°
( 1)、引导学生猜想:
四边形的内角和等于360°。
(2)、学生分小组交流与探究,进一步来论证自己的猜想。
(3)、教师汇总学生所探索出的不同方法,除测量与拼凑法外,并提出疑问:
你们添加辅助线的目的是什么?
说一说你的想法。
(4)、教师在学生回答的基础上小结:
借助辅助线把四边形分割成几个三角形,利用三角形内角和求得四边形内角和。
教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的多边形的内角和,进而猜测出四边形的内角和等于360°。
活动2
问题1:
你知道五边形的内角和是多少度吗?
问题2:
你知道n边形的内角和吗?
让学生猜想并动手证明。
(n-2)·180°
180°n-360°
180°(n-1)-180°
板书:
多边形内角和公式:
(n-2)·180°
三、例题。
并从例题中得出问题:
n边形外角和等于多少度?
1、学生思考作答,教师作适当点拨。
由学生发现:
六边形的外角和等于360°。
2、教师引导学生利用多边形的内角和公式,进一步论证六边形外角和等于360°。
即:
六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和360°
3、进行类比推理并小结:
n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和,与边数无关。
四、练习:
1、课本24页
2、一个多边形的内角和与外角和相等,它是几边形?
五、小结:
谈谈本节课你有哪些收获?
六、作业:
课本25页5、6
- 配套讲稿:
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- 11 三角形
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