小学奥数计数专题枚举法.docx
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小学奥数计数专题枚举法
2017年小学奥数计数专题——枚举法
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
注意事项.
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、解答题(题型注释)
1、如图,有8张卡片,上面分别写着自然数l至8.从中取出3张,要使这3张卡片上的数字之和为9.问有多少种不同的取法?
2、从l至8这8个自然数中,每次取出两个不同的数相加,要使它们的和大于10,共有多少种不同的取法?
3、现有1分、2分和5分的硬币各4枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少种不同的支付方法?
4、妈妈买来7个鸡蛋,每天至少吃2个,吃完为止,有多少种不同的吃法?
5、有3个工厂共订300份《吉林日报》,每个工厂最少订99份,最多101份.问:
共有多少种不同的订?
6、在所有四位数中,各个数位上的数字之和等于34的数有多少个?
7、有25本书,分成6份.如果每份至少一本,且每份的本数都不相同,有多少种分法?
8、小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书,共10册.已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元,而且每种书至少买了一本.那么,共有多少种不同的购买方法?
9、甲、乙、丙、丁4名同学排成一行.从左到右数,如果甲不排在第一个位置上,乙不排在第二个位置上,丙不排在第三个位置上,丁不排在第四个位置上,那么不同的排法共有多少种?
10、abcd代表一个四位数,其中a,b,c,d均为l,2,3,4中的某个数字,但彼此不同,例如2134.请写出所有满足关系ae,c 11、一个两位数乘以5,所得的积的结果是一个三位数,且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字.问一共有多少个这样的数? 12、3件运动衣上的号码分别是1,2,3,甲、乙、丙3各穿一件.现有25个小球,首先发给甲1个球,乙2个球,丙3个球.规定3人从余下的球中各取球一次,其中穿l号衣的人取他手中球数的1倍,穿2号衣的人取他手中球数的3倍,穿3号衣的人取他手中球数的4倍,取走之后还剩下两个球.那么,甲穿的运动衣的号码是多少? 13、甲、乙两人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢;如果没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止.那么一共有多少种可能的情况? 14、用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶,贴在一张长7分米、宽2分米的木板上,将其盖住,共有多少种不同的拼贴方式? 在这里,如果两种方案可以通过旋转而互相得到,那么就认为是同一种. 15、用对角线把正八边形剖分成三角形,要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点,那么共有多少种不同的方法? 在这里,如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射,或者旋转加反射而互相得到,那么就认为是同一种. 16、新年到了,爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物,这个魔方的价格是28元8角。 可以有多少种付钱方法? 17、把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和,叫做整数的拆分。 整数4有多少种不同的拆分方法? 18、用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个(不再用其他物品当砝码),当砝码只能放在同一个盘内时,可以称出的重量有多少种? 19、课外小组组织30人做游戏,按1~30号排队报数。 第一次报数后,单号全部站出来,然后每次余下的人中第一个开始站出来,隔一人站出来一个人,到第几次这些人全部站出来? 最后站出的人应该是第几号? 20、用1、2、3这三个数一共可以组成多少个不同的三位数? 分别为哪几个? 21、如图所示,数字1处有一颗棋子,现移动这颗棋子到数字5处。 规定每次只能移动到邻近一格,且总是向右移动,例如1→2→4→5就是一条路线。 问有多少种不同的移动路线? 22、邮局门前共有5级台阶,规定一步只能登上一级或两级,那么上这个台阶一共有多少种不同的上法? 用数组表示不同的上法。 23、商店出售饼干,现存10箱5公斤重的,4箱2公斤重的,8箱一公斤重的。 顾客要买九公斤重的饼干,为了便于携带又不开箱,售货员有多少种发货办法? 24、小云带了1张5元、4张2元的纸币和8枚1元的硬币,现在他要买一本8元的小说,问他有多少种付钱方式? 25、把三个苹果放在两个同样的抽屉里,有多少种不同的方法? 26、用0、1、2这三个数,分别能组成多少个不同的三位数? 其中最小的三位数和最大的三位数分别是多少? 27、一个盒子中装有七枚硬币,两枚1分,两枚5分,两枚1角,一枚5角,每次取出两枚,记下它们的和,然后放回盒中,如此反复取出和放回,那么记下的和最多有多少种不同的钱数? 28、三个数的和是7,如果不计次序,有几种可能? 29、从1~50这50个自然数中选取两个数字,使它们的和大于50,共有多少种不同的取法? 30、今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。 这些纸币任意付款,可以付出多少种不同数额的款? 31、现在有足够数量的1角、5角及1元的硬币若干,如果想用这些硬币组成价值为20元的面额,那么一共有多少种不同的组合方法? 32、一本数学辅导书的序言共有3页,目录共有2页,随后的正文若干页。 这本书在编页码时是将序言、目录和正文分别进行编码的。 如果我们知道这本书在编码时一共使用了1355个字码。 那么这本书一共有多少页? 参考答案 1、3 2、9 3、5 4、8 5、7 6、10 7、5 8、4 9、9 10、1324,1432,2314,2413,3412 11、8 12、2 13、14 14、 15、12 16、4 17、4 18、7 19、16 20、6个;123、132、213、231、312、321 21、5 22、8 23、7 24、7 25、2 26、102,210 27、9 28、4 29、625 30、119 31、441 32、491 【解析】 1、 有1+2+6=9,1+3+5=9,2+3+4=9,共3种,所以共有3种取法符合题意. 2、 在选取时,我们使被加数小于加数,有被加数选1时不满足,选2时不满足, 有3+8=11,4+7=11,4+8=12,5+6=11,5+7=12,5+8=13,6+7=13,6+8=14,7+8=15,所以共有9种取法,使得这两个数的和大于10. 3、 2角3分为23分,当含有5分的硬币4枚时,剩下的23-5×4=3分,可以是1+1+1,或1+2这2种组合支付方法; 当含有5分的硬币3枚时,剩下的23-5×3=8分,可以是2+2+2+2,或2+2+2+1+1,或2+2+1+1+1+1这3种组合支付方法; 当含有5分的硬币2枚时,剩下的23-5×2=13分,而1、2分最多能组成(1+2)×4=12分,不满足; 那么只含有1枚5分硬币,和不含有5分硬币时,显然更不满足. 于是共有2+3=5种支付方式. 4、 如果3天吃完,则2+2+3=2+3+2=3+2+2,有3种吃法; 2天吃完,则2+5=5+2=3+4=4+3,有4种吃法; 1天吃完,则那一天吃了7个; 所以共有3+4+1=8种不同的吃法. 5、300=99+100+101 =99+101+100 =100+99+101 =100+101+99 =101+99+100 =101+100+99 =100+100+100. 所以共有7种不同的订法. 6、 四位数最大为9999,数字和为9+9+9+9=36,所以数字和为34的四位数只能由如下方式组合得到: (9,9,9,7),(9,9,8,8) 对应有9997,9979,9799,7999,9988,8899,9889,8998,9898,8989,共10种. 7、 6份不同,每份至少一本,则最少为1+2+3+4+5+6=21本书,25-21=4,于是把4本数安排进入即可. 有1+2+3+4+5+10=1+2+3+4+6+9=1+2+3+4+7+8=1+2+3+5+6+9=1+3+4+5+6+7=25,共有5种不同的分法. 8、 每种书最少买一本,则花去3+5+7+11=26元,买了4册,所以剩下的70-26=44元,任意买6册即可. 显然11元的最多再买3本,花去11×3=33元,剩下11元买3册,3+3+5=11,即有1种买法; 11元的再买2本,花去11×2=22元,剩下22元买4册,5+5+5+7=3+5+7+7,就有2种买法; 11元的再买1本,花去11元,剩下33元买5册,5+7+7+7+7,即有1种买法; 如果11元的1本都不再买,那么44元买6册,最贵的为7元,7×6=42,无法花去44元,所以不满足. 于是,共有1+2+1=4种不同的购买方法. 3元×3,5元×2,7元×1,11元×4; 3元×2,5元×2,7元×3,11元×3; 3元×1,5元×4,7元×2,11元×3; 3元×1,5元×2,7元×5,11元×2. 9、 用1,2,3,4分别代表甲,乙,丙,丁,有2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,共9种情况满足. 10、 有1324,1432,2314,2413,3412满足. 11、 设三位数为 ,由分析知 是5的倍数, c为0或5当c=0时,b=a+c,abc比500小,则a=1、2、3、4,对应b=1、2、3、4.共4种情形. 若c=5时,a=1、2、3、4,对应b=6、7、8、9也是4种情形,因此一共是8种情形. 12、当甲穿的运动衣的号码是1,乙为2,丙为3时,则甲再取1个,乙再取6个,丙再取12个,此时共取走1+2+3+1+6+12=25个,此时还剩下25-25=0个,不满足; 当甲穿的运动衣的号码是1,乙为3,丙为2时,则甲再取1个,乙再取9个,丙再取8个,此时共取走1+3+2+1+9+8=24个,此时还剩下25-24=1个,不满足; 当甲穿的运用衣的号码是2,乙为1,丙为3时,则甲再取2个,乙再取3个,丙再取12个,此时共取走1+2+3+2+3+12=23个,此时还剩下25-23=2个,显然满足. 不难验证其他情况不成立. 所以甲穿的是2号运动衣. 13、 我们记甲赢为1,甲输为0, 两局决定输赢的情况有1+1,0+0,共2种; 三局决定输赢的情况不存在(为什么? ); 四局决定输赢的情况有1+0+1+1,1+0+0+0,0+1+1+1,0+1+0+0,共4种; 五局决定输赢的情况有1+0+0+1+1,1+0+1+0+1,1+0+0+1+0,1+0+1+0+0,0+1+1+0+0,0+1+0+1+0,0+1+1+0+1,0+1+0+1+1,共8种; 所以共有2+4+8=14种可能. 14、 如下图,有12种符合题意的拼贴方式. 15、 下图为一个正八边形,它的八个顶点别记为1、2、3、4、5、6、7、8.我们从顶点1考虑,三条不同长度对角线从小到大记为 、 、 .从顶点1出发必然连了许多对角线,考虑整个剖分三角形,若必然有顶点连了 、 两种对角线,不可能只连 对角线,否则根本剖分不成三角形,考虑到相互旋转而得到被认为是同一种剖分,因此考虑顶点1连了 或 对角线. 若顶点1连了 对角线1—5,这样1—5对角线也是整个正八边形对称轴,再把左右两边的梯形剖分成三角形即可,这样从顶点1考虑分别有3种不同的图形剖分,如下图所示. 3种结构记为a、b、c上边是右边的剖分,左边剖分分别是上面3处图形式对称图形,记为 、 、 ,因此满足条件的正八边形剖分有下面9种: aa,a 、bb,b 、c 、ab,a 、ac、bc.这里 ,b与 ,a、 ,c与 ,a、b,c与 ,b可相互反射得到,因此有6中不同情形. 若顶点1连了 对角线,而无 对角线,可以有 对角线,如图a,先连上1-6对角线,这样剖分六边形123456时,不会出现 对角线,否则旋转一下同顶点1引 对角线是同一种情形,这样必然使得顶点1或顶点6有另外一条 对角线,若1—4为 对角线,如图e这样四边形1678与四边形1234关于轴1—5对称,中间四边形1456部分只能是连4—6右上部四边形1234剖分有2种分别主为d、e,它们的对称图形对应于四边形1678的两种剖分 、 ,这样正八边形的剖分为 d、 e、 e共3种. 若6—3为 对角线, 这样的图形与图 是同一个图形,它不过是把顶点6旋转到顶点1即可. 所以,共有9+3=12种不同的方法. 16、 (1)2张10元,1张5元,3张1元,1张5角,3张1角; (2)1张10元,3张5元,3张1元,1张5角,1张2角,1张1角; (3)1张20元,4张2元,8张1角; (4)3张10元,收30元找回1元2角; 17、分拆时,将自然数按从达到小的顺序出现,一共有4种不同的分拆方法: 4=3+1,4=2+2,4=2+1+1,4=1+1+1+1。 18、共有三个重量不同的砝码,可以取出其中的一个,两个,三个来称量。 一一来列举这三种情况。 取一个砝码可称: 1克、3克、9克。 有3种。 取两个砝码可称: 1+3=4(克)、1+9=10(克)、3+9=12(克),3种。 取三个砝码可称: 1+3+9=13(克),有1种。 注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同,所以可以称出: 3+3+1=7(种) 19、根据题目的特点,先用排列法把题中的条件问题列出来,再用枚举法完成题目要求。 排好队的人依次是1,2,3,4,5,......28,29,30 次数 出队号码 第一次 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29 第二次 2,6,10,14,18,22,16,30 第三次 4,12,20,28 第四次 8,24 第五次 16 从上面的列表中我们毫无遗漏的排列,得出到第五次这些人全部站出来,最后在个人是16号。 20、根据百位上的数字不同,我们可以将它们分成三类 第一类: 百位上数字为1,有123、132 第二类;百位上数字为2,有213、231 第三类: 百位上数字为3,有312、321 可以组成123、132、213、231、312、321共6个不同数字 21、从1要移到5,从结果想,要移到5只有从4、3向右移动一格到邻近一格5,即5←4或5←3;要移到4,只有从3、2向右移动一格到邻近的4,即: 4←3或4←2;......用树形图填写如下 数一数,图中1的个数就是移动的路线数。 故共有5条不同的路线。 22、 (1)(1,1,1,1,1)表示每步只上一级,只有一种上法; (2)(2,1,1,1)(1,2,1,1),(1,1,2,1,),(1,1,1,2),表示有一步上两个台阶,其他几步都各上一个台阶,共有4种上法; (3)(2,2,1),(1,2,2),(2,1,2),表示有两步各上两个台阶,有一步上一个台阶,这种上法共有3种。 因此,上台阶一共有1+4+3=8种不同上法。 23、9=5+2+2=5+2+1+1=5+1+1+1+1=2+2+2+2+1=2+2+2+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1 =2+1+1+1+1+1+1+1 一共有7种。 24、8=5+2+1=5+1+1+1=2+2+2+2=2+2+2+1+1=2+2+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1 =1+1+1+1+1+1+1+1 一共7种。 25、可以放(2,1)或者(3,0)个,由于两个抽屉一样,(2,1)和(1,2)一样,所以只有2种。 26、列出所有这样的三位数,因为0不能在首位,所以共有102,120,201,210,一共4个,其中最大的是210,最小的是102。 27、列出所有的情况,和可以是1分+1分=2分;1分+5分=6分;5分+5分=1角;1分+1角=1角1分;5分+1角=1角5分;1角+1角=2角;1分+5角=5角1分;5分+5角=5角5分;1角+5角=6角。 一共9种。 28、不计次序的话,将7拆分开,7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3一共4种。 29、取法有很多,找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键。 解: 若两数中较大的是50,则另一个可以取1,2,3,…,49,共49种取法; 若两数中较大的是49,则另一个可以取1,2,3,…,48,共47种取法; 若两数中较大的是48,则另一个可以取1,2,3,…,47,共45种取法; …… 若两数中较大的是26,则另一个只能取25,共1种取法。 因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。 说明在运用枚举法时,一定要找出问题的本质,按照一定的规律去设计枚举的形式。 30、本题如直接枚举,情况复杂,很难求出正确答案。 我们可以先考虑付款的数额范围,在此范围内,再考虑那些不能构成的付款数额,将其剔除。 由题意,付款的最小数额为1角,最大数额为14.8元。 其间1角的整数倍共有148种款额。 另一方面,4角、9角,这两种数额是这些钱币无法付出的,所以1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元、…、14.4元,这些数额也无法付出。 上述这些付不出的数额共29种,应剔除。 所以能付出的数额应是148-29=119(种)。 说明本题采用逆向思维,把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。 这是我们做题时的常见的策略。 31、若全用1元的,共需20个1元硬币,这时只有1种组合方法; 若用19个1元硬币,则还需2个5角硬币或者1个5角与5个1角的硬币,或10个1角的硬币,这时共有3种组合方法; 若用18个1元硬币,则还需4个5角硬币或者3个5角与5个1角的硬币,或2个5角的硬币与10个1角的硬币,或1个5角的硬币与15个1角的硬币,或20个1角的硬币,这时共有5种组合方法; 依次类推,若用17个1元硬币,则有7种组合方法; …… 若用1个1元的硬币,则有39种组合方法; 若不用1元硬币,则有41种组合方法。 于是,共有1+3+5+…+39+41=441种不同的组合方法。 32、我们知道,一页的编码是一位数时,编码时只用一个字码;当一页的编码是两位数时,每页用两个字码;当一页的编码是三位数时,每页则用三个字码。 因此,设这本书正文有x页,可得方程: 3+2+9×1+90×2+(x-99)×3=1355,解得x=486。 即正文有486页,所以这本书一共有491页。
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