30天大冲刺之数学运算之大杂烩一.docx
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30天大冲刺之数学运算之大杂烩一
今天专题的内容分别是:
鸡兔同笼问题、盈亏问题、以及和差倍问题。
一、鸡兔同笼
鸡兔同笼解题的典型方法是:
假设法。
1、鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?
解析:
如果46只都是兔,一共应有4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2(只)脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?
显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。
我们来总结一下这道题的解题思路:
先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设的情况下下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡;将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.
概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是:
鸡数=(每只兔脚数×兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然,也可以先假设全是鸡。
2、红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支?
解:
假设都买了红笔,花的钱一共是19*16=304分
而实际只花了280分,是因为买了蓝笔,而蓝笔每支比红笔少花了8分
因此:
蓝笔数=(304-280)÷8=3支
红笔数=16-3=13(支)
3、刘老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船.每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?
解析:
我们分步来考虑:
1、假设租的10条船都是大船,那么船上应该坐6×10=60(人)。
2、假设后的总人数比实际人数多了60-(41+1)=18(人),多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
3、一条小船当成大船多出2人,多出的18人是把18÷2=9(条)小船当成大船。
因此一共有9条小船,1条大船
4、鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?
解析:
这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.稍微多绕了个小弯。
假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200(只),这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了(200-80)=120(只),这是因为假设中把所有的兔都换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.也就是每1只兔子换成1只鸡,鸡脚比兔脚会多6只。
所以换成鸡的兔子有120÷6=20(只).有鸡(100-20)=80(只)。
5、蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只?
解析:
因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)=5(只).
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13(只).
也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).
因此蜻蜓数是13-6=7(只).
6、某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人?
解:
对2道、3道、4道题的人共有
52-7-6=39(人).
他们共做对
181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).
答:
做对4道题的有31人.
二、盈亏问题
解盈亏问题,常常用到比较法。
1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖,还剩7块;如果每人搬5块,则少2块砖.这个班少先队有几个人?
要搬的砖共有多少块?
解析:
比较两种搬砖法中各个量之间的关系:
每人搬4块,还剩7块砖;每人搬5块,就少2块.这两次搬砖,每人相差5-4=1(块)。
第一种余7块,第二种少2块,那么第二次与第一次总共相差砖数:
7+2=9(块)
每人相差1块,结果总数就相差9块,所以有少先队员9÷1=9(人)。
共有砖:
4×9+7=43(块)。
由本题可见,解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数,被每人搬砖的差即单位差除,就可得出单位的个数,对这题来说就是搬砖的人数.
2、妈妈买回一筐苹果,按计划吃的天数算了一下,如果每天吃4个,要多出48个苹果;如果每天吃6个,则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个?
计划吃多少天?
解析:
题中告诉我们每天吃4个,多出48个苹果;每天吃6个,少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出,由每天吃4个变为每天吃6个,也就是每天多吃2个时,苹果从多出48个到少8个,也就是所需的苹果总数要相差48+8=56(个).从这个对应的变化中可以看出,只要求56里面含有多少个2,就是所求的计划吃的天数;有了计划吃的天数,就不难求出共有多少个苹果了。
因此:
(48+8)÷(6-4)=56÷2=28(天)
6×28-8=160(个)或4×28+48=160(个)
答:
妈妈买回苹果160个,计划吃28天。
3、学校规定上午8时到校,小明去上学,如果每分种走60米,可提早10分钟到校;如果每分钟走50米,可提早8分钟到校,求小明几时几分离家刚好8时到校?
由家到学校的路程是多少?
解析:
小明每分钟走60米,可提早10分钟到校,即到校后还可多走60×10=600(米);如果每分钟走50米,可提早8分钟到校,即到校后还可多走50×8=400(米),第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50=10(米),就可以多走600-400=200(米),从而可以求出小明由家到校所需时间。
解:
①10分种走多少米?
60×10=600(米)
②8分种走多少米?
50×8=400(米)
③需要多长时间?
(600+400)÷(60-50)=20(分钟)
④由家到校的路程:
60×(20-10)=600(米)或:
50×(20-8)=600(米)
4、学校为新生分配宿舍.每个房间住3人,则多出23人;每个房间住5人,则空出3个房间.问宿舍有多少间?
新生有多少人?
解析:
每个房间住3人,则多出23人,每个房间住5人,就空出3个房间,这3个房间如果住满人应该是5×3=15(人).由此可见,每一个房间增加5-3=2(人).两次安排人数总共相差23+15=38(人),因此,房间总数是:
38÷2=19(间),学生总数是:
3×19+23=80
5、少先队员去植树.如果每人种5棵,还有3棵没人种;如果其中2人各种4棵,其余的人各种6棵,这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树,一共种多少树苗?
解析:
这是一道较难的盈亏问题,主要难在对第二个已知条件的理解上:
如果其中2人各种4棵,其余的人各种6棵,就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵,其余的人各种6棵。
如果我们把它统一成一种情况,让每人都种6棵,那么,就可以多种树(6-4)×2=4(棵).因此,原问题就转化为:
如果每人各种5棵树苗,还有3棵没人种;如果每人种6棵树苗,还缺4棵.问有多少少先队员,一共种多少树苗?
解:
[3+(6-4)×2]÷(6-5)=7(人)
5×7+3=38(棵)
或6×7-4=38(棵)
答:
有7个少先队员,一共种38棵树。
6、红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人,则有5人不能乘上车;如果每车多坐5人,恰多余了一辆车,问一共有几辆汽车,有多少学生?
解析:
每车多坐5人,实际是每车可坐5+65=70(人),恰好多余了一辆车,也就是还差一辆汽车的人,即70人.因而原问题转化为:
如果每车坐65人,则多出5人无车乘坐;如果每车坐70人,还少70人,求有多少人和多少辆车?
解:
(5+5+65)÷5=15(辆)
65×15+5=980(人)
或(5+65)×(15-1)=980(人)
答:
一共有15辆汽车,980名学生。
三、和差倍问题
(一)核心要点提示:
和、差倍问题是已知大小两个数的和(或差)与它们的倍数关系,求大小两个数的值。
(和+差)÷2=较大数
(和-差)÷2=较小数
较大数一差=较小数
这一题型应作为一个基本常识掌握,以加快解题的速度。
(二)例题与解析:
1、甲班和乙班共有图书160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
解析:
设乙班的图书本数为l份,则甲班图书为乙班的3倍,那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍。
还可以理解为4份的数量是160本,求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数,然后再求甲班的图书本数。
用下图表示它们的关系:
解:
乙班:
160÷(3十1)=40(本)甲班:
40×3=120(本)或160—40=120(本)
2、河东小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,现知道五、六年级共有25幅画,求其它年级的画共有多少幅?
解析:
由“其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的”可知五年级比六年级多16-15=1(幅)画,又知“五、六年级共有25幅画”,根据和差问题的数量关系可知五年级有(25+1)÷2=13(幅)画,因此,其它年级的画共有16-13=3(幅)。
3、有50名学生参加联欢会,第一个到会的女生同每个男生握过手,第二个到会的女生只差1个男生没握过手,第三个到会的女生只差2个男生没握过手,如此等等,最后一个到会的女生和7个男生握过手,那么这50名学生中有几名男生?
解析:
从题目中已经知道参加联欢会的男生和女生共有50名。
因此,如果能知道男生人数与女生人数的差,即可按和差问题的数量关系求出男生有多少人。
为了使题目中的条件更容易分析,我们不妨将女生的顺序反过来,从后往前看。
也就是说:
最后一个到会的女生同7个男生握过手;倒数第二个到会的女生同8个男生握过手;倒数第三个到会的女生同9个男生握过手,如此等等,第一个到会(即倒数最后一个)的女生同全部男生握过手。
由此,立即可知,男生人数比女生的人数多6个人。
因此,男生人数为
(50+6)÷2=28(人)
一、十字交叉法
十字交叉法是数算里面的一个重要方法,很多比例问题,都可以用十字交叉法来很快地解决,而在资料分析中,也能够派上很大用场,所以应该认真掌握它。
(一)原理介绍
通过一个例题来说明原理。
例:
某班学生的平均成绩是80分,其中男生的平均成绩是75,女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一:
男生一人,女生一人,总分160分,平均分80分。
男生和女生的比例是1:
1。
方法二:
假设男生有A,女生有B。
(A*75+B85)/(A+B)=80
整理后A=B,因此男生和女生的比例是1:
1。
方法三:
男生:
755
80
女生:
855
男生:
女生=1:
1。
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X,B有(1-X)。
AX+B(1-X)=C
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/(A-B)
因此:
X:
(1-X)=(C-B):
(A-C)
上面的计算过程可以抽象为:
AC-B
C
BA-C
这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点:
第一点:
用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点:
得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点:
总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放对角线上。
(二)例题与解析
1.某体育训练中心,教练员中男占90%,运动员中男占80%,在教练员和运动员中男占82%,教练员与运动员人数之比是
A.2:
5B.1:
3C.1:
4D.1:
5
答案:
C分析:
男教练:
90%2%
82%
男运动员:
80%8%
男教练:
男运动员=2%:
8%=1:
4
2.某公司职员25人,每季度共发放劳保费用15000元,已知每个男职必每季度发580元,每个女职员比每个男职员每季度多发50元,该公司男女职员之比是多少
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.1∶2
答案:
B
分析:
职工平均工资15000/25=600
男职工工资:
58030
600
女职工工资:
63020
男职工:
女职工=30:
20=3:
2
3.某城市现在有70万人口,如果5年后城镇人口增加4%,农村人口增加5.4%,则全市人口将增加4.8%。
现在城镇人口有()万。
A30B31.2C40D41.6
答案A
分析:
城镇人口:
4%0.6%
4.8%
农村人口:
5.4%0.8%
城镇人口:
农村人口=0.6%;0.8%=3:
470*(3/7)=30
4.某班男生比女生人数多80%,一次考试后,全班平均成级为75分,而女生的平均分比男生的平均分高20%,则此班女生的平均分是:
A.84分 B.85分 C.86分 D.87分
答案:
A
分析:
假设女生的平均成绩为X,男生的平均Y。
男生与女生的比例是1.8:
1=9:
5。
男生:
Y9
75
女生:
X5
根据十字相乘法原理可以知道X=84
5.某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%.其中本科毕业生比上年度减少2%.而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年毕业的本科生有:
A.3920人 B.4410人 C.4900人 D.5490人
答案:
C
分析:
去年毕业生一共7500人。
7650/(1+2%)=7500人。
本科生:
-2%8%
2%
研究生:
10%4%
本科生:
研究生=8%:
4%=2:
1。
7500*(2/3)=50005000*0.98=4900
6.某市按以下规定收取燃气费:
如果用气量60立方米,按每立方0.8元收费;如果用气量超过60立方米,则超过部分按每立方1.2元收费。
某用户8月份交的燃气费平均每立方米0.88元。
则该用户8月份的燃气费是()
A66元B56元C48元D61.6元
答案:
A
解析:
方法一:
整除法
费用必须能被单价除尽(类似用电、用水也好,使用煤气也好,总使用量一般是整数,这是关键),已知单价0.88元,其中含有11这个因子,只有A满足。
方法二:
十字相乘法
标准用气0.80.32
0.88
超标用气1.20.08
标准用气:
超标用气=0.32:
0.08=4:
1=60:
15所以8月份的燃气费=(60+15)*0.88=75*0.88=66
7.资料分析:
2006年5月份北京市消费品市场较为活跃,实现社会消费品零售额272.2亿元,创今年历史第二高。
据统计,1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元,比去年同期增长12.5%。
汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。
5月份,全市机动车类销售量为5.4万辆,同比增长23.9%。
据对限额以上批发零售贸易企业统计,汽车类商品当月实现零售额32.3亿元,占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3%。
据对限额以上批发零售贸易企业统计,5月份,家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4月份的高幅增长,持续旺销,零售额同比增长了50%。
其中,家具类商品零售额同比增长27.3%,建筑及装潢材料类商品零售额同比增长60.8%。
同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用,家电销售大幅增长,限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6%。
123.2006年5月份,限额以上批发零售贸易企业中,家具类商品零售额占家具类和建筑及装潢材料类商品零售额的比例是:
A.27.4%B.29.9%C.32.2%D.34.6%
答案:
A
解析:
方法一:
比较常规的做法假设2005年家具类所占比例为X。
X*(1+27.3%)+(1-X)*(1+60.8%)=1+50%
X=32.2%。
[32.2%*(1+27.3%)]/[32.2%*(1+27.3%)+(1-32.2%)*(1+60.8%0)]=27.4%
方法二:
十字相乘法
家具27.3%,近似为27%;
建筑60.8%,近似为61%。
家具:
27%11%
50%
建筑:
61%23%
家具:
建筑=11%:
23%大约等于1:
2。
注意这是2006年4月份的比例。
建筑类2006年所占比例为:
1*(1+27.3%)/[1*(1+27.3%)+2*(1+60.8%)=1.27/(1.27+3.2)=1.27/4.5=28%。
和A最接近。
二、浓度问题
(一)基本知识点:
1、溶液=溶质+溶剂;2、浓度=溶质/溶液;3、溶质=溶液*浓度;4、溶液=溶质/浓度;
(二)例题与解析
1.甲容器中有浓度为4%的盐水250克,乙容器中有某种浓度的盐水若干克。
现从乙中取出750克盐水,放人甲容器中混合成浓度为8%的盐水。
问乙容器中的盐水浓度约是多少?
A.9.78%B.10.14%C.9.33%D.11.27%
答案:
C
解析:
方法一:
设浓度为x
(250*4%+750*x)/(250+750)=8%
x=9.33%
方法二:
设浓度为x
甲:
4X-8
8
乙:
X4
(X-8):
4=250:
750=1:
3
X=9.33%
2.一个容器内有若干克盐水。
往容器内加入一些水,溶液的浓度变为3%,再加入同样多的水,溶液的浓度为2%,问第三次再加入同样多的水后,溶液的浓度是多少?
A.1.8%B.1.5%C.1%D.0.5%
答案:
B
解析:
设加入x的水;3/(100+x)=2/100;x=50;3/100+50+50=1.5%
3.现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。
若从甲中取2100克,乙中取700克混合而成的消毒浓度为3%;若从甲中取900克,乙中取2700克,则混合而成的溶液的浓度为5%。
则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为:
A、3%6% B、3%4% C、2%6% D、4%6%
答案:
C
解析:
设甲的浓度为x,乙的浓度为y
1(2100x+700y)/2800=3%
2(900x+2700y)/3600=6%
1÷2快速变形后得到:
5(3x+y)=3(x+3y)
y=3x
4.甲、乙两瓶酒精溶液分别重300克和120克;甲中含酒精120克,乙中含酒精90克。
问从两瓶中应各取出多少克才能兑成浓度为50%的酒精溶液140克?
A甲100克,乙40克B甲90克,乙50克
C甲110克,乙30克D甲70克,乙70克
答案:
A
解析:
甲浓度为40%,乙浓度为75%,
甲中取A,乙中取140-A
甲:
4025
50
乙:
7510
A:
(140-A)=5:
2
A=100
5.从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后,再向瓶中倒入10克清水,这样算一次操作,照这样进行下去,第三次操作完成后,瓶中盐水的浓度为:
A.7%B.7.12%C.7.22%D.7.29%
答案:
D
10%*(1-10%)^3=7.29%
6.杯中原有浓度为18%的盐水溶液100ml,重复以下操作2次,加入100ml水,充分配合后,倒出100ml溶液,问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?
()
A9%B7.5%C4.5%D3.6%
答案:
C
18%*(100/100+100)^2=4.5%
注:
多次混合问题核心公式:
1、设盐水瓶中盐水的质量为M,每次操作先倒出N克盐水,再倒入N克清水。
Cn=Co(1-N/M)^n[Cn为新浓度,Co为原浓度]
2、设盐水瓶中盐水的质量为M,每次操作先倒入N克清水,再倒出N克盐水。
Cn=Co(M/(M+N)^n[Cn为新浓度,Co为原浓度]
三、练习
1.某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元,若每月用电超过规定的标准用电,超标部分按照基本价格的80%收费。
某用户九月份用电84度,共交电费39.6元,则该市每月标准用电为()度。
A60B65C70D75
2.某车间进行考核,整个车间平均分是85分,其中2/3的人得80分以上(含80分),他们的平均分是90分,则低于80分的人的平均分是多少?
()
A68B70C75D78
3.一只猫每天吃由食品A和食品B搅拌成的食物300g,食品A的蛋白质含量为10%,食品B的蛋白质含量为15%,如果该猫每天需要38g蛋白质,问十五中食品A的比重是百分之几?
A47%B40%C1/3D50%
4.一块试验田,以前这块地所种植的是普通水稻。
现在将该试验田的1/3中上超级水稻,收割时发现该试验田水稻总产量是以前产量的1.5倍。
如果普通水稻的产量不变,则超级水稻和普通水稻的平均产量之比是多少?
()
A5:
2B4:
3C3:
1D2:
1
5.甲容器中有浓度为4%的盐水150克,乙容器中有某种浓度的盐水若干,从乙中取出450克盐水,放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水。
问乙容器中盐水的浓度是多少?
()
A.9.6% B.9.8% C.9.9% D.10%
6.甲杯中有浓度为17%的溶液400克,乙杯中有浓度为23%的溶液600克。
现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液,把从甲杯中取出的倒入乙杯中,把从乙杯中取出的倒入甲杯中,使甲、乙两杯溶液的浓度相通,现在两杯溶液的浓度是()
A20%B20.6%C21.2%D21.4%
7.两个相同的瓶子装满酒精溶液,一个瓶子中酒精与水的体积比是3:
1.另一个瓶子中酒精与水的体积比是4:
1,若把两瓶酒精溶液混合,则混合后的酒精与水的体积之比是多少?
()
A31:
9B7:
2C31:
40D20:
11
8.从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水,然后倒入清水把杯子装满,这样反复3次后,杯中盐水的浓度是()
A17.28%B28.8%C11.52%D48%
答案:
ACAAAB(提示:
相当于直接将甲、乙混合)AA
比例问题
一、解决好比例问题,关键要从两点入手:
1、“和谁比”;2、“增加或下降多少”。
3、反复变化的比例关系并无难点,关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降,现在是多少
二、小学奥数中的比例问题
1、一条路全长60千米,分成上
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