中考数学复习之与切线有关的证明及计算含答案.docx
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中考数学复习之与切线有关的证明及计算含答案
中考数学复习之与切线有关的证明及计算(含答案)
1.如图,在⊙O中,∠AOB=120°,点C为的中点,延长OC到点D,使CD=OC,AB交OC于点E.
(1)求证:
DA是⊙O的切线;
(2)若OA=6,求弦AB的长.
2.如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数.
3.如图,AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A、B,CD分别交AM、BN于点D、C,DO平分∠ADC.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半径r.
4.如图,已知BC⊥AC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与⊙O的交点,点D是
MB与⊙O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且=.
(1)求证:
PD是⊙O的切线;
(2)若AD=12,AM=MC,求的值.
5.如图,半圆O的直径为AB,D是半圆上的一个动点(不与点A,B重合),连接BD并延长至点C,使CD=BD,过点D作半圆O的切线交AC于点E.
(1)请猜想DE与AC的位置关系,并说明理由;
(2)当AB=6,BD=2时,求DE的长.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O,分别与AC、BC相交于点M、N.
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E,求证:
NE⊥AB;
(2)连接MD,求证:
MD=NB.
7.如图,已知AB是⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,
CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:
∠PCA=∠ABC;
(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE,若cos∠P=,CF=10,求BE的长.
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.
(1)若AC=6,BC=10,求⊙O的半径;
(2)过点E作弦EF⊥AB于M,连接AF,若∠AFE=2∠ABC,求证:
四边形ACEF是菱形.
参考答案:
1.
(1)证明:
如图,连接AC,
∵点C是的中点,
∴=.
∵∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠BOC=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠OAC=∠OCA=60°,AC=OC,
∵CD=OC,
∴CD=AC,
∴∠DAC=∠D=∠OCA=30°,
∴∠DAO=∠DAC+∠OAC=90°,
∴OA⊥AD,
∵AO是⊙O的半径,
∴DA是⊙O的切线;
(2)解:
∵OA=OC,∠AOC=∠BOC=60°,
∴AE=BE,OE⊥AB,
在Rt△AOE中,
∵AE=OA·sin60°=6×=3,
∴AB=2AE=6.
2.
(1)证明:
如图,连接OB,
∵CE=CB,
∴∠CBE=∠CEB,
∵CD⊥OA,
∴∠DAE+∠AED=90°,
∵∠CEB=∠AED,
∴∠DAE+∠CBE=90°,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB,
∴∠OBA+∠CBE=90°,即∠OBC=90°,
∴OB⊥BC,
∵OB是⊙O的半径,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:
如图,连接OF交AB于点H,
∵DF⊥OA,AD=OD,
∴FA=FO,
∵OF=OA,
∴△OAF为等边三角形,
∴∠AOF=60°,
∴∠ABF=∠AOF=30°.
3.
(1)证明:
如图,过点O作OE⊥CD于点E,
∵AM切⊙O于点A,
∴OA⊥AD,
∴∠OAD=∠OED=90°,
又∵DO平分∠ADC,
∴∠ADO=∠EDO,
在△OAD和△OED中,
,
∴△OAD≌△OED(AAS),
∴OA=OE,
∵OA为⊙O的半径,
∴OE是⊙O的半径,且OE⊥DC,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:
如图,过点D作DF⊥BC于点F,
∵AM,BN分别切⊙O于点A,B,
∴AB⊥AD,AB⊥BC,
∴四边形ABFD是矩形,
∴AD=BF,AB=DF,
又∵AD=4,BC=9,
∴FC=9-4=5,
∵AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E,
∴DA=DE,CB=CE,
∴DC=AD+BC=4+9=13,
在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,
∴DF===12,
∴AB=12,
∴⊙O的半径r是6.
4.
(1)证明:
如图,连接OD,OP,
∵=,
又∵∠A=∠A,
∴△ADM∽△APO,
∴∠ADM=∠APO,
∴DM∥PO,
∴∠POC=∠DMO,∠POD=∠ODM,
∵OD=OM,
∴∠DMO=∠ODM,
∴∠POC=∠POD,
∵OD=OC,OP=OP,
∴△DOP≌△COP(SAS),
∴∠PDO=∠PCO=90°,
∵OD是⊙O的半径,
∴PD是⊙O的切线;
(2)如图,过点D作DN⊥AC于点N,
∵由
(1)可知DM∥OP,
∴=,
∵AM=MC=OM,
∴=,
∴DP=AD=6,OP是△BCM的中位线,
∴BP=CP,
∵DP、CP都是⊙O的切线,
∴CP=DP=BP=6,设OM=OD=OC=x,
在Rt△ADO中,AO=3x,由勾股定理得AO2=OD2+AD2,
即(3x)2=x2+122,
∴x=3,
∵AD·DO=AO·DN,
∴DN==4,
∴在Rt△ODN中,由勾股定理得ON==,
∴MN=OM-ON=2,
∴在Rt△MDN中,DM==2,
∴==.
5.解:
(1)猜想:
DE⊥AC.
理由如下:
如图,连接OD.
∵DE是⊙O的切线,切点为D,
∴OD⊥DE,
∵BD=CD,OA=OB,
∴OD∥AC,
∴DE⊥AC;
(2)如图,连接AD.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB=90°,DC=BD=2,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
∴∠ABD=∠ACD,
又∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,
∴∠ADB=∠CED,
∴Rt△ABD∽Rt△DCE,
∴=,
∴DE·AB=AD·DC,
在Rt△ABD中,AB=6,BD=2,
∴AD==4,
∴DE==.
6.证明:
(1)如图,连接ON,
∵NE为⊙O的切线,
∴ON⊥NE,
∵D为AB的中点,∠ACB=90°,
∴AD=BD=CD,
∴∠B=∠DCB,
∵OC=ON,
∴∠ONC=∠OCN,
∴∠B=∠ONC,
∴ON∥AB,
∵ON⊥NE,
∴NE⊥AB;
(2)如图,连接ND,
∵CD为⊙O的直径,
∴∠DMC=∠DNC=90°,
由
(1)得BD=CD,∴CN=NB,
∵∠ACB=90°,
∴四边形CMDN是矩形,
∴MD=CN,
∴MD=NB.
7.
(1)证明:
∵PC与⊙O相切于点C,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠OCA=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OCB+∠OCA=90°,
∴∠PCA=∠OCB.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠ABC,
∴∠PCA=∠ABC;
(2)解:
∵AE∥PC,
∴∠PCA=∠CAF,
∵AB⊥CG,
∴=,
∴∠ACF=∠ABC,
∵∠PCA=∠ABC,
∴∠ACF=∠PCA=∠CAF,
∴AF=CF=10,
∵AE∥PC,
∴∠P=∠FAD,cos∠P=cos∠FAD=,
∴在Rt△AFD中,AD=8,FD=6,
∴CD=CF+FD=10+6=16.
在Rt△OCD中,设OC=r,
OD=r-8,
∴r2=(r-8)2+162,解得r=20,
∴AB=2r=40,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,cos∠EAB=,
∴=,AE=32,
∴BE==24.
8.
(1)解:
如图,连接OE,设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,
根据勾股定理得:
AB==8,
∵BC与⊙O相切,
∴OE⊥BC,
∴∠OEB=∠BAC=90°,
∵∠OBE=∠CBA,
∴△BOE∽△BCA,
∴=,即=,
解得r=3;
(2)证明:
∵所对的圆心角和圆周角分别是∠AOE和∠AFE,∠AFE=2∠ABC,
∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC,
∵∠AOE=∠OEB+∠ABC,
∴4∠ABC=90°+∠ABC,
∴∠ABC=30°,∠AFE=60°,
又∵EF⊥AB,
∴∠BME=∠BAC=90°,
∠BEM=60°=∠AFE,
∴EF∥AC,CE∥AF,
∴四边形ACEF为平行四边形,
∵CE、AC为⊙O的切线,
∴CA=CE,
∴平行四边形ACEF是菱形.
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