眼科病床的合理安排.docx
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眼科病床的合理安排
眼科病床的合理安排
摘要
本文就眼科病床的合理安排问题,建立模型进行研究。
解决问题一时,兼顾病人与医院的双方利益,本文制订了评价病床安排优劣的指标体系。
这一体系由平均住院等待时间、术前准备时间、平均床位利用率、平均床位周转次数四个指标组成。
解决问题二时,本文首先提出了新的住院安排原则——基于FCFS的术前准备最短原则。
以此原则为基础,建立病床安排模型。
模型求解时,采用计算机模拟的方法,求得每天所应安排的病人。
与医院先前安排模型相比较,发现优化后在多项指标上更胜一筹。
最后,本文制定了一个反应系统稳定性的指标“重载荷”,用以检验模型的合理性,检验结果为优。
解决问题三时,本文在问题二求解的基础上,得到各类病人术前等待时间的分布,采用区间估计的方法,得到了在置信水平为90%的情况下的入住时间区间。
解决问题四时,本文将白内障手术安排时间分为三类(周一、周三/周二、周四/周三、周五),通过比较各类情况下,各项指标的值,发现把白内障手术安排在星期三、星期五的手术时间安排方案较优。
解决问题五时,本文在考虑病人的到达与医院的服务机制后,建立了排队的优化模型。
关键词:
病床安排模型、排队论、评价指标体系、计算机模拟
一、问题重述
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象,它以这样或那样的形式出现在我们面前,例如,患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等,往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放,住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类:
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单,而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术,此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些,大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只,周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症,病床有空时立即安排住院,住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂,有各种不同情况,但大致住院以后2-3天内就可以接受手术,主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排,一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少,建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分,在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制,但考虑到手术医生的安排问题,通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(Firstcome,Firstserve)规则安排住院,但等待住院病人队列却越来越长,医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题,以提高对医院资源的有效利用。
问题一:
试分析确定合理的评价指标体系,用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二:
试就该住院部当前的情况,建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三:
作为病人,自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况,在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四:
若该住院部周六、周日不安排手术,请你们重新回答问题二,医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五:
有人从便于管理的角度提出建议,在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案,试就此方案,建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短的病床比例分配模型。
二、模型假设
1、医院在出院前一天安排第二天的出院病人,即医院在前一天可以安排第二天的入住病人
2、在短时间内医院的床位数保持不变
3、外伤疾病,病床有空时立即安排住院,住院后第二天便会安排手术。
4、不考虑其它的眼科急症
5、白内障的术前准备时间为1、2天,视网膜疾病、青光眼的术前准备时间为2-3天
6、每周一、三做白内障手术,双眼是周一先做一只,周三再做另一只,通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天做
7、不考虑突发情况导致的外伤病人的急剧增加,同时忽略不同的时间点导致某一类病人的数量的异常变化
三、符号系统
四、问题一模型建立与求解
病床安排模型优劣的评价指标:
4.1指标一:
平均住院等待时间
由题中所给数据可知,因病床数有限,病人就诊后往往不能及时住院,而需等待一段时间,我们称之为住院等待时间。
住院等待时间的长短直接关系着患者能否得到及时治疗,其值越大则病情恶化的可能性就越大,病人的不满情绪也越大,不利于医院的长期发展,故我们用平均住院等待时间作为衡量模型优劣的一个指标:
我们将所给数据进行处理,得到每类病人平均住院等待时间,以及平均住院时间,见表1
表1各类病人平均住院等待时间,以及平均住院时间(天)
平均住院等待时间
平均住院时间
白内障(单眼)
12.7
5.2
白内障(双眼)
12.5
8.5
青光眼
12.3
10.45
视网膜损伤
12.5
12.5
外伤
1
1
由表1可知除外伤病人因优先住院而平均住院等待时间较短外,其他各类病人的等待时间较长,不利于病人的合理治疗。
4.2指标二:
术前准备时间
病人从住院到接受第一次手术的时间段,我们称之为术前准备时间。
其值过大(超过正常所需准备时间)则使得有限的病床资源不能得到有效利用:
超过的天数中住院者没有得到实质性治疗,而其他患者却因应床位紧俏而不得入住。
故术前准备时间的长短是引起排队人数不断加长的重要因素,同时也是增加患者额外经济负担的又一要素。
因此我们将其作为衡量模型优劣的一个指标。
本题告诉我们:
白内障手术较简单,数前准备时间只需1-2天,其他眼疾为2-3天。
我们用Excel软件对所给数据进行处理得到五类眼疾病人的平均术前准备时间(天),见表2
表2五类眼疾病人的平均术前准备时间(天)
白内障(单眼)
白内障(双眼)
青光眼
视网膜损伤
外伤
2.336
3.6
2.207
2.317
1
由表可见除白内障病人的平均术前准备时间超出所给参考范围之外,其他眼疾病人的平均准备时间均在参考范围之内,故我们又画出白内障(单双眼)病人术前准备时间的人数分布图:
图1白内障单双眼病人术前等待时间
由图可知,白内障(单眼)患者的术前准备时间最长可达5天,而36.6%的患者术前准备时间偏长;白内障(双眼)患者的术前准备时间最长可达7天,而60.9%的患者术前准备时间过长。
可见该院病床安排模型有待改进。
4.3指标四:
平均床位利用率
病床的利用率直接关系着医院的经济效益,其值过小则表示床位资源并未得到有效地利用,医院的利益得不到良好的保障。
故我们将其作为衡量模型优劣的又一个指标。
我们利用Excel软件对题中所给数据,按如下公式算出每天住院患者的总人数:
由于数据的缺失,我们仅能算出每天住院患者总院人数,均为79人,即每天满员,平均床位利用率为100%。
由此我们可以看出,病床之紧俏,系统之繁忙,虽然100%的床位利用率有利于提高医院的短期效益,但使得排队等待的病人越来越多,病人满意度下降的同时,医院的社会效益以及长期的经济效益得不到保障,不利于该院的可持续发展。
由此可见,该院的病床安排模型还有待改进。
4.4指标五:
平均床位周转次数
我们定义:
它是评价医院工作效率与管理状况的的一个重要指标,我们认为平均床位周转次数越多,则床位利用效率越大,对病人的服务度越高,故将其作为衡量模型优劣的一个指标。
表3经计算得各类病人的平均床位周转次数:
白内障(单眼)
白内障(双眼)
青光眼
视网膜损伤
外伤
5.7
3.5
2.8
2.4
4.2
由表可知该院的平均床位周转次数明显偏低。
综上所述,我们认为该院目前的病床安排模型为劣,应尽快改进
五、问题二模型建立与求解
5.1该院目前床位安排不合理的原因分析:
由题可知,目前该院安排病人的原则为:
[1]外伤病人优先安排床位;
[2]每周一、周三只做白内障手术(外伤外除外),白内障(双眼)是周一先做一只,周三再做另一只。
除外伤疾病手术时间,一般不安排在周一、周三;
[3]白内障患者的术前准备时间为1-2天,其他类病人为2-3天。
按照原则[1]-[3]可计算出各类非外伤病人周一到周日住院的术前等待时间(天),见表4
表4各类非外伤病人周一到周日住院的术前等待时间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
白内障(双眼)
7※
6※
5※
4※
3※
2
1
白内障(单眼)
2
1
5※
4※
3※
2
1
青光眼
3
2
2
2
2
3
2
视网膜损伤
3
2
2
2
2
3
2
注:
图中所标记数据均超过正常术前准备时间。
由表可知:
白内障(双眼)患者若周一住院,则要等到下周一才能做手术,7天的术前等待时间足以使某些病人康复出院。
正是因为该院对全体非急诊病人按照FCFS规则安排住院,才导致如此之长的术前等待时间,使得病人与医院双方利益均受到损伤。
5.2住院安排原则的重新制定:
为了优化该院病床安排模型,我们建立了更加合理的住院安排原则即——基于FCFS准则的术前等待时间最小原则。
原则:
[1]、以一周为一周期安排各类病人住院时间
[2]、不论周几优先安排外伤病人
[3]、周一、周二优先安排白内障(单眼)患者
[4]、周一到周五不安排任何白内障(双眼)患者住院
[5]、周六、周日优先安排白内障(双眼)患者、若有空床位在安排白内障(单眼)患者
[6]、青光眼、视网膜损伤患者只要有空床位无论周几都能住院
[7]、同类病人按FCFS原则安排住院
5.3模型的建立
由于每天出院的病人数是随机的,每天就诊的人数亦是不确定的,故很难给出确切的病床安排数学表达式。
因此,我们根据新制定的住院安排原则,给出了病床安排的一般算法。
我们将所有等待住院的病人,按照其到达门诊的先后顺序编号,并将同一天门诊的所有病人看作一个群,2008-8-30的看作第1群,2008-8-31的看作第2群,以此类推。
群号不同时,第
群比第
群的同类病人优先安排住院;群号相同时,编号小的病人具有优先住院的权利(以体现FCFS原则)。
在安排病人住院时优先考虑外伤病人。
我们将同一天门诊的所有病人看做一群,2008-8-30作为第1群,那么在此以后第
天来的所有病人就为第
群,第
群和第
群的同类病人在安排住院时具有优先权。
在同一群病人中,在安排住院时id号小的病人具有优先权。
当第
天病人被安排后,病人即从排列队伍中离开。
2008-9-12作为第一天。
符号说明:
算法步骤:
Step0:
令
Step1:
在第i天时,若有空床位,在群号为j的病人中,我们首先安排外伤病人,然后选取术前等待时间满足
的病人(按照FCFS的原则)安排住院,若这天为周六、周日则优先安排白内障双眼患者(以缩短术前准备时间)。
Step2:
若人数
大于
,把得到病床安排的病人从等待队伍中剔除,令
,回到step0。
Step3若此时的
小于
,则考虑
的病人。
Step4若此时的
大于
,把得到病床安排的病人从等待队伍中剔除,令
,所剩的所有等待病人重新编号,回到step0。
Step5若此时的
小于
,则令
该算法的对应流程图为:
图2算法流程图
5.3模型的求解
首先,我们利用附件中表1所提供的数据估计各类病人术后恢复时间的概率分布,并对其进行检验。
然后,我们根据所得分布产生附见表2中所有病人的术后康复时间,由此推断当前住院病人的拟出院时间。
接着,根据病床安排的一般算法,对当前等待住院的病人安排床位,并计算各指标并与原先模型的指标进行比较。
最后,对新病床安排模型下的系统进行稳态性分析。
5.31各类病人术后康复时间概率分布的求解与检验:
我们对当前已出院病人的信息进行分析,利用matlab软件画出各类病人术后恢复时间的频数分布图(横轴为恢复时间,纵轴为频数):
图3各类病人恢复时间的频数分布
观察图形,我们估计青光眼、视网膜损伤、外伤患者的术后康复时间服从正态分布,故我们对其进行正态性检验。
(1)各类病人术后康复时间的正态性检验:
利用统计绘图函数normplot(x)对3类病人的术后康复时间进行正态性检验,结果如图所示:
图4青光眼、视网膜疾病、外伤病人的术后康复时间正态分布检验图
经观察这些离散点非常靠近倾斜直线,图形为线性的,因此得出结论:
青光眼、视网膜疾病、外伤病人的术后康复时间近似服从正态分布.
(2)、各类病人平均术后康复时间的假设检验
利用函数ttest(x,m,alpha)进行显著性水平为alpha的t假设检验.
h=ttest(x,m,alpha)
检验结果:
若h=0,表示不拒绝零假设,说明所提出的假设“样本均值”是合理的.若h=1,表示拒绝零假设。
当我们取alpha=0.05时,青光眼的平均术后康复时间8.08、视网膜疾病的平均术后康复时间10.17、外伤的平均术后康复时间6.04分别通过检验。
因此我们可以得到各类病人的平均术后康复时间及其服从的分布,见表5:
表5各类病人的平均术后康复时间及其服从的分布
平均术后康复时间(天)
术后康复时间服从的分布
白内障(单眼)
2.9
离散型概率分布
白内障(双眼)
4.9
离散型概率分布
青光眼
8.08
正态分布
视网膜疾病
10.17
正态分布
外伤
6.04
正态分布
5.3.2当前住院病人拟出院时间的确定
根据求得的各类病人术后康复时间的概率分布,我们随机产生了附表2中所有病人的术后康复时间,并由此推断当前住院病人的拟出院时间,见附件1。
5.3.3等待住院病人的床位安排
安排病人住院时,必须考虑后续来到的病人,对床位安排产生的影响。
因此,我们根据各类病人每天到达门诊人数的概率分布,产生了一系列独立同分布的随机数,并以这些随机数估计2008-9-11以后一段时间内,各类病人每天到达门诊的人数。
再由新病床安排模型的一般算法,拟出所有等待住院病人的信息,见附件2.
根据拟得的信息可知2008-9-12的床位安排情况,见下表6
表62008-9-12的床位安排
序号
类型
门诊时间
入院时间
出院时间
3
青光眼
2008-8-30
2008-9-12
2008-9-22
8
青光眼
2008-8-31
2008-9-12
2008-9-22
13
青光眼
2008-8-31
2008-9-12
2008-9-22
2
视网膜疾病
2008-8-30
2008-9-12
2008-9-24
4
视网膜疾病
2008-8-30
2008-9-12
2008-9-24
5
视网膜疾病
2008-8-30
2008-9-12
2008-9-24
97
外伤
2008-9-11
2008-9-12
2008-9-19
5.3.4指标的统计
基于FCFS原则,我们拟出等待住院病人的信息,计算出旧病床安排模型下,各项指标的值。
基于新制定的病床安排原则(基于FCFS准则的术前等待时间最小原则),我们拟出等待住院病人的信息,计算出新病床安排模型下,各项指标的值。
并将两者进行对比,得表如下:
表7优化前后平均住院等待时间(天)
白内障
白内障(双眼)
青光眼
视网膜疾病
外伤
原先安排模型
9.57
10
10.13
10.39
1
优化后模型
9.95
10.14
11.07
11.92
1
表8优化前后床位周转次数
白内障
白内障(双眼)
青光眼
视网膜疾病
外伤
原先安排模型
5.08
3.19
2.84
2.40
4.2
优化后模型
6.17
4.45
2.96
2.49
4.2
表9优化前后术前等待时间(天)
白内障
白内障(双眼)
青光眼
视网膜疾病
外伤
原先安排模型
2.48
4.43
2.47
2.33
1
优化后模型
1.86
1.69
2.13
2.03
1
通过表7、8、9我们可以发现虽然在平均住院等待时间这一指标上原先安排模型较优,但我们必须发现优化后的模型在床位周转次数、术前等待时间指标上具有更大的优势。
而且这两个指标更加充分考虑了病人和医院的利益。
5.3.5系统的稳定性分析
为了检验模型的合理性,我们制订了一个反映系统稳定性的指标“重载荷”
我们定义:
重载荷
其中:
为平均每天门诊人数
为每个病人的平均住院时间,则
为平均每天每张病床的服务强度,即平均每天每张病床可服务的病人数
为该院的病床总数,则
为平均每天系统的载荷容量,即平均每天该院可容纳住院病人的总数
故
,表明系统超载;
,表明系统满载;
,则系统的载荷情况良好
中所有参数均可由新病床安排模型下,拟合出的等待入院病人的信息统计获得。
经计算得
,说明在新的病床安排模型下,系统的稳定性较好,模型较合理。
六、问题三模型建立与求解
为了在病人门诊时即告知其大致入住时间区间,我们可以考虑选取一个时间段使病人等待时间落在此区间的概率为
,即
即为病人的等待入院的大致区间,
为置信区间的下限,
为置信区间的下限。
通过求解问题二,我们可以得到在建立较为合理的病床安排模型后,各类病人的平均住院等待时间,例如白内障(双眼)病人的等待时间,见表10
表10白内障(双眼)病人的等待时间
:
人数
9
10
11
12
13
14
15
频数
9
6
2
4
2
4
2
概率
0.3103
0.2069
0.069
0.1379
0.069
0.1379
0.069
当我们取
时,即认为我们必须要有90%的把握确定病人的等待入院时间。
通过表10,可得到白内障(双眼)的等待住院时间大约为(9,14)天。
同理我们可以得到各类病人的等待时间,见表11
表11病人的等待入院时间
外伤
视网膜疾病
白内障
青光眼
白内障(双眼)
等待住院时间
1
(12,16)
(9,13)
(12,14)
(9,14)
因此按表11,在病人门诊时可告知他的大致入院时间区间。
七、问题四模型建立与求解
由于周六、周日不安排手术,因此我们可以得到此时各个病人在每天入院时所需的术前等待时间,见表12
表12各类病人在每天入院时的术前等待时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
视网膜疾病
3
2
2
5
4
3
2
白内障
2
1
5
4
3
2
1
青光眼
3
2
2
5
4
3
2
白内障(双眼)
7
6
5
4
3
2
1
按照表12的数据,重新考虑问题二我们得到2008-9-12的安排的病人,见表13
表132008-9-12安排的病人
序号
类型
门诊时间
入院时间
第一次手术时间
7
白内障
2008-8-31
2008-9-12
2008-9-15
14
白内障
2008-8-31
2008-9-12
2008-9-15
22
白内障
2008-9-1
2008-9-12
2008-9-15
1
白内障(双眼)
2008-8-30
2008-9-12
2008-9-15
6
白内障(双眼)
2008-8-30
2008-9-12
2008-9-15
9
白内障(双眼)
2008-8-31
2008-9-12
2008-9-15
97
外伤
2008-9-11
2008-9-12
2008-9-13
由于周六、周日不安排手术,而白内障(双眼)病人的左右眼手术必须安排在同一周,且间隔时间为一天,故手术安排时间可分为三类:
第一类:
周一、周三安排白内障手术
第二类:
周二、周四安排白内障手术
第三类:
周三、周五安排白内障手术
其他手术时间安排要求同原题。
手术时间的调整仅使得各类病人的术前准备时间发生相应的改变:
再根据问题二的解题思路,便能在各类手术安排情况下,根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院,并求得相应的各指标值,见表14、15:
表14
时间
平均住院等待时间
平均术前等待时间
平均床位周转次数
类别
第一类
第二类
第三类
第一类
第二类
第三类
第一类
第二类
第三类
白(单)
12.28
12.67
10.9
2.05
2.14
2.05
5.95
5.84
5.84
白(双)
13.27
13.58
10.27
3.41
2.17
1.41
3.57
4.33
5.33
青光
13
12.33
12.66
2.6
2.8
2.47
2.54
2.43
2.33
视损
13.41
12.66
12.41
2.39
2.86
2.14
2.45
2.30
2.34
平均值
12.99
12.81
11.55
2.615
2.49
1.95
3.63
3.72
3.96
表15
平均住院等待时间
平均术前等待时间
平均床位周转次数
床位占有率
第一类
12.99
2.615
3.63
100%
第二类
12.81
2.49
3.72
100%
第三类
11.55※
1.99※
3.96※
100%
注:
用“※”标记的数据较优
由表可知,第三类手术安排情况优于另外两类,即当周六、周日不安排手术时,白内障手术时间应该调整到周三和周五。
八、问题五模型建立与求解
医院的资源是一定的,通过求解上面的问题我们发现,每天住院的人员比例具有较大的差异,因此给医院的管理工作带来了巨大的难度,不能较好的安排医院的日常工作。
因此有人从便于管理的角度提出建议,在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案。
通过分析问题,我们得到如下信息:
1、患者的到达是相互独立,相继到达的时间间隔是随机的,单位时间(天)的平均到达人数服从参数为
的Poisson分布
2、先到先服务,且为等待制,即患者到达时没有床位空闲,他们就要排队等待
3、患者住院的时间是相互独立的,服从参数为
的负指数分布
4、在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案
基于以上信息,我们将所有病人分成5类,每类病人分别与医院构成M/M/
/
型排队论模型,建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间
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