41一元一次方程模型.docx
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41一元一次方程模型
4.1一元一次方程模型
教学目标
1.在具体情景中感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
2.通过观察、归纳一元一次方程的概念。
教学重、难点
重点:
体会方程模型的重要性,了解一元一次方程的概念。
难点:
正确理解方程作为解决实际问题的数学模型的作用。
教学过程
一、创设情境,展现方程是刻画现实生活的有效模型
1.(出示投影1).
如图是一个长方体形的电视机包装盒,它的底面宽为1米,长为1.2米,且包装盒的表面积为6.8平方米,求这个电视机包装盒的高。
学生活动:
学生分小组讨论.
师生共同分析:
设包装盒的高为x米,用代数式表示这六个长方形面积的和为(2x+2.4x+2.4)平方米,而我们已知这个包装盒的表面积为6.8平方米,依题意得:
2x+2.4x+2.4=6.8
2.投影课本P103的插图并提问:
铅笔多少钱1枝?
学生活动:
分析等量关系,尝试列出如问题1一样的式子。
教师活动:
引导学生分析得到:
4x+(x+4)=10-2
3.引入方程概念.
⑴在等式2x+2.4x+2.4=6.8中,2,2.4,6.8叫已知数,字母x表示的数叫未知数。
⑵我们把含有未知数的等式叫作方程,如:
x+5=8,x-2y=6,3x+2y=120中,x、y都是未知数,这些等式都是方程。
⑶像问题1和问题2那样,把所要求的量用字母x(或y等)表示,根据问题中的数量关系列出方程,这叫作建立方程模型。
二、议一议,认识一元一次方程
1.展示出上述列出的方程:
2x+2.4x+2.4=6.8;4x+(x+4)=10-2.
2.学生活动:
分组讨论,以上的方程有什么共同特点。
3.组织学生进行全班交流,得出以上方程的特点是:
⑴方程中不含分母或分母中不含未知数;⑵只含有一个未知数;⑶未知数的指数都是1。
4.归纳一元一次方程的概念:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程。
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解,求方程的解的过程叫作解方程。
5.学生活动:
判断下列各式是不是方程,如果是,指出哪些是一元一次方程?
如果不是,说明为什么?
⑴5x-3=x+3,⑵2y2+3y-1=0,⑶x+y=5,⑷2x+1,⑸
x=3,⑹0.3x+2=
x
教师组织学生交流,共同评析。
三、做一做,检验一个数是否为方程的解
例:
检验下列各数是不是方程x-3=2x-8的解?
1.x=52.x=-2
师生共同分析:
解:
1.把x=5代入方程左右两边.
左边=5-3=2,右边=2×5-8=2
左边=右边
所以x=5是方程x-3=2x-8的解。
2.把x=-2代入方程左右两边。
左边=-2-3=-5,右边=2×(-2)-8=-12.
左边≠右边
所以x=-2不是方程x-3=2x-8的解。
四、随堂练习
课本P104练习1、2题.
五、小结
师生共同小结本节课学习的内容:
1.实际生活中很多问题可以利用方程来解决。
2.方程,一元一次方程,方程的解等概念。
六、作业
课本P105习题4.1A组第1、2、3题.
补充题:
一、判断下列方程是不是一元一次方程.
1.3x2-2x=4;2.x=5;3.
=2x-1;4.2x+3y=0;5.x-3=
;6.4x=5y.
二、检验下列各小题括号里数是不是它们前面的方程的解.
1.x=10-4x(x=1,x=2);2.x(x+1)=12(x=3,x=-4)。
三、根据题意,列出方程
1.在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多是13岁,就问:
我今年45岁,经过几年你们的年龄正好是我年龄的三分之一。
2.某班分成两个小组活动,第一组26人,第二组22人,若要将第一组人数调为第二组人数的一半,应从第一组调多少人到第二组?
4.2解一元一次方程的算法(第1课时)
教学目标
1.在现实的情景中理解等式的性质,并能正确运用等式的性质.
2.运用移项法解一元一次方程.
教学重、难点
重点:
等式的基本性质.
难点:
利用等式性质解方程.
教学过程
一、创设问题情境,引入等式的基本性质
1.(出示投影1).
⑴
(一)班的学生人数等于
(二)班的学生人数,现在每班增加2名学生,那么
(一)班与
(二)班的学生人数还相等吗?
如果每班减少了3名学生,那么两个班的学生人数还相等吗?
⑵如果甲筐米的重量=乙筐米的重量,现在把甲、乙两筐的米分别倒出一半,那么甲,乙两筐剩下的米的重量相等吗?
学生活动:
学生讨论得出结论⑴
(一)班与
(二)班无论是每班增加2名学生还是每班减少3个学生,两个班的人数还相等;⑵甲,乙两筐剩下的米的重量相等.
2.师生共同归纳得出等式的基本性质:
(出示投影2)
等式性质1:
等式两边都加上(减去)同一个数(或同一个式),所得结果仍是等式.
等式性质2:
等式两边都乘以(或除以)同一个不为0的数(或同一个不是0的式子),所得结果仍是等式.
用字母表示:
如果a=b,那么a±c=b±c,ac=bc,
(d≠0).
3.让学生举几个例子说明等式的基本性质.
二、想一想,利用等式性质解一元一次方程
1.(出示投影3).
(我国古代数学问题)用绳子量井深,把绳子3折来量,井外余绳子4尺;把绳子4折来量,井外余绳子1尺,于是量井人说:
“我知道这口井有多深了”。
你能算出这口井的深度吗?
师生共同分析:
若设井深为x尺,将绳子3折量井,则绳长可表示为3(x+4);将绳子4折量井,则绳长表示为4(x+1),而绳子的长度没有变,所以4(x+1)=3(x+4)即:
4x+4=3x+12如何求出这个方程的解呢?
2.学生活动:
回答以下问题.
⑴从4x+4=3x+12能不能得到4x+4-3x=3x+12-3x呢?
为什么?
⑵从x+4=12能不能得到x+4-4=12-4呢?
为什么?
3.师生互动,利用等式的基本性质解这个方程.
4.请一位同学到黑板上演示x=8是否为方程4x+4=3x+12的解。
三、议一议,运用移项法解方程
1.出示上例中根据等式性质1对方程两边的变形.
学生活动:
观察上述变形,你发现什么?
与同伴交流.
学生回答:
这种变形相当于把方程的某一项改变符号后从方程的移到另一边.
教师指出:
这种变形叫移项,强调:
移项要变号,不管从左边移到右或从右边移到左边,只要“移”就得“变”。
2.运用移项法则解方程.
解方程:
⑴2x=x+3;⑵3x-1=40+2x.
学生活动:
学生尝试运用移项法则解这两个方程.
教师活动:
①在学生解答时注意发现学生可能出现的错误.②指定1名同学学生到黑板演示,然后组织全班同学进行讨论交流.③解完后另请两位同学对这两个方程的解进行检验.
四、随堂练习
课本P109练习第1、2题.
五、小结
师生共同小结本节课内容:
1.等式的两个基本性质.
2.利用等式可以解一元一次方程.
3.运用移项法则解一元一次方程更简便.
六、作业
1.课本P18习题4.2A组第l题.
2.选用课时作业优化设计.
一、判断题.
1.如果x=y,那么x+
=y+
2.如果a=b,那么a-
=b-
3.如果a-7=b-7,那么a=b4.如果6x=10y,那么2x=5y
5.如果
,那么2x=3y
二、解下列方程.
1.x-12=34;2.x-15=7;3.
x-7=5;4.
+2x。
4.2解一元一次方程的算法(第2课时)
教学目标
1.在具体情境中,进一步体会方程是刻画现实世界的重要数学模型。
2.学会形如ax=b的方程的解法。
教学重、难点
重点:
形如ax=b的方程的解法。
难点:
方程两边都除以未知数系数时,不要改变符号.
教学过程
一、创设情境,建立方程模型解方程
1.(出示投影1).
某实验中学举行田径运动会,初一年级甲班和丙班参加的人数的和是乙班参加的人数的3倍,甲班有40人参加,乙班参加的人数比丙班参加的人数少10人,你能算出乙班参加校运会的人数吗?
教师活动:
⑴让学生观察这个问题情境,弄清题意;⑵你能列出方程吗?
学生活动:
独立思考,分析题中的数量关系,列出方程,并与同伴交流.
教师活动:
⑴鼓励学生独立思考,组织学生交流.⑵明晰:
设乙班参加校运会的人数为x,那么,丙班参加的人数就是(x+10)人,根据“甲班参加的人数+丙班参加的人数=乙班参加的人数的3倍”得:
3x=40+3x+10
移项得3x-x=50即2x=50.
2.利用等式性质2解这个方程.
教师提问:
从2x=50能不能得到
=
呢?
为什么?
学生活动:
学生讨论并交流,解完这个方程,检验这个数值是否为原方程的解。
3.引入一元一次方程的标准形式的概念.
⑴教师指出:
在上例中,通过移项、化简后,方程变成了形如ax=b(a、b为已知数,且a≠0)的方程,这样的方程叫作一元一次方程的标准形式。
⑵形如ax=b的方程的解法就是利用等式性质2,方程两边都除以未知数的系数,就得到它的解是x=
(a≠0).
二、做一做,解方程
(出示投影2)
解方程:
1.11x-2=8x-82、
x=-
x+3
学生活动:
学生独立完成此题.
说明:
⑴应用移项法则解一元一次方程时,往往把含有未知数的项移到等号左边,不含未知数的项(常数项)移到等号右边.
⑵第二个题可以用不同方法解.如:
先移项或先方程两边同乘以4,再移项.只要学生的解法合理,都予以肯定.
⑶请两名学生口头对两个方程的解进行检验.
三、随堂练习
课本P112练习第1、2题.
四、小结
方程ax=b(a≠0)的解为x=
。
五、作业
1.课本P118习题4.2A组第2、3题.
2.补充题:
一、解方程.
1.-2x+6=7x;2.
x+2=
x;3.4x=ax-2(a≠4).
二、解答题.
1.若关于x的方程kx=6的解是自然数,求k的值.
2.已知x=
是关于x的方程
x+a=1-3ax的解,求a的值.
4.2解一元一次方程的算法(第3课时)
教学目标
1.在具体情景中建立方程模型.
2.能准确应用去括号法则解一元一次方程。
教学重、难点
重点:
熟悉求解一元一次方程的方法.
难点:
正确应用去括号法则.
教学过程
一、创设问题情况,引入课题
1.(出示投影1).
现有树苗若干棵,计划栽在一段公路的一侧,要求路的两端各栽1棵,并且每2棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔5.5米栽一棵,则树苗正好用完.你能算出原有树苗的棵数和这段路的长度吗?
学生活动:
独立思考,分析题中的数量关系,列出方程.
教师活动:
师生共同分析,设原有树苗x棵,如果每隔5米栽一棵,则路长为5(x+21-1);如果每隔5.5米栽一棵,则路长为5.5(x-1),由于路长相等.所以5(x+21-1)=5.5(x-1)即5(x+20)=5.5(x-1)
2.怎样解所列的方程.
学生活动:
独立思考尝试解这个方程.
教师活动:
⑴引导学生分析:
解这个带有括号的方程,只要去括号就可以运用移项法则解;⑵回顾去括号法则;⑶提醒学生注意:
用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项.⑷板书解的全过程.
二、师生互动,解方程
1.学生活动:
解方程(
x-5)-(
x-2)=x.
2.教师活动:
⑴鼓励学生独立完成;⑵组织学生交流评析;⑶提醒学生注意:
括号外面是负号,去括号时要变号,用分配律去括号不要漏乘括号里的项,且不要搞错符号.移项要变号.⑷请同学们用口算检验.
3.解方程-2(x-1)=4.
⑴让学生独立解这个方程.
⑵鼓励学生用不同的方法解这个问题,组织学生交流各自的方法.
⑶板书:
两种不同的解法.
解法一:
去括号,得-2x+2=4
移项,得-2x=4-2
化简,得-2x=2
方程两边同除以-2,得x=-1
解法二:
方程两边同除以-2,得x-1=-2
移项,得x=-2+1
即x=-1
4.学生活动:
观察上述两种解方程的方法,说出它们的区别,并与同伴交流.
教师让学生自己大胆说出看法,比较这两种解法,发现解法二更简便.
三、随堂练习
课本P115练习第1、2题.
四、小结
本节课还是进一步学习了解一元一次方程的算法,在解题过程中要注意以下几个问题:
(出示投影2)
1.解有括号的方程一般先去括号,再应用移项法则求解.
2.去括号时不要犯漏乘的错误及符号错误.
3.移项要变号.
4.可根据方程形式灵活安排步骤.
五、作业
1.课本P118习题4.2A组第7题.
2.补充题:
一、解方程.
1.5(x+8)-5=6(2x-7);2.40-5(3x-7)=-4(x+17);
3.3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22.
二、解答题.
1.若某数与1的差的2倍比某数与1的和大3,求此数.
2.在公式an=a1+(n-1)d中,已知a1=2,d=3,an=20,求n的值.
4.2解一元一次方程的算法(第4课时)
教学目标
1.在具体情境中会用去分母的方法解一元一次方程.
2.掌握解一元一次方程的基本方法,能熟练求解一元一次方程.
教学重、难点
重点:
掌握解一元一次方程的基本方法.
难点:
正确运用去分母、去括号、移项等方法,灵活解一元一次方程.
教学过程
一、创设问题情境,建立方程模型
1.(出示投影1).
一件工作,甲单独做需要15天完成,乙单独做需要12天完成,现在甲先单独做1天,接着乙又单独做4天,剩下的工作由甲、乙两人合做,问合做多少天可以完成全部工作任务?
学生活动:
观察问题情境,弄清题意,分析问题中的等量关系.
教师活动:
⑴指定一名学生说出问题中的等量关系;⑵引导学生分析,建立方程模型.
师生共同分析:
⑴题中的等量关系是:
甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量.⑵设工作总量为1,剩下的工作两人合做需x天完成,则
(x+1)+
(x+4)=1.
2.提出问题:
如何解方程
(x+1)+
(x+4)=1?
⑴鼓励学生尝试解这个方程,指定两名学生到黑板演示.
⑵巡视学生,对不同的解法,只要合理,都给予肯定.
⑶给出两种不同的解法.
解法一:
去括号,得
x+
+
x+
=1
移项,得:
x+
x=1-
-
化简,得:
x=
两边同除以
,得x=4.
解法二:
去分母,得4(x+1)+5(x+4)=60
去括号,得4x+4+5x+20=60
移项,得标准形式:
9x=36
方程两边同除以9,得x=4.
⑷引导学生比较两种解法,得出解法二更简便.
明晰:
去分母是根据等式性质2,方程两边同乘以各个分母的最小公倍数.
二、做一做,体验解一元一次方程的步骤
1.学生活动:
解方程:
2.教师活动:
⑴鼓励学生独立解这个方程;⑵引导学生分析:
这个方程含有分母,只要根据等式性质2,方程两边各项同乘以3和4的最小公倍数12,即可把分母去掉.⑶提醒学生注意:
①不要漏乘不含分母的项;②当分子有多项时,去分母后,分子作为一个整体应该加上括号,这时的分数线有双层意义,一方面是除号,另一方面它又代表括号.⑷板书解的全过程,
规范步骤.
解:
去分母,得
4(x-10)=3(x-6)
去括号,得4x-40=3x-18
移项,得4x-3x=-18+40
化简.得x=22.
三、想一想,总结解一元一次方程的算法的步骤
1.提出问题:
解一元一次方程有哪些步骤?
2.学生活动:
学生分组讨论交流总结出解一元一次方程一般要通过的步骤。
3.教师归纳:
(出示投影2)
⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数.注意不可漏乘某一项,特别是不含分母的项,分子是代数式要加括号。
⑵去括号——应用分配律、去括号法则,注意不漏乘括号内各项,括号前是“-”号,括号内各项要变号。
⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边。
注意移项要变号。
⑷化简——合并同类项,要注意只是系数相加减,字母及其指数不变.
⑸标准形式的化简——同除以未知数前面的系数,即ax=b→x=
4.学生活动:
解方程:
(x+15)=
(x-7).
四、随堂练习
课本P117练习第1、2题.
五、小结
1.解一元一次方程的算法的一般步骤及注意事项.
2.由于方程的形式不同,解方程时可灵活运用步骤.
六、作业
1.课本P118、119习题4.2A组第5,6、8组.
一、解下列方程
1、x-
2、
3、
二、解答题.
已知x=-2是方程
的解,求k的值.
4.3一元一次方程的应用(第1课时)
教学目标
1.在现实的情景中培养学生具有建立一元一次方程模型,解决问题的基本技能。
2.在具体的情景中列方程解决实际问题.
教学重、难点
重点:
建立方程模型,解决实际问题.
难点:
寻找等量关系。
教学过程
一、创设问题情境,建立方程模型
(出示投影1)
三峡水电站将于2003年实现首批机组发电,到2009年全部机组投产后,年发电量将达到847亿千瓦·时,如果2003年的发电量为120亿千瓦·时,那么三峡水电站平均每年增加多少发电量?
学生活动:
1.通读问题情境,弄清题意.
2.独立思考,分析题中的数量关系.
填空:
2003年的发电量——6年增加的发电量——2009年的发电量.
3.根据等量关系,建立一元一次方程模型.
4.解这个一元一次方程,得出结论与同伴交流.
教师活动:
1.鼓励学生独立思考,组织学生进行交流.2.请一位同学上台板演.3.师生共同订正.
二、做一做
(出示投影2)
小林林说:
“现在我家一年的用电量为860千瓦·时,电价为每千瓦·时0.5元.三峡水电站的电并入全国电力网后,如果我家用电量不变,每年大约可节省电费172元.
根据小林林家的电费变化,你能算出三峡水电站的电并入全国电力网后的电价吗?
1.学生活动:
分析题意,找出问题中的等量关系,并与同伴交流.
2.教师肯定学生的“发现”,问题中的等量关系:
三峡水电站并网前的电费-并网后的电费=172.
3.引导学生设未知数,建立方程模型.
4.教师板书:
解:
设三峡水电站的电并入全国电力网后电价为每千瓦·时x元,那么电费为860x元,则:
860×0.5-860x=172
解这个方程,得:
x=0.3
答:
三峡水电站的电并入全国电力网后电价大约为每千瓦·时0.3元。
三、想一想
1.提出问题:
应用一元一次方程解决实际问题的步骤有哪些?
2.学生活动:
分小组讨论、交流、大胆发表自己的见解.
3.师生共同总结应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤是:
设未知数
四、随堂练习
1.课本P121练习.
2.补充练习:
父子两人在同一工厂工作,父亲从家走到工厂需要30分钟,儿子走这段路只需20分钟,父亲比儿子早5分钟动身,问过多少时间儿子能追上父亲?
五、小结
本节课主要学习运用方程解决实际问题的方法,要注意以下几点:
1.要认真审题分析题意,寻找等量关系.
2.灵活设未知数.
3.注意检验、解释方程解的合理性.
六、作业
课本P129习题4.3A组第1、2题.
解答题.
1.某工厂今年5月份产值是638.4万元,比去年同期增长了14%,求这个工厂去年5月份的产值是多少?
2.一架飞机在两城之间航行,风速为24km/h,顺风飞行要2小时50分,逆风飞行要3小时,求两城距离.
3.一环形跑道长400m,甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550m,乙练习赛跑,平均每分钟跑250m,两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?
4.3一元一次方程的应用(第2课时)
教学目标
1.在现实的情景中建立方程模型解决问题.
2.在具体的情景中运用方程解决实际问题.
3.了解电信、银行利息等方面的知识.
教学重、难点
重点:
运用方程解决实际问题.
难点:
把握问题中的等量关系,判明解的合理性.
教学过程
一、探索实际问题的数量关系
1.(出示投影1).
某移动通信公司开设了两种通信业务:
“全球通”,使用者先缴50元月租费,然后每通话1分钟,再付话费0.4元;“神州行”,不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元(指市内通话).(注:
通话不足1分钟按1分钟计费例如,通话4.2分钟按照5分钟计费).
请问一个月通话多少分钟,两种移动通信费用相同?
学生活动:
分析题意,找出问题中的等量关系.
师生共同分析:
“全球通”一个月话费=50元月租+0.4×通话时间
“神州行”一个月话费:
0.6×通话时间,两种费用相同,
即:
50+0.4×通话时间=0.6×通话时间.
学生完成下面的解答过程.
2.想一想。
大明估计自己每月通话大约300分钟,小李每月通话大约200分钟,那么他们选择哪一种移动通信通话费才最省呢?
你能帮助他们出个主意吗?
⑴提问:
在上题中,一个月通话______分钟,两种移动通信费用相同?
当通话时间超过______分钟,使用“全球通”比较好;当通话时间少于______分钟,使用“神州行”比较好.
大明和小李分别属于哪一种?
⑵学生活动:
分小组讨论,并将结果与同伴交流.
二、议一议,如何计算储蓄利息
(出示投影2)
某年1年期定期储蓄年利率为1.98%,所得利息要交纳20%的利息税,某储户有一笔1年期定期储蓄,到期纳税后得利息396元,问储户有多少本金?
1.教师指出:
顾客存入银行的钱叫本金,银行付给顾客的酬金叫利息.
利息=本金×利率×期数。
2.引导学生分析:
设储户有本金x元,那么所得利息为1.98%×1×x,即1.98%x,交纳税金为1.98%x×20%.由此可得方程:
1.98%x-1.98%x×20%=396.
3.引导学生解这个方程.
三、随堂练习
课本P124练习.
四、小结
本节课主要内容是用方程解决有关话费、银行利息等实际问题.
五、作业
1.课本P129习题4.3A组第3、4题.
补充题.
1,在股票交易中,每买进或卖出一种股票,都必须按成交额的0.2%和0.35%分别缴纳印花税和佣金(通常所说的手续费),老王在1月18日以每股12元的价格买进一种科技类股票3000股,6月26日他高价把这批股票全部卖出,结果获纯利8172.6元,求老王股票卖出的价格为每股多少元?
2.国家规定:
存款利息的纳税办法是:
利息税=利息×20%,储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为1.98%,某储户到银行领取一年到期的本金和利息时,扣除了利息税198元。
问:
⑴该储户存人的本金是多少元?
⑵该储户实得利息多少元?
3.李明以两种形式储蓄了500元,一种储蓄的年利率是5%,另一种储蓄的年利率是4%,一年后共得利息23元5角,问两种形式的储蓄各存了多少钱?
4.3一元一次方程的应用(第3课时)
教学目标
1.在现实的情景中建立方程模型解决问题.
2.在具体的情景中运用方程解决实际问题.
3.了解如何计算商品利润.
教学重、难点
重点:
运用方程解决实际问题.
难点:
对商品售出价、进货价、利润之间关系的理解.
教学过程
一、建立方程模型,解决实际问题
1.(出示投影1).
水资源浪费令人担忧,节约用水迫在眉睫.针对居民用水的浪费现象,某市将规定居民用水标准,按规定三口之
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- 关 键 词:
- 41 一元一次方程 模型
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